中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)的幾點(diǎn)教學(xué)方法

作者簡(jiǎn)介：吳輝（1979-），男，廣東開平市吳漢良理工學(xué)校數(shù)學(xué)教師。研究方向：中職數(shù)學(xué)教育。（廣東 開平/529300）摘要：假如中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)仍然采取與普通高中一樣的教學(xué)模式，那么結(jié)果只能是讓越來越多的學(xué)生對(duì)三角函數(shù)更加畏懼、更加厭惡，直至最后放棄。如何提高三角函數(shù)教學(xué)效果現(xiàn)已成為中職數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難題。本文探討了中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)的幾個(gè)有效的方法。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；生活化；口訣化；圖形化

中圖分類號(hào)：G712文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1005-1422（2014）07-0093-03三角函數(shù)是中職數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)內(nèi)容，其特點(diǎn)是概念多、公式多、性質(zhì)多，學(xué)習(xí)難度較大，使得不少中職學(xué)生面對(duì)三角函數(shù)都感覺無從入手。作為中職數(shù)學(xué)教師，應(yīng)做到化深?yuàn)W為淺顯，讓數(shù)學(xué)內(nèi)容能夠淺入淺出，使學(xué)生較容易接受和理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更濃厚興趣。

一、概念教學(xué)生活化

在任意角的概念教學(xué)中，書本內(nèi)容選用了摩天輪及扳手這兩個(gè)實(shí)例來講解，但由于一些生活上的限制，并不是所有學(xué)生都能對(duì)這兩個(gè)實(shí)例有所體驗(yàn)的。對(duì)此，教師在引入概念時(shí)，實(shí)例設(shè)計(jì)需要緊貼生活。下面介紹任意角的概念的教學(xué)設(shè)計(jì)：

問題1：初中是如何定義角的？

（1）從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。（學(xué)生回答）

此定義為角的靜態(tài)定義，它是從圖形形狀來定義角的。（教師點(diǎn)評(píng)）

（2）平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置，所形成的圖形。（學(xué)生回答）

此定義為角的動(dòng)態(tài)定義，但射線旋轉(zhuǎn)的絕對(duì)量不能超過360度。（教師點(diǎn)評(píng)）

通過對(duì)初中階段角的定義的復(fù)習(xí)，為角的概念的推廣做好鋪墊。

師：請(qǐng)同學(xué)們擰開一下桌上的礦泉水的瓶蓋，然后再擰緊。生：按要求完成。

師：同學(xué)們，在這一過程中瓶蓋的旋轉(zhuǎn)方向有什么區(qū)別？

生：擰開的時(shí)候，瓶蓋是按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；擰緊的時(shí)候，瓶蓋是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

師：有沒有某一礦泉水瓶的瓶蓋旋轉(zhuǎn)方向恰好相反的呢？

生：沒有，都是一樣的。（經(jīng)過議論后回答）

師：為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象呢？（教師隨后作出解釋）

通過這一段教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)同學(xué)的興趣，揭示出現(xiàn)象源于生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化，從而進(jìn)一步延伸到生活其它方面。隨后引出正角、負(fù)角的概念，并強(qiáng)調(diào)正角與負(fù)角的區(qū)別主要在于旋轉(zhuǎn)的方向。另外，還特別指出，當(dāng)射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，也認(rèn)為形成了一個(gè)角，這個(gè)角叫做零角。

師：請(qǐng)大家再注意一下瓶蓋上的圖標(biāo)，在這個(gè)擰開擰緊的過程中，圖標(biāo)旋轉(zhuǎn)了多少度？

生：不知道，反正旋轉(zhuǎn)了幾圈。（此時(shí)，學(xué)生對(duì)角的概念還是停留在初0°~360°中范圍內(nèi)）

師：顯然，初中階段學(xué)習(xí)的角的范圍在這里就不再適用了。除此外，僅用0°~360°范圍內(nèi)的角，也已經(jīng)不能反映或解決生產(chǎn)、生活中的一些實(shí)際問題，因此需要對(duì)角的概念進(jìn)行推廣。

通過這環(huán)節(jié)，學(xué)生明白了角的概念推廣的必要性及重要意義。

學(xué)習(xí)完角的概念后，利用生活經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情：(1) 請(qǐng)學(xué)生們說說， 生活中還有哪些與角的旋轉(zhuǎn)相關(guān)的實(shí)例?(2) 以學(xué)生非常熟悉的時(shí)鐘為研究對(duì)象。

問題2：若時(shí)間慢了 10 分鐘， 則校對(duì)時(shí)間后，分針旋轉(zhuǎn)形成的角為多少?

