軸對稱超空泡流振動頻率特性

安 海,蔣運華,安偉光

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院,哈爾濱 150001)

超空泡減阻技術的應用可以使水下運動體的摩擦阻力大大降低,為水下高速運動提供不可或缺的條件。而保證超空泡減阻的一個重要條件就是空泡的穩定性,穩定的空泡流可以使航行體阻力大大減小,不穩定的空泡則會對航行體造成損害。空泡穩定性的問題直接關系到水下高速運動體的受力狀態與運動的穩定性。因此,研究空泡的穩定性具有重要的意義。

目前,針對超空泡的穩定性已經開展了許多相關的研究工作。Serebryakov[1]基于細長體理論和誘導模型,提出一種水下高速運動體軸對稱超空泡流實用的計算方法。Semenenko[2]通過動量定理得到了由重力效應引起的自然空泡軸線變形的計算公式。Buyvol[3]得出了重力效應對空泡截面變形影響的判別準則。張學偉等[4-7]對自然超空泡進行了數值仿真的研究,得出流場壓力、模型速度、模型后體和空化器阻力系數都會對通氣超空泡形態穩定性產生影響。并且通過實驗手段對超空泡形態及穩定性進行研究,得出了重力對空泡形態的影響,以及空泡失穩的3種方式。蔣運華、安偉光等[8]依據空泡不同閉合形式的氣體泄漏規則和通氣系統,建立了空泡內氣體的平衡方程,給出用于計算運動體姿態的動力學方程,分析了局部空泡及超空泡航行狀態的受力特性。張紀華等[9]用仿真的方法研究了內壓擾動對非定常空泡形態的影響。馮雪梅等[10]研究了軸對稱模型上的通氣空泡和自然空泡的振蕩特性。上述文獻的研究方法都是通過Logvinovich獨立擴張原理[11]建立分析模型,再進行研究。本文從Logvinovich獨立擴張原理出發,建立描述空泡流動的微分方程,通過線性化處理得到關于空泡內壓的微振方程,由空泡體積與空泡內壓力的函數關系可知,空泡形態的穩定與壓力相關,壓力振動的發散將導致空泡形態的不穩定。

1 軸對稱空泡的動力學模型

1.1 空泡流的狀態和參數假定

圖1 航行體空化器觀察平面

1.2 空泡截面的擴張方程

根據Logvinovich獨立原理,可有

式中:ρ為液體密度,假設它不隨時間而改變;k=k(σ),即k是關于空化數σ的函數,在本文中假設k為常數;Δp(x,t)=p∞-pc(x,t)。p∞為物體前方未擾動處液流靜壓,pc(x,t)為空泡內壓力。

由于空化器經過任意平面時為t1時刻,于是對式(1)積分可得:

1.3 空泡內部氣體方程

空泡內氣體的體積表達式為

(4)

空泡內部氣體質量的變化方程為

整理得:

式中:n是一個和熱力學過程有關的系數,在絕熱情況下可取n=1,于是可以得到:

1.4 描述空泡系統的微分方程

假設在整個流動過程中液體p∞保持不變,即液體總壓力保持不變;假設任意時刻空泡內的壓力pc處處相等,即空泡內的壓力僅是時間的函數:pc=pc(t),于是可得壓差:

Δp(x,t)=p∞-pc(t)

(8)

由式(4)可以得到:

(9)

(10)

對式(10)兩邊求導,得:

由于空泡長度L僅與空化器的位移H(t)有關,是空化器位移H(t)的一元函數,于是由全微分的形式不變性可得:

于是

由式(12)、式(13)可得:

對式(14)兩邊再求導一次,得:

根據式(1)和式(8)可得:

由式(2)易得:

進而可以得到空泡流系統的微分方程:

2 方程的特殊化和線性化處理

2.1 特殊化處理

2.2 線性化處理

取pc0,Q0,L0,τ0為穩態值,δpc,δQ,δL,δτ為脈動值,于是

根據式(19)可得:

略去二階無窮小量便得:

nQ0(δpc)+(δQ)pc0=0

兩邊同時除以δt,便有:

將式(21)兩邊再對時間求導,可得:

其中,

于是有:

(24)

根據式(18)和式(23),可得:

(25)

再將式(24)代入式(25),整理可得:

將式(26)代入式(22)并整理可得空泡壓力的振動方程:

(28)

為了得到一般性的結論,將式(28)中的參數換成無量綱參數。由振動方程的特點,可令pc(t)=eλt,pc(t/T)=eλ(t/T),于是有:

將式(30)化簡便得到振動的特征方程:

再令

通過整理可得:

由于

因此有

下面將要求的是μ和ω的邊界條件。將λ=μ+jω代入式(32)可以得到:

