讓數學概念教學更精彩

謝志華

數學概念是事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐，從數學研究對象的許多屬性中，抽出其本質屬性概括而形成的。它是進行數學推理、判斷的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。人教版《數學》八年級上冊《一次函數》第一節 “變量與函數”就是一節概念課課型。函數是數學中最重要的基本概念之一，它揭示了現實世界中數量關系之間相互依存和變化的實質，是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型，是初中數學函數入門。如何讓枯燥的概念課生動有趣呢？我們一起來欣賞課堂的幾個優秀片段：

概念的引入——借助具體事例

師：同學們，很高興今天跟同學們一起探討數學問題，一起攀登數學的高峰，說起高峰，世界上最高的山峰是哪一座？

生：珠穆朗瑪峰。

師：我國是第一個讓奧運圣火照亮世界之巔的國家，請看這歷史性的一刻（出示視頻）。

師：老師截取了其中兩張圖片，請看一看運動員衣著有什么不同？

生：山頂上的運動員穿的是厚厚地棉襖，山腳下的運動員穿的是薄薄的運動服。

師：為什么會有衣著差異？

生：氣溫不同，山頂的氣溫低，山腳下氣溫更高一些。

師：海拔高度變化了，氣溫也隨著改變。我們就說氣溫隨海拔高度的變化而變化。

師：看一個視頻——加油機給汽車加油（課件出示視頻）。

師：這是什么？

生：加油機顯示屏。

師：加油機在加油過程中，總金額隨什么的變化而變化。

生：加油量的變化而變化。

師：單價一定時，總金額隨加油量的變化而變化。

師：上述兩個問題有什么共同特點？

生：第一個情境中有兩個量，第二個情境中有3個量。

師：我們稱數值發生變化的量為變量，數值始終不變的量為常量。

師：第一個情境中的兩個量是變量還是常量？（兩個變量），第二個情境中3個量呢？（兩個變量與一個常量）。

師：兩個情境中的變量有什么共同特點？

生：一個量隨另一個量的變化而變化。

師：兩個變量之間存在怎樣的聯系呢？那么這節課我們就一起來研究兩個變量之間的關系。（板書課題：變量與函數）

教師從學生熟悉的、具有生活意義的情境入手， 體會數學與生活的密切聯系；讓學生發現兩個變量之間存在著相互依存關系，直觀感知上述每一問題中都存在兩個變量，并且一個量會隨另一個量的變化而變化，從而引出本節課課題——變量與函數。

概念的明確——下定義

師：同學們，下面我們一起來嘗試一個活動，我這里有兩個顯示屏，左邊的為輸入屏，右邊為顯示屏，老師隨意地在左屏幕中輸入一個數，請看右邊屏幕輸出一個什么數？假如設左邊輸入數為x，右邊輸出數為y。（請同學進行現場電腦操作）

師：在這個變化過程中，有幾個變量？分別是x與y，哪個量會隨哪個量的變化而變化？

生1：y隨x的變化而變化

生2：每輸入一個值，右邊就會顯示一個值。

生3：也就是說x每取定一個值，y都有唯一的確定值與其對應。

師：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就說x叫做自變量，y是x的函數。

利用課件讓學生在輸入屏中任意輸入數字，觀察顯示屏中的數據并用表格記錄數據，直觀體會到兩個變量之間的“單值對應”關系。學生合作交流探究，師生共同歸納出函數的概念。通過讓學生動手操作，感知函數的存在和意義，體會變量之間的相互依存關系和規律，領會和理解函數基本概念中所包含的三個要素：（1）一個變化過程；（2）兩個變量；（3）一種單值對應關系。在教學過程中，教師引導學生認真思考，“思”有所“得”，“思”有所“悟”，不僅使學生認識到引進常量、變量、函數概念的必要性，而且感悟并逐步學會如何給數學概念下定義的方法。

概念的辨析——恰當使用反例

師：生活中大量存在函數的例子，你能不能舉出生活中一些有關函數的例子嗎？

生：當單價一定時，總價與數量有函數關系。

數學活動：（1）學生動手操作并觀察：彈簧測力計的彈簧伸長長度與所掛鉤碼質量的變化過程。（2）教師再演示一個實驗——往量筒加水的變化過程，請觀察并說出存在的函數。（學生回答，師生共同判斷）

