軸對稱超空泡流振動頻率特性

安 海,蔣運華,安偉光

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院,哈爾濱 150001)

超空泡減阻技術(shù)的應(yīng)用可以使水下運動體的摩擦阻力大大降低,為水下高速運動提供不可或缺的條件。而保證超空泡減阻的一個重要條件就是空泡的穩(wěn)定性,穩(wěn)定的空泡流可以使航行體阻力大大減小,不穩(wěn)定的空泡則會對航行體造成損害。空泡穩(wěn)定性的問題直接關(guān)系到水下高速運動體的受力狀態(tài)與運動的穩(wěn)定性。因此,研究空泡的穩(wěn)定性具有重要的意義。

目前,針對超空泡的穩(wěn)定性已經(jīng)開展了許多相關(guān)的研究工作。Serebryakov[1]基于細長體理論和誘導模型,提出一種水下高速運動體軸對稱超空泡流實用的計算方法。Semenenko[2]通過動量定理得到了由重力效應(yīng)引起的自然空泡軸線變形的計算公式。Buyvol[3]得出了重力效應(yīng)對空泡截面變形影響的判別準則。張學偉等[4-7]對自然超空泡進行了數(shù)值仿真的研究,得出流場壓力、模型速度、模型后體和空化器阻力系數(shù)都會對通氣超空泡形態(tài)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。并且通過實驗手段對超空泡形態(tài)及穩(wěn)定性進行研究,得出了重力對空泡形態(tài)的影響,以及空泡失穩(wěn)的3種方式。蔣運華、安偉光等[8]依據(jù)空泡不同閉合形式的氣體泄漏規(guī)則和通氣系統(tǒng),建立了空泡內(nèi)氣體的平衡方程,給出用于計算運動體姿態(tài)的動力學方程,分析了局部空泡及超空泡航行狀態(tài)的受力特性。張紀華等[9]用仿真的方法研究了內(nèi)壓擾動對非定常空泡形態(tài)的影響。馮雪梅等[10]研究了軸對稱模型上的通氣空泡和自然空泡的振蕩特性。上述文獻的研究方法都是通過Logvinovich獨立擴張原理[11]建立分析模型,再進行研究。本文從Logvinovich獨立擴張原理出發(fā),建立描述空泡流動的微分方程,通過線性化處理得到關(guān)于空泡內(nèi)壓的微振方程,由空泡體積與空泡內(nèi)壓力的函數(shù)關(guān)系可知,空泡形態(tài)的穩(wěn)定與壓力相關(guān),壓力振動的發(fā)散將導致空泡形態(tài)的不穩(wěn)定。

1 軸對稱空泡的動力學模型

1.1 空泡流的狀態(tài)和參數(shù)假定

圖1 航行體空化器觀察平面

1.2 空泡截面的擴張方程

根據(jù)Logvinovich獨立原理,可有

式中:ρ為液體密度,假設(shè)它不隨時間而改變;k=k(σ),即k是關(guān)于空化數(shù)σ的函數(shù),在本文中假設(shè)k為常數(shù);Δp(x,t)=p∞-pc(x,t)。p∞為物體前方未擾動處液流靜壓,pc(x,t)為空泡內(nèi)壓力。

由于空化器經(jīng)過任意平面時為t1時刻,于是對式(1)積分可得:

1.3 空泡內(nèi)部氣體方程

空泡內(nèi)氣體的體積表達式為

(4)

空泡內(nèi)部氣體質(zhì)量的變化方程為

整理得:

式中:n是一個和熱力學過程有關(guān)的系數(shù),在絕熱情況下可取n=1,于是可以得到:

1.4 描述空泡系統(tǒng)的微分方程

假設(shè)在整個流動過程中液體p∞保持不變,即液體總壓力保持不變;假設(shè)任意時刻空泡內(nèi)的壓力pc處處相等,即空泡內(nèi)的壓力僅是時間的函數(shù):pc=pc(t),于是可得壓差:

Δp(x,t)=p∞-pc(t)

(8)

由式(4)可以得到:

(9)

(10)

對式(10)兩邊求導,得:

由于空泡長度L僅與空化器的位移H(t)有關(guān),是空化器位移H(t)的一元函數(shù),于是由全微分的形式不變性可得:

于是

由式(12)、式(13)可得:

對式(14)兩邊再求導一次,得:

根據(jù)式(1)和式(8)可得:

由式(2)易得:

進而可以得到空泡流系統(tǒng)的微分方程:

2 方程的特殊化和線性化處理

2.1 特殊化處理

2.2 線性化處理

取pc0,Q0,L0,τ0為穩(wěn)態(tài)值,δpc,δQ,δL,δτ為脈動值,于是

根據(jù)式(19)可得:

略去二階無窮小量便得:

nQ0(δpc)+(δQ)pc0=0

兩邊同時除以δt,便有:

將式(21)兩邊再對時間求導,可得:

其中,

于是有:

(24)

根據(jù)式(18)和式(23),可得:

(25)

再將式(24)代入式(25),整理可得:

將式(26)代入式(22)并整理可得空泡壓力的振動方程:

(28)

為了得到一般性的結(jié)論,將式(28)中的參數(shù)換成無量綱參數(shù)。由振動方程的特點,可令pc(t)=eλt,pc(t/T)=eλ(t/T),于是有:

將式(30)化簡便得到振動的特征方程:

