師生互動是有效教學的題中之義

【摘 要】例題教學的互動過程包括：改編問題，體現討論的必要；放手展示，暴露真實的想法；師生對話，擦出智慧的火花；回歸例題，呈現別樣的精彩。師生互動包括師班、師組、師個與生生互動等四種形式，每種形式又都蘊含表達、討論、思維和情感等四個維度。構建好師生關系、設計好問題串以及運用好教學變通是提高師生互動有效性的保障。

【關鍵詞】例題教學師生互動形式內涵保障

蘇教版高中數學教材必修2“直線與圓的位置關系”一節中有這樣一道例題（例題2）：

自點A（1，4）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線的方程。

首先，教材中對于這道例題提供了兩種處理直線與圓相切的方法，一是利用圓心到直線的距離等于半徑，二是利用直線與圓的方程組成的方程組僅有一組解。其次，在設直線的點斜式方程前，先討論了直線垂直于軸的特殊情況。最后，兩種解法的計算過程均一帶而過，沒有展示“在理解算理的基礎上講究算法的合理性”。這三點看似順其自然的解題思維過程，教材以學術形態呈現出靜態的解題方法。那么，如何設計好輔助的數學問題，如何組織好學生的數學活動，又如何以教育形態呈現出動態的思考？這是每一位教者都將面對的一個富有挑戰性的難題。

筆者在一次教學調研中，發現某校一位數學教師通過創設一個思維互動、對話交流、情感交融的師生互動，較好地詮釋了例題教學的有效性問題。

一、例題教學的互動過程

1.改編問題，體現討論的必要。

這位教師沒有直接講解教材中的例題（即問題1），而是仿照例題的結構，自編了“問題2”自點A（1，4）作圓C：（x-2）2+（y-1）2=1的相切l，求切線的方程。進一步研究會發現，問題1即使沒有考慮到“當直線l垂直于x軸時”的特殊情況，結果也正確，因為這種情況“不滿足條件”。這時候刻意讓學生進行“討論”，顯得“無病呻吟”，學生根本體會不到“討論”的必要性。而改編后的問題2，如果不討論“當直線l垂直于x軸時”的特殊情況，則會出現漏解的情況。這種“源于教材，而又不拘泥于教材”的創造性使用教材方式非常值得推廣。

2.放手展示，暴露真實的想法。

這位教師呈現問題2之后，讓一位學生到黑板前板演，以下是這位學生在黑板前的活動記錄。

（思路一）解：設l的方程為y-4=k（x-1），由

y-4=k（x-1）

（x-2）2+（y-1）2=1.

得（x-2）2+（kx+3-k）2=1。

該生盯著這個方程，搖搖頭，猶豫了一會兒，最終選擇了把它擦掉。

（思路二）點A（1，4）到直線l：y-4=k（x-1），即kx-y+4-k=0的距離為d==1，竟然無解，很困惑！幾秒鐘后，也擦去了不等式。

（思路三）圓心C（2，1）到直線l：kx-y+4-k=0的距離為d===1，解得k=-，所以直線l的方程為y-4=-（x-1）。

筆者觀察到在學生這一系列活動中，這位教師一直注意觀察學生的每一步的解題步驟，始終保持沉默。由于教師給予了學生足夠的時間獨立思考，這位學生才有機會把自己最真實的思想歷程完整地展現出來，同時也為接下來的師生對話提供了共同的話題。

3.師生對話，擦出智慧的火花。

接下來教師開始評講，下面是師生之間的一段對話（T代表教師，S1代表這位學生，S2代表另一位學生）。

T：你為什么要放棄思路一呢？

S1：我估計式子（kx+3-k）2展開后很繁瑣，而且運算量太大了，我不知道怎么辦？

T：我們一起來試試看。由（x-2）2+（kx+3-k）2=1，把其中的3-k看成一個整體，得（x-2）2+[kx+（3-k）]2=1，展開化簡，得（1+k2）x2+[2k（3-k）-4]x+（3-k）2+3=0。因為判別式△=4｛[k（k-3）+2]2-（1+k2）[（3-k）2+3]｝=0，即k2（k-3）2+4k（k-3）+4-（1+k2）（3-k）2-3（1+k2）=0，所以-6k-8=0，解得k=-。