師：同學們多觀察生活中的數學問題，你會發現函數關系無處不在。

師：老師再舉一個例子，你們看看是不是函數關系？

生1：從1984年～2010年，人口數變化雖然是逐年增加，但是增加的數量不一樣，所以y不是x的函數。

生2：我也贊同y不是x函數關系，有兩個變量，但它們之間不能用關系式來表示。

生3：我認為是，因為每年都對應著一個確定的人口數，應該是吧。

師：y到底是不是x的函數呢？我們回到函數中定義中，看一看這個問題是否符合函數定義。

在這個變化過程中，有幾個變量？（兩個），這兩個變量是否相關聯？（是），當對于每一個年份x確定一個值時，人口數y都有唯一個確定的值與其對應，對吧？你們說說y是不是x的函數。

生：是（齊聲）。

學生試著列舉出生活中一些有關函數的例子，師生共同分析、判斷，再通過實驗來加深認識，讓學生動手操作并觀察彈簧測力計的彈簧伸長長度與所掛鉤碼質量的變化過程。師生共同體驗函數的存在， 培養學生的發散思維，加強學科間的滲透與知識間的聯系，同時增強學生學數學、用數學的意識。讓學生進一步認識函數的概念，體會變量間“單值對應”的不同形式，即函數的表示方法通常有三種形式：圖像法、列表法、解析式法，從而反復加深對函數概念的理解。endprint

概念的應用——納入概念系統

函數在生活中也有廣泛的應用。請看課本P74練習，哪個是自變量，哪個是自變量的函數？（請同學們上黑板前板演）

再看一個例題：一輛汽車的油箱中現有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km。

（1）寫出表示y與x的函數關系的式子；

（2）指出自變量x的取值范圍；

（3）汽車行駛200 km時，油箱中還有多少油？

……

練習：情境1中，珠穆朗瑪峰的氣溫T（℃）與高度d（m）的關系可以近似的用T=來表示。請你根據這個關系式回答下列問題：

（1）填寫下表：

（2）由上你能算出奧運火炬手登珠峰至8 000 m處氣溫是多少？

問：當登山隊員登珠峰至8 000 m時，氣溫是多少攝氏度？-18攝氏度的含義是零下18攝氏度，那同學們說說登山要不要穿棉襖？

……

講解例題時教師采用了啟發誘導、合作探究、反思小結的方式進行教學，同時從問題（1）中牽引出新知識點：函數關系式也可以叫做函數解析式，進一步鞏固所學函數的概念，體會數學的應用價值。從問題（2）引出確定自變量的取值范圍還要注意問題的實際意義，問題（3）強化函數關系式的運用，即自變量在取值范圍內取值時，可根據函數解析式求出對應的函數值，練習一方面是呼應視頻情境中的問題，使整堂課成為一個有機整體，另一方面是為了讓學生通過經歷運算、觀察、猜想、驗證這一過程，體驗數學充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性及數學結論的確定性，此環節精心設計，獨具匠心。

綜觀本節課，教師靈活地整合教材資源，各教學片段都力求通過實踐與探索，讓學生參與函數概念的形成過程。基本環節“概念的引入—概念的明確—概念的辨析—概念的應用”，遵循從特殊到一般，具體到抽象，由淺入深，由易到難的認識規律，強化數學的應用與建模意識，提高學生分析問題和解決問題的能力。問題設置巧妙，層層遞進，情境選擇恰當，充分發揮多媒體的聲、像、動畫特征，使抽象問題形象化，靜態問題動態化，直觀、深刻地揭示函數概念的本質。整個教學過程特點突出：創設情境，引人入勝，過程凸現，緊扣重點，動態顯現，化難為易，例子展現，多方滲透。整個概念課堂因片段而豐富，因主線而美麗，因生動而精彩。（作者單位： 江西省贛州市文清實驗學校）

□責任編輯 周瑜芽

E-mail：jxjyjxsxl@126.comendprint