共扼梯度法對簡支梁橋的損傷識別研究

朱澤文，方有亮

(河北大學(xué)建筑工程學(xué)院，河北保定071000)

國內(nèi)外關(guān)于結(jié)構(gòu)損傷識別工作主要開始于20世紀(jì)80年代初，經(jīng)過30多年的發(fā)展，已經(jīng)在結(jié)構(gòu)損傷識別方面取得了一些成就，但離實際的應(yīng)用還有一段距離。橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別主要有靜力和動力損傷識別，以及兩者結(jié)合的損傷識別。然而，因為動力識別的優(yōu)越性，目前基于動力的結(jié)構(gòu)損傷識別尤其受到關(guān)注。因為該方法具有非破壞性、方便、快速和廉價的優(yōu)點且具有廣闊的工程應(yīng)用前景。從理論角度來講，由于局部損傷的產(chǎn)生，該區(qū)域的結(jié)構(gòu)剛度和承載能力將會有所下降, 而結(jié)構(gòu)的質(zhì)量特性一般不會受到影響，結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(剛度、振型，模態(tài)阻尼)將隨之而改變，因此通過研究結(jié)構(gòu)的振動特性來識別結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷, 并確定損傷的位置和程度是一種可行的途徑。

1 結(jié)構(gòu)模型修正

關(guān)于結(jié)構(gòu)振動的有限元模型修正中，常采用基于參數(shù)的模型修正和直接矩陣逼近的模型修正方法[1]、[2]。本文主要基于參數(shù)的模型修正，將正弦激勵力的移動荷載作用在簡支梁上，根據(jù)正問題所得的響應(yīng)逆算結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)。文獻[3]中將共扼梯度法與遺傳算法結(jié)合，應(yīng)用在航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)損傷識別。文獻[4]中，C·-H·HUANG將共扼梯度方法應(yīng)用在非線性的有阻尼系統(tǒng)的外部力的識別上。文獻[5]中，將共扼梯度和遺傳算法相結(jié)合，對一桁架及懸臂梁進行損傷識別。基于上述文獻中相關(guān)問題的研究，本文也將共扼梯度和遺傳算法結(jié)合應(yīng)用在簡支梁橋的損傷識別上，不同的是將正弦激勵移動荷載作用于簡支梁橋上，通過所得的位移響應(yīng)數(shù)據(jù)對簡支橋梁的損傷程度進行評估。本文將根據(jù)簡支梁中單元受損位置、損傷程度情況進行討論分析損傷識別效果。

2 簡支梁模型與動力學(xué)方程

圖1 簡支梁模型示意

(1)

本文中所用阻尼矩陣為Rayleigh阻尼：

C=αM+βK(α，β為比例常數(shù))

(2)

3 逆問題分析

3.1 正問題

對于任意的K，C以及f(t)，利用數(shù)值計算方法(Newmak-β)對式(1)進行數(shù)值求解，將求得的響應(yīng)逆算結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)。

3.2 靈敏度問題

本文將彈性模量E作為剛度損傷因子，假定每個單元的彈性模量均不同。該剛度矩陣不考慮軸向力及軸向位移的作用。令K=f[E]，其中E=[E1,E2,…ENe]，Ne表示單元個數(shù)。為了推導(dǎo)每個未知剛度Ki的靈敏度問題，則假定每個未知的剛度參數(shù)同時被擾動，Ki的增量為ΔKiδij，δij是克羅內(nèi)克函數(shù)，j=1,…Ne，同時，位移響應(yīng)也發(fā)生微小的擾動Δxij(t)，在這Δxij表示當(dāng)?shù)趈個單元的參數(shù)發(fā)生變化時，第i個節(jié)點位移變化量。將Ki用Ki+ΔKiδij，xi(t)用xi(t)+Δxij(t)替代，代入式(1)中，且與(1)式相減，忽略二階微量式，則可推導(dǎo)出Ne個單元的靈敏度問題方程：

(3)

其中Δxj=[Δx1j,Δx2j，……，ΔxNj]，

ΔKj表示第j個單元的彈性模量發(fā)生改變后的單元剛度矩陣，因此當(dāng)單元沒有損傷時，此時的ΔKj為0

3.3 伴隨問題及共扼梯度方程

逆問題的解答其實就是求解最優(yōu)化的問題，定義目標(biāo)函數(shù)為：實測數(shù)據(jù)與計算數(shù)據(jù)的差的平方和，即：

(4)

tf表示計算最終的時間，x(K,t)為計算響應(yīng)值，xexp(t)為實際值。

為了求解式(4)的最小值，在這引入拉格朗日算子λ(t)，因此式(4)可寫成：

(5)

將Ki用Ki+ΔKiδij，xi(t)用xi(t)+Δxij(t)替代代入式(5)并與之相減且忽略二階微量式，可得：

(6)

對式(6)進行分部積分且將初值條件代入，即可推導(dǎo)出關(guān)于λ(t)的向量式子為：

(7)

(8)

求得伴隨問題后，我們可以從式(6)和式(7)推導(dǎo)出：

(9)

由文獻[8]可知，J[K]的方向?qū)?shù)可寫成：

(10)

(11)

3.4 共扼梯度方法

共扼梯度方法的迭代程序中關(guān)于剛度變化參數(shù)用表示：

Kn+1=Kn-βnPnn=1,2,……

(12)

式中：β表示步長，Ρn表示共扼梯度方向(也稱為最佳搜索方向)

Pn=J′n+γnPn-1(γ0=0)

(13)

γn為一線性組合因子，在這應(yīng)注意，當(dāng)n=0時，γ0=0，

(14)

在式(12)中出現(xiàn)的βn，可以通過式(4)，將Kn+1(t)換成Kn(t)

(15)