問題3：若時(shí)間快了 20 分鐘， 則校對(duì)時(shí)間后，分針旋轉(zhuǎn)形成的角為多少?

問題4：若以分針在3 點(diǎn)時(shí)刻為起始邊， 旋轉(zhuǎn)150°后， 角的終邊在什么位置?

問題5：在問題4 的基礎(chǔ)上， 再旋轉(zhuǎn)-60°后，角的終邊在什么位置?

問題6：情景中的直角、平角、周角是象限角嗎？

通過以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，提出相關(guān)問題，使得學(xué)生的熱情一下子被調(diào)動(dòng)起來，回答也是多種多樣。時(shí)間快慢的校準(zhǔn)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的是正角， 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的是負(fù)角。另一方面， 旋轉(zhuǎn)要確定起始邊和終邊。 為了研究問題的方便， 我們引人平面直角坐標(biāo)系， 將角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)， 起始邊放在x 軸正半軸上，從而終邊( 除頂點(diǎn)外) 在哪個(gè)象限， 就稱這個(gè)角為第幾象限角， 終邊落在坐標(biāo)軸上的角稱為軸線界限角。

·教學(xué)教法·中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)的幾點(diǎn)教學(xué)方法二、誘導(dǎo)公式口訣化

三角函數(shù)是初等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，也是本章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。要學(xué)習(xí)和記憶公式如果沒有適當(dāng)?shù)姆椒ǎ筒豢赡苓_(dá)到理想的教學(xué)效果，也就無法應(yīng)用公式進(jìn)行正確的求解計(jì)算。

特別是隨著公式應(yīng)用的深入，學(xué)生遇到了這樣的習(xí)題：求解算式cos（-15π4）的值。按照傳統(tǒng)的解題思路，求解算式cos（-15π4）須經(jīng)以下四步：任意負(fù)角的三角函數(shù)→任意正角的三角函數(shù)→0~2π的三角函數(shù)→0~π的三角函數(shù)→銳角的三角函數(shù)，即首先用誘導(dǎo)公式cos(-α)=cosα將cos（-15π4）化為cos15π4，再利用誘導(dǎo)公式cos（α+k·360°）=cosα將cos15π4化為cos7π4，接著利用誘導(dǎo)公式cos（180°+α）=-cosα將cos7π4化為-cos3π4，最后利用誘導(dǎo)公式cos（180°-α）=-cosα將-cos3π4化為cosπ4計(jì)算求值。如此繁瑣的求值過程對(duì)于基礎(chǔ)薄弱，思維不夠活躍的中職生來說非常難。比如第一步將cos（-15π4）化為cos15π4，學(xué)生就無法理解。因?yàn)樵谕茖?dǎo)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時(shí)，教師往往將誘導(dǎo)公式中的α設(shè)為銳角進(jìn)行講解，而后將它推廣到任意角，但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往先入為主，只記住推導(dǎo)中將α設(shè)為銳角，故對(duì)上述問題中的將cos（-15π4）化為cos15π4提出疑問：“cos（-15π4）中的-15π4明明不是銳角，為什么能用-α的誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解呢？ ”于是學(xué)生開始質(zhì)疑公式，思維也混亂不清，更別說解決問題。

如何解決這一難題，使學(xué)生更有效的掌握誘導(dǎo)公式呢？經(jīng)過筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，在教學(xué)中可將誘導(dǎo)公式所有類型歸納為kπ2±α型，此誘導(dǎo)公式類型可用口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”來記憶。在教學(xué)中，教師可重點(diǎn)給學(xué)生詳細(xì)講解：“變”與“不變”是相對(duì)處于互余關(guān)系的函數(shù)而言的，sinα與cosα互余、tanα與cotα互余。“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式kπ2±α中的整數(shù)k來講的。“象限”指kπ2±α中，將α看作銳角時(shí)，kπ2±α所在象限。“符號(hào)”這里是指誘導(dǎo)公式右邊三角函數(shù)名前的符號(hào)，此符號(hào)的正負(fù)情況是根據(jù)口訣“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”（第一象限所有三角函數(shù)都是正的；第二象限正弦是正的；第三象限正切、余切是正的；第四象限余弦是正的，其他都是負(fù)的）來確定，同時(shí)教師還需要向同學(xué)們強(qiáng)調(diào)口訣中的三角函數(shù)名指的是誘導(dǎo)公式左邊的三角函數(shù)名，切不可誤看成右邊的三角函數(shù)名。