S1：（眾生贊嘆）哇！整體代入真的很簡便。

T：思路二為什么行不通呢？

S1：應該是圓心到直線的距離等于半徑，我代錯了點的坐標。

T：（教師在黑板上畫出了示意圖）解析幾何解題時要注意畫圖分析，借助圖形打開思路。

T：點P與圓C是什么樣的位置關系？怎樣判定呢？

S1：點P在圓C外，把點P的坐標代入圓C的方程。

T：過圓外一點作圓的切線應該有幾條？

S1：兩條。

T：為什么按照思路三，你只求出了一條呢？

S1：（困惑狀，同桌給予提示）丟了斜率不存在的那一條。

T：你知道為什么會丟掉這一條嗎？

S2：（另一位學生舉手，教師示意回答）因為設點斜式直線方程時，已經無意中把這種情況丟掉了。

T：以后再遇到這類問題應該怎么辦呢？

S1：要分斜率不存在和斜率存在這兩種情況進行討論。

T：（在學生的解題過程上，補充完善）當直線的斜率存在時，設l的方程為y-4=k（x-1），…。

當直線l的斜率不存在時，則l的方程為x=1，圓心C（2，1）到直線的距離為d=2-1=1，所以此時直線l與圓C相切。綜上可知，直線的方程為4x+3y-16=0或x=1。

這位學生的求解過程一波三折。思路一應該是直線與圓相切位置關系判定的一種通解通法，并且可以推廣到直線與圓錐曲線相切位置關系的判定，但是由于學生對于這種算理認識的模糊性與算法過程缺乏親身體驗，以及對于大計算量的畏懼心理，最終選擇放棄。不過教師順勢而為，把握恰當時機，示范了解題過程，起到了非常好的引領作用；思路二是學生棄繁從簡的不二選擇，但是由于審題不清，加之“數缺形時少直觀”，又誤入歧途，好在及時醒悟；思路三解法簡捷，運算正確，但是該生又疏忽大意，對于點斜式設法的局限性認識不足，導致結果仍然不完整，這也恰好體現了教者編制新問題的良苦用心。

4.回歸例題，呈現別樣的精彩。

在評點完問題2之后，這位老師讓學生們從下面三個問題中任選一道題作問題1自點A（-1，4）作答：

問題1：自點A（-1，4）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的相切l，求切線l的方程。

變式1：自點A（2，2）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的相切，求切線l的方程。

變式2：自點A（1，1）作圓C：（x-2）2+（y-3）2=1的相切l，求切線l的方程。

這三個問題分別包含了切線的斜率為0和不存在等復雜情況，由于有了前面例題學習的豐富經歷，以及師生之間火熱的互動過程，同學們在解答這三個問題時大多數都能夠做到以下幾點。一是知道了要分“當直線的斜率存在時”和“當直線l的斜率不存在時”兩種情況作答；二是在處理直線與圓相切問題時，既有“利用圓心到直線的距離等于半徑”，也有“利用直線與圓的方程組成的方程組僅有一組解”，掌握了兩種思考問題的方法；三是學生的精確計算能力得到了提升，知道了解決距離等式和判別式△=0的定量思維形式，具體解答過程不再贅述。反思這道例題的教學過程，筆者認為例題教學的效果十分顯著的關鍵，在于教師搭建了師生互動的有效交流平臺，讓學生積累了豐富的數學活動經驗。