由參考文獻[11]知,在空泡內無后體時有

3 計算結果與比較

圖2 μ和ω隨變化的規律

于是得:

再由β的定義可知,在通氣超空泡流動中一般β>1,于是得空泡內無后體情況下、穩定狀態時的動力學相似參數β的取值范圍:

1<β<2.645

綜上所述,可得出如下結論:

①可以將動力學相似參數β作為判定超空泡中氣體振蕩穩定性的一個標準。

②當1<β<2.645時,空泡是穩定的;當β>2.645時,空泡振蕩將會發散;β=2.645是空泡穩定的一個臨界值。

圖3 文獻[13]中μ隨變化的規律

4 結論

針對空泡振動方程,提出了一種新的求解空泡穩定性判定標準的動力學相似參數β的取值范圍的方法。該方法針對復雜超空泡系統的微分方程求解困難的問題,對方程做了特殊化處理,進一步采用線性化手段,通過軟件仿真,得到空泡振動頻率特性以及穩定性量化條件。提供了一種研究軸對稱超空泡流穩定性的一般性方法,為工程研究提供有益的參考。

該方法主要應用于超空泡流動在100 m/s左右的情況。對于超高速射彈,其速度接近水中聲速(1 470 m/s),流體壓縮效應會對空泡形態產生影響;另外,對于人工充氣情況,Fr數變小,有后體空泡對空化數的變化更加敏感,從而增加了穩定控制的難度。

[1] SEREBRYAKOV V V.Practical methods for calculation of supercavitation on axisymmetric bodies for high speed motion in water[C]//Proceedings of the ASME Fluids Engineering Division Summer Conference 2009,USA:FEDSM,2009:393-400.

[2] SEMENENKO V N.Calculations of the 2D supercavity shape under harmonic perturbations[J].International Journal of Fluid Mechanics Research,2001,28(5):673-682.

[3] BUYVOL V N.Slender cavities in flows with perturbations[M].Kiey:Naukova Dumka Publishing House,1980.(in Russian)

[4] 張學偉,張亮.自然超空泡形態穩定性的數值仿真[J].彈道學報,2009,21(2):103-110.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Liang.Numerical simulation of shape stability of natural supercavitation[J].Journal of Ballistics,2009,21(2):103-110.(in Chinese)

[5] 張學偉,張亮.通氣超空泡穩定性分析的一種數值算法[J].力學學報,2008,40(6):820-825.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Liang.A numerical method for the stability analysis of ventilated supercavity[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2008,40(6):820-825.(in Chinese)

[6] 張學偉,張亮.通氣超空泡形態穩定性的數值模擬研究[J].計算力學學報,2010,27(1):76-81.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Liang.Numerical simulation of the shape stability of ventilated supercavity[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2010,27(1):76-81.(in Chinese)

[7] 張學偉,張嘉鐘,王聰,等.通氣超空泡形態及其穩定性實驗研究[J].哈爾濱工程大學學報,2007,28(4):381-387.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Jia-zhong,WANG Cong,et al.Experimental research on ventilated cavitation and its stability[J].Journal of Harbin Engineering University,2007,28(4):381-387.(in Chinese)

[8] 蔣運華,安偉光,安海.超空泡運動體通氣加速階段非定常過程研究[J].彈道學報,2011,23(2):67-71.

JIANG Yun-hua,AN Wei-guang,AN Hai.Study on unsteady process of ventilation accelerated motion stage for supercavitating vehicle[J].Journal of Ballistics,2011,23(2):67-71.(in Chinese)

[9] 張紀華,張宇文,李雨田.內壓擾動對非定常空泡形態的影響[J].彈道學報,2012,24(1):88-91.

ZHANG Ji-hua,ZHANG Yu-wen,LI Yu-tian.Effect of internal pressure perturbation on unsteady cavity form[J].Journal of Ballistics,2012,24(1):88-91.(in Chinese)

[10] FENG Xue-mei,LU Chuan-jing,HU Tian-qun.The fluctuation characteristics of natural and ventilated cavities on an axisymmetric body[J].Journal of Hydrodynamics(Ser.B),2005,17(1):87-91.

[11] LOGVINOVICH G V.Hydrodynamics of flows with free boundaries[M].Kiev:Naukova Dumka,1969:215.(in Russian)

[12] PARYSHEV E V.Approximate mathematical models in high-speed hydrodynamics[J].Journal of Engineering Mathematics,2006,55(1):41-64.

[13] 陳偉政.軸對稱超空泡流穩定性分析[J].船舶力學,2006,10(1):1-6.

CHEN Wei-zheng.Stability analysis of unsteady axisymmetric super-cavity flows[J].Journal of Ship Mechanics,2006,10(1):1-6.(in Chinese)