以文中前面提到的cos（-15π4）的求值為例，對(duì)口訣作出闡釋。首先，把cos（-15π4）書寫成cos（（-8）π2+π4），確定了k=-8是偶數(shù)，α=π4，并判斷出角（（-8）π2+π4）是第一象限角；然后，依據(jù)口訣中的“偶不變，一全正”，可得出式子cos（-15π4）=cos（π4）。顯然，利用誘導(dǎo)公式的口訣可以大大簡(jiǎn)化一些三角函數(shù)求值的運(yùn)算過程，同時(shí)也縮減了公式的記憶量，對(duì)中職學(xué)生三角函數(shù)章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)及掌握起到顯著作用。

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三、函數(shù)性質(zhì)圖形化

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別從“形”和“數(shù)”不同的側(cè)面反映出三角函數(shù)的變換規(guī)律。由于傳統(tǒng)的教學(xué)繪制三角函數(shù)圖像顯得比較繁瑣，因此部分教師忽視三角函數(shù)圖形畫法的教學(xué)，對(duì)函數(shù)圖像的由來輕描淡寫的，整個(gè)教學(xué)過程都是偏重于三角函數(shù)性質(zhì)表格化的死記。再加上平時(shí)測(cè)驗(yàn)、中職高考都無單獨(dú)繪制三角函數(shù)圖像的題型，給學(xué)生造成了一個(gè)錯(cuò)誤的意識(shí)：圖像不重要，表格要記牢！這種輕“形”重“數(shù)”的思想，使得中職學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一章節(jié)內(nèi)容時(shí)，感覺除了背書外就是死記，毫無激情與情趣。隨著學(xué)習(xí)的逐步深入，需要記憶的內(nèi)容越來越多，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的中職學(xué)生們就感覺記憶起來非常吃力，到最后不得不放棄三角函數(shù)這一章節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

如何能把“聞”三角色變的學(xué)生拉入“三角”的世界中？筆者認(rèn)為，在教學(xué)上，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生角度考慮，對(duì)“形”這一知識(shí)模塊要重視，要采取更為高效的教學(xué)手段。首先，可帶領(lǐng)學(xué)生去多媒體機(jī)房，借助“幾何畫板”數(shù)學(xué)軟件，在信息技術(shù)平臺(tái)上給學(xué)生演示三角函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，并詳細(xì)講解“五點(diǎn)法”在繪制圖像時(shí)的重要性及對(duì)函數(shù)性質(zhì)的意義。其次，指引學(xué)生自己動(dòng)手通過計(jì)算機(jī)軟件把三角函數(shù)的圖像由一個(gè)周期擴(kuò)展到多個(gè)周期，對(duì)擴(kuò)展后得到圖像進(jìn)行觀察，教師從中引導(dǎo)學(xué)生探索歸納出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期等三角函數(shù)的性質(zhì)。最后，把學(xué)生歸納出來的性質(zhì)表格化，并強(qiáng)調(diào)性質(zhì)的結(jié)論源于圖像的總結(jié)，使學(xué)生明白三角函數(shù)圖像對(duì)于性質(zhì)的記憶是十分重要的，努力培養(yǎng)看圖記憶的良好習(xí)慣。

通過這樣的“圖形化”教學(xué)方法，把“形”與“數(shù)”更有效的結(jié)合在一起，使得中職學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過程中增添了不少實(shí)踐活動(dòng)，也讓他們從中感到繪圖的樂趣，在歡快的氛圍中逐漸掌握三角函數(shù)性質(zhì)這一節(jié)內(nèi)容，大大提高了三角函數(shù)性質(zhì)記憶的效果。

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