二、師生互動的理性思考

1.師生互動的形式。

筆者認為，所謂的師生互動是指發生在教師與學生之間的導致雙方心理與行為同向或反向變化的一切相互作用與相互影響。在高中數學課堂的互動形式，可劃分為四種形式：第一種形式是指高中數學教師與全班學生之間的互動，簡稱為師班互動。這是數學課程要“面向全體學生，適應學生個性發展的需要”，也是師生互動的常態方式，能夠調動全體學生學習數學的積極性。第二種形式是師組互動，教師要注重與各個合作學習小組之間的互動，積極參與并了解各學習小組的問題討論進展情況，依托組內互助學習，實現組內合作交流的學習方式。第三種形式是師個互動，即高中數學教師與單個學生之間互動，目的是深入了解學生個體對于知識的掌握情況以及獨特的想法。第四種形式是指學生與學生之間的互動，簡稱為生生互動，它是師生互動的良性發展與后繼延伸的必然結果，是師生互動的深層體現方式。

2.師生互動的內涵。

針對上述四種形式的師生互動，我們認為都可以從四個維度來描述和刻畫它的內涵。第一個維度是表達行為，即教師與學生通過語言表達來交流各自的想法，實現師生之間的對話。第二個維度是討論行為，即師生雙方就某一數學問題交換意見或進行辯論。通過師生的討論來澄清與明晰，從而實現思維的碰撞與交流。第三個維度是思維行為，師生在學習數學和運用數學解決問題時，“不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程”，這些過程是數學思維能力的具體體現。第四個維度是情感行為，即在數學教學過程中建立的師生之間真誠、理解、民主、和諧、欣賞、愉悅的心理氛圍。當教師在教學中由職業需要上升為情感需要，當學生也從認知需要上升為情感需要時，雙方就進入了“親其師信其道，愛其生信其能”的美妙境界。

3.師生互動的保障。

（1）構建好師生關系

良好的師生關系是開展有效師生互動行為的先決條件，是建立平等民主和富有情感的人際交往場合的基礎。良好師生關系的內涵包括：一是教師在人格上尊重學生。尊重學生的各種想法與念頭，與學生平等地、協商式的對話與交流，與學生一同探索。二是教師發自內心地愛學生。教師要善于以“學生化”的心態與行為參與到師生互動的活動中，這樣才能更好地理解學生的真實思維歷程。三是教師在能力上要信任學生。教師要允許各類不同水平的學生大膽發表意見，學生給出了完美和富有創造力的解法，教師要心悅誠服地予以贊賞與褒獎，讓學生也體驗到一份成功的喜悅。四是教師在情感上要傾力投入，努力做到以充沛的感情、專注的精神、堅強的毅力、豐富的想象、生動的語言進入到師生互動的情境中去，用自身的熱情來感染學生，用自己的智慧來引導學生?？傊谡n堂學習中要讓學生自信地站起來，體面地坐下去。

（2）設計好數學問題

在高中數學教學中，問題是引發學生思維與探究活動的向導，同時也是師生課堂互動的發動機。課堂教學中的互動往往始于問題，并為解決問題而開展的一系列活動。教師設計的數學問題要具有趣味性、挑戰性、思維性，把學生置于一種真實的問題情境中，讓學生認識到新問題與原有的認知結構之間存在矛盾，并且具有解決這一矛盾的必要性與可能性時，學生才能成為真正的學習主體?？傊辛藛栴}還要把握好設問的時機，讓學生的思維始終處于一個接一個問題的探究中，師生之間的互動才能顯得水乳交融。

（3）運用好教學變通

鐘啟泉先生認為：“教學的本質在于溝通與合作，教與學的關系是溝通中的相互作用關系。”現代教學觀也認為，教學過程是師生交往、共同發展的互動過程。教師既作為與學生群體、學生個體產生互動的一方，又應該是課堂互動的調控者，從而促進師生互動行為的高質量、高效益開展。教師需要從倫理、認知、心理、方法等方面重建師生關系，才能從根本上保障師生互動行為的有效開展，建構充滿生機與活力的迷人課堂。

【參考文獻】

［1］譚金鋒.數學教學中的師生互動研究［J］.大學數學，2007（6）.

［2］李興梅，曹學林.談中學數學課堂教學中的師生互動［J］.數學通報，2009（4）.

［3］卓斌.探明學情是有效教學的前提［J］.數學通報，2014（2）.

（作者單位：江蘇省宿遷市教育局教研室）