將式(15)中Kn+1=Kn-βn代入，利用泰勒展開即可求得：

(16)

3.5 終止準(zhǔn)則

J[K]<ε*(10-15)

(17)

3.6 遺傳算法

遺傳算法是模擬達爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程，對群體反復(fù)進行基于遺傳學(xué)的操作(遺傳、交叉和變異)。根據(jù)預(yù)定的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)對每個個體進行評價，依據(jù)適者生存、優(yōu)勝劣汰的進化規(guī)則，不斷得到更優(yōu)的群體，同時以全局并行搜索方式來搜索優(yōu)化群體中的最優(yōu)個體，以求得滿足要求的近似最優(yōu)解。本文遺傳算法的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)與共扼梯度的目標(biāo)函數(shù)相同：

(18)

式中：xexp(t)為實測響應(yīng)數(shù)據(jù)；x(K,t)為更新后的剛度矩陣通過正算得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)。

4 移動荷載

文獻[6]中，將移動荷載模擬成一質(zhì)量塊與結(jié)構(gòu)通過彈簧連接，這樣移動荷載與橋梁就存在了相互的作用，然后通過不同的速度來研究結(jié)構(gòu)的動力特性。文獻[7]中，利用動態(tài)規(guī)劃的方法識別結(jié)構(gòu)中的移動荷載?；谝陨衔墨I的考慮，本文將移動荷載的思路運用到橋梁識別上，移動速度為18 km/h，從梁的左端移動到梁的右端。利用Newmak-β數(shù)值方法計算結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)，計算時間8 s，時間步長0.01 s，γ=0.6，β=(0.5+γ)2/4

移動荷載：

f=104×[1+0.5×sin(2πt)+0.5sin(5πt)]

(19)

當(dāng)荷載作用在第i單元非節(jié)點上時，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法中關(guān)于等效結(jié)點荷載處理可知，將集中荷載等效到該單元的兩個端節(jié)點上。

5 損傷識別

本節(jié)僅用共扼梯度法在有噪音的情況下進行損傷識別，按照下式給損傷后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)加入噪音：

xext(t)=x(t)×(1+σR)

(20)

其中σ為標(biāo)準(zhǔn)誤差，R為隨機的數(shù)([0,1])。在這里σ取1%，僅為檢驗該方法對噪音的抗干擾能力，實際的噪音可能更高。

5.1 單一損傷

圖2 5號15%損傷

圖3 1號15%損傷

圖2、圖3表示當(dāng)跨中的5號和支座處1單元受損傷15%時，在有噪音干擾情況下，計算與實際損傷值的對比。可以看出，識別效果雖有誤差，但相差不大。 這說明，對于單個單元受損，不管位置在哪，損傷程度如何，僅用共扼梯度方法，任給初始值，都能識別得到較好的結(jié)果。

5.2 多單元受損

以下主要針對三種情況進行損傷識別：(1)損傷程度相同，損傷位置對稱(靠近支座處)。( 2)損傷程度不同，損傷位置對稱(靠近支座處) 。(3)損傷程度不同，損傷位置不對稱。

圖4 1、2、9、10號損傷20%

圖5 1、2號損傷20%，9、10號損傷50%

圖6 1、2號損傷20% ，5、6號損傷50%

由圖4可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)有四個單元受損傷時，損傷程度一樣時，對稱的布置于兩支座處時，損傷識別效果并不理想。由圖5可知，當(dāng)損傷的位置對稱布置于兩支座處，但是損傷程度不一樣時，加入噪音后，識別效果基本沒有變化。由圖6可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)受損傷的程度不一樣，損傷的位置也不對稱時，雖跨中的兩個單元計算損傷值與實際的損傷值相差不大，但這主要與初始的估計值有關(guān)。整體的識別效果不理想。

6 用混合方法對單元損傷進行識別

本節(jié)中引入遺傳算法計算初始值，主要解決上節(jié)中僅用共扼梯度法，任給初始值不能很好識別結(jié)構(gòu)損傷問題。因為共扼梯度法計算需要一個初始值，然而當(dāng)多單元損傷，多程度損傷時，這時的初始值的選擇對于識別的結(jié)果至關(guān)重要。所以在本節(jié)中，主要是利用遺傳算法先估算出一個初始值，再用該結(jié)果作為共扼梯度算法的初始值。這種混合方法的運用可以比較好的識別結(jié)構(gòu)的損傷。

圖7 1、2號損傷 20%，5、6號損傷 50%

圖8 1、2號損傷 20%，9、10號損傷 50%

從圖7、圖8可知，利用混合方法多單元進行損傷識別(加入了噪音)，雖然結(jié)果和真實值不是很吻合，但整體的效果相比僅用共扼梯度法進行識別要好的多。

7 結(jié)論

本文將正弦激勵移動荷載作用在簡支梁橋損傷識別上，可以更好地激勵橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，從而可以更加有效地利用速度響應(yīng)數(shù)據(jù)對結(jié)構(gòu)進行損傷識別。

通過以上的識別效果表明，當(dāng)僅用共扼梯度法對橋梁結(jié)構(gòu)從理論上進行識別時，對于單個單元受損，識別效果很好，對于多單元損傷，當(dāng)損傷的為跨中附近單元且損傷程度一樣時，可以較好識別，然而當(dāng)損傷程度不一樣時，識別效果較差。這主要與初始值的選擇有關(guān)，當(dāng)用共扼梯度和遺傳算法聯(lián)合運用對移動荷載作用下橋梁結(jié)構(gòu)的損傷識別從理論上能得到較好的識別效果。加入噪音后，噪音僅對靠近支座處損傷程度較低的單元識別有影響，對于其它位置的損傷識別影響不大，這說明該方法對噪音的抗干擾能力較強。

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