再令

通過整理可得:

由于

因此有

下面將要求的是μ和ω的邊界條件。將λ=μ+jω代入式(32)可以得到:

由參考文獻[11]知,在空泡內(nèi)無后體時有

3 計算結(jié)果與比較

圖2 μ和ω隨變化的規(guī)律

于是得:

再由β的定義可知,在通氣超空泡流動中一般β>1,于是得空泡內(nèi)無后體情況下、穩(wěn)定狀態(tài)時的動力學相似參數(shù)β的取值范圍:

1<β<2.645

綜上所述,可得出如下結(jié)論:

①可以將動力學相似參數(shù)β作為判定超空泡中氣體振蕩穩(wěn)定性的一個標準。

②當1<β<2.645時,空泡是穩(wěn)定的;當β>2.645時,空泡振蕩將會發(fā)散;β=2.645是空泡穩(wěn)定的一個臨界值。

圖3 文獻[13]中μ隨變化的規(guī)律

4 結(jié)論

針對空泡振動方程,提出了一種新的求解空泡穩(wěn)定性判定標準的動力學相似參數(shù)β的取值范圍的方法。該方法針對復雜超空泡系統(tǒng)的微分方程求解困難的問題,對方程做了特殊化處理,進一步采用線性化手段,通過軟件仿真,得到空泡振動頻率特性以及穩(wěn)定性量化條件。提供了一種研究軸對稱超空泡流穩(wěn)定性的一般性方法,為工程研究提供有益的參考。

該方法主要應(yīng)用于超空泡流動在100 m/s左右的情況。對于超高速射彈,其速度接近水中聲速(1 470 m/s),流體壓縮效應(yīng)會對空泡形態(tài)產(chǎn)生影響;另外,對于人工充氣情況,Fr數(shù)變小,有后體空泡對空化數(shù)的變化更加敏感,從而增加了穩(wěn)定控制的難度。

[1] SEREBRYAKOV V V.Practical methods for calculation of supercavitation on axisymmetric bodies for high speed motion in water[C]//Proceedings of the ASME Fluids Engineering Division Summer Conference 2009,USA:FEDSM,2009:393-400.

[2] SEMENENKO V N.Calculations of the 2D supercavity shape under harmonic perturbations[J].International Journal of Fluid Mechanics Research,2001,28(5):673-682.

[3] BUYVOL V N.Slender cavities in flows with perturbations[M].Kiey:Naukova Dumka Publishing House,1980.(in Russian)

[4] 張學偉,張亮.自然超空泡形態(tài)穩(wěn)定性的數(shù)值仿真[J].彈道學報,2009,21(2):103-110.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Liang.Numerical simulation of shape stability of natural supercavitation[J].Journal of Ballistics,2009,21(2):103-110.(in Chinese)

[5] 張學偉,張亮.通氣超空泡穩(wěn)定性分析的一種數(shù)值算法[J].力學學報,2008,40(6):820-825.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Liang.A numerical method for the stability analysis of ventilated supercavity[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2008,40(6):820-825.(in Chinese)

[6] 張學偉,張亮.通氣超空泡形態(tài)穩(wěn)定性的數(shù)值模擬研究[J].計算力學學報,2010,27(1):76-81.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Liang.Numerical simulation of the shape stability of ventilated supercavity[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2010,27(1):76-81.(in Chinese)

[7] 張學偉,張嘉鐘,王聰,等.通氣超空泡形態(tài)及其穩(wěn)定性實驗研究[J].哈爾濱工程大學學報,2007,28(4):381-387.

ZHANG Xue-wei,ZHANG Jia-zhong,WANG Cong,et al.Experimental research on ventilated cavitation and its stability[J].Journal of Harbin Engineering University,2007,28(4):381-387.(in Chinese)

[8] 蔣運華,安偉光,安海.超空泡運動體通氣加速階段非定常過程研究[J].彈道學報,2011,23(2):67-71.

JIANG Yun-hua,AN Wei-guang,AN Hai.Study on unsteady process of ventilation accelerated motion stage for supercavitating vehicle[J].Journal of Ballistics,2011,23(2):67-71.(in Chinese)

[9] 張紀華,張宇文,李雨田.內(nèi)壓擾動對非定常空泡形態(tài)的影響[J].彈道學報,2012,24(1):88-91.

ZHANG Ji-hua,ZHANG Yu-wen,LI Yu-tian.Effect of internal pressure perturbation on unsteady cavity form[J].Journal of Ballistics,2012,24(1):88-91.(in Chinese)

[10] FENG Xue-mei,LU Chuan-jing,HU Tian-qun.The fluctuation characteristics of natural and ventilated cavities on an axisymmetric body[J].Journal of Hydrodynamics(Ser.B),2005,17(1):87-91.

[11] LOGVINOVICH G V.Hydrodynamics of flows with free boundaries[M].Kiev:Naukova Dumka,1969:215.(in Russian)

[12] PARYSHEV E V.Approximate mathematical models in high-speed hydrodynamics[J].Journal of Engineering Mathematics,2006,55(1):41-64.

[13] 陳偉政.軸對稱超空泡流穩(wěn)定性分析[J].船舶力學,2006,10(1):1-6.

CHEN Wei-zheng.Stability analysis of unsteady axisymmetric super-cavity flows[J].Journal of Ship Mechanics,2006,10(1):1-6.(in Chinese)