巧用正方體解立體幾何問題

姜麗麗

摘 要：立體幾何問題一直是中職學生學習的難點，大多數學生一看到立體幾何問題就頭疼，尤其是碰到判斷命題真假時，更是無從下手。本文就如何巧妙地運用正方體解決幾何問題展開分析。

關鍵詞：立體幾何 命題真假 正方體

立體幾何是高職考的一個重要內容，這一章所包含的定理、性質比較多，又很相近，學生特別容易混淆。判斷一些命題的真假又必須要用到這些定理和性質，尤其是立體幾何中直線與直線、直線與平面的位置關系的判斷。通過幾年對學生高職考復習的指導，筆者發現如果借助于正方體來判斷命題的真假就簡單了很多。

一、如何利用正方體判斷命題的真假

例1：下列命題正確的是：

（1）若a//β，b//β 則a//b

（2）若a//b，a//β 則b//β

（3）若a//β，則a平行β內的所有直線

（4）若一直線a┴平面β，另一直線b//平面β，則直線a┴直線b

要想準確地判斷這四個命題的真假需要較強的空間想象能力，還要對直線與平面平行、垂直的判定定理、性質定理熟練掌握，這對職業學校的學生來說是一個很難突破的難點。如果能合理地利用正方體來解決這些問題，就容易理解多了。

1.命題1

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選擇平面ABCD作為平面β，棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1都與平面ABCD平行，都可以選作直線a，b，若選A1B1作為直線a，B1C1作為直線b，則a與b相交與結論不一致，命題1是假命題。

2.命題2

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選棱AB為直線a，平面A1B1C1D1作為平面β，棱A1B1，CD，C1D1可選作直線b，選棱A1B1為直線b，則b平面β，與結論不一致，命題2是假命題。

3.命題3

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選棱A1B1為直線a，平面ABCD作為平面β，棱BC是平面β內的直線與a異面，與結論不一致，命題3是假命題。

4.命題4

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選平面ABCD作為平面β，棱AA1作為直線a，棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1可作為直線b，無論選哪一條都與a垂直，與結論一致，命題4是真命題。

通過實例可發現，要想利用正方體中的頂點、棱、面來解決判斷命題真假的問題，關鍵是在立方體中找出命題中的已知條件，在正方體中滿足已知的線、面不是唯一的。

要確定已知條件，一般情況下先選定一個參照物，選擇參照物的標準時，若已知的條件都與一個面有關，就先確定面，如命題1、4，先確定平面β；如果已知條件都與一條直線有關，就先確定線，如命題2；如果已知條件只有一條線和一個面，就先確定面，如命題3。

參照物確定好后再找出其他相關條件，這時可以先確定一個條件，另外的條件往往是不固定的，情況有好幾種。如果每種情況結論都與命題所給結論一致，則命題是真命題，如果不一致，則命題是假命題。利用正方體判斷命題的真假，大部分問題只要利用正方體中的頂點、棱、面就可以了，個別問題需要用到正方體的面對角線和體對角線。

二、利用正方體可以解決的其他問題

例2：在空間中，已知直線a，b，平面α，且aα，b//α，則a，b的位置關系式（ ）

A 平行 B 相交 C 異面 D 平行或異面

解題思路：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選平面 ABCD作為平面α，棱AB為直線a，棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1可作為直線b，選A1B1，C1D1作為b，則a與b平行，選B1C1，A1D1作為b，則a與b異面，故選D。

例3：在空間中，過平面外一點向平面做垂線和平行線，分別可做（ ）

A 1條，無數條 B 無數條，無數條

C 1條，1條 D 無數條，1條

解題思路：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選平面ABCD作為平面，點B1作為平面外的點，過點B1與平面垂直的直線只有棱BB1，所以過平面外一點可以做一條直線與平面垂直。過點B1與平面平行的直線有棱A1B1，B1C1，在A1B1，B1C1所確定的平面內過點B1的直線都與平面平行，所以過平面外一點可以做無數條直線與平面平行，選A。

例4：已知直線a平行于平面β，點A∈β，則過點A且平行于直線a的直線（ ）

A 只有一條，且一定在平面β內

B 只有一條，但不一定在平面β內

C 有無數條，但不都是在平面β內

D 有無數條，都在平面β內

解題思路：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，選平面ABCD作為平面β，頂點A作為A，選棱A1B1為直線a，過點A與直線a平行的只有棱AB，棱AB在平面β內，故選A。

（作者單位：浙江省海鹽理工學校）