運用文氏圖（Venn Diagrams）于資優班的區分性教學

黃如屏

一、前言

“有教無類”與“因材施教”的教育目標，是所有教學者所欲追求的終極目標。只是每個學生的發展，都有其內在潛能的差異，而我國現階段的教育現況卻無法以全然適異的教學方式幫助學生成長，使得每個教師每天所面臨的重大挑戰之一，就是努力適應每一個學生的個別差異，同時還必須具有敏銳的觀察力和有沖勁的行動力，幫助所有學生達到潛在水平的學習成就。惟現實的教學現場，反而以齊一的教材、統一的進度、單一的評分標準考量教師的教學效率、學生的學習成效，期望以相同質量的學習內容，讓學生重復練習以達精熟。這樣的教學方式不但無法照顧到每一個學生，也嚴重忽略學生的自主權與個別差異，實有違背教育的本質。而強調適異的區分性教學正好提供教師“有教無類”且“因材施教”最好的辦法。

區分性教學理論強調“學習本位”的教育理念，“區分”的意思并不是強制要求學生分組，也不是完全把學生隔離，而是指教師評估每一個學生不同的起點行為，“區分”出每個學生的學習特質，彈性的使用不同的教學策略，期望讓每個不同特質的學生，都能夠參與學習，這種概念就是適性化教育理念的基礎（高博銓，2006）。因此，不管在普通班或面臨具有特殊需求學生的學習環境中，教師的教學方法更需要彈性且多元，以滿足每個學生獨特的個別需求。而教師的教學彈性，則來自于教師對于教學方式的重新省思、組合、靈活運用不同的教學策略及各種教學資源。因此，具有區分性教學理念的教師可以運用不同學習資源，也可以使用單一作業，但允許某些學生快速完成或安排不同程度的工作任務，在學生了解任務的基本前提下，可以自己決定學習速度。教師則視需要，隨時調整課程以符合學生的需求，同時也要照顧到不同特質的學生（Tomlinson，2001）。

Lannie Kanevsky深知區分性教學的重要性，便于2003年嘗試將文氏圖和區分性教學做一結合，她認為文氏圖能提供學生認知理解概念的方法，也提供不同層次信息處理的方式。在教師比較熟悉的區分性教學策略中，使用文氏圖作為媒介來進行學習，可能更容易掌握（Lannie Kanevsky， 2003）。如同文氏圖這種工作符號表現了分析事物關系的價值，也提供學生高層次思考的機會，雖然文氏圖的歷史至今才一百多，但許多教育領域以外的人也開始將文氏圖應用在他們熟悉的領域中。文氏圖對于資優教育過程和內容的區分上應是一個很棒的媒介工具，本文延續Lannie Kanevsky的研究，以文氏圖這種多元的學習方式，發展為區分性教學活動的策略之一，期以吸引學生學習動機，幫助學生持續思考、開展潛能，對學生學習能力的幫助上應有一定的助益。

有鑒于此，本文擬從文氏圖的理論觀點探討區分性教學，以彰顯文氏圖的應用對區分性教學的意義。首先介紹文氏圖的定義；進而說明文氏圖與區分性教學的關系以及說明以文氏圖進行區分性教學的意義。

二、文氏圖（Venn Diagrams）定義

英國人John Venn（1834-1923）在1881年出版了《Sym-bolic Logic》（邏輯符號）一書，以數學和邏輯的關系，發明了一種圖解架構的工作符號，稱作文氏圖。文氏圖（Venn Diagrams），又稱為溫氏圖、范氏圖、維恩圖。William Dunham認為在數學領域中，文氏圖用來表示集合、分類概念的一種圖示方式。亦即用來表示理解推論或不同事物的群組（集合或類別）間大致的邏輯關系，同時也是高層次思考表現的結果，以引導閱讀者理解關系的圖解（蔡承志譯，2009）。美國數學家菱克沙恩替文氏圖下了一個定義：“文氏圖是一個集合符號的表示，用平面圖形的某個內部區域來表示某個事物，再用某條封閉的線段內的點或空間來表示其他事物交集關系的概念。”（許志農，2004）

簡單地說，最初的文氏圖只是兩個相互交織的圈圈，兩個圓如果沒有相交，呈現相離或相切的關系，在文氏圖中，并不具任何意義，有可能出現如歐拉圖（Euler Diagrams）的形式，如圖1-1。雖然Leonhard Euler比Venn John還要早發明歐拉圖，但兩者卻大不相同，歐拉圖要表示的是特定集合之間的關聯，圖1-1的例子中，一個集合完全在另一個集合中。我們可以假定集合A是小孩，集合B則是所有的人，而集合C則是所有的寵物。從這個圖中，你可以看出所有的小孩都是人，但不是所有的人都是小孩。進一步說，集合C（比如說所有的寵物）與集合B 沒有共同的元素（集合的成員），從此我們可以在邏輯上下斷言沒有一個小孩是寵物（或者反過來說，沒有一只寵物是小孩）。（在這里不討論那種把小孩當寵物養的家庭，那樣的父母本身就不是人了！）

而文氏圖則包含所有概念可能的交集。如果有討論的大前提范圍，則再在兩個圓圈外加上一個矩形框來表示討論主題的大前提范圍（維基百科，2014）。例如圖1-2的矩形框所表示的論域為生物圈，而左邊的圓圈A可以代表四條腿的動物，右邊的圓圈B可以代表會游泳的動物，兩圓相交疊（∩表示交集）的區域，就包含了在生物圈中會游泳且有四條腿的動物，如：青蛙、小狗。

圖1-1 歐拉圖（也稱尤拉圖、歐氏圖）

圖1-2 文氏圖（一個集合）

文氏圖的變化非常多樣，當然文氏圖也有復雜的樣貌，使它所呈現的集合可以擴展到更多，甚至還有文氏圖專門網介紹各種文氏圖的變化運用。http：//www.venndiagram.net/contact圖如1-3為具有三個集合的文氏圖；Venn甚至融入橢圓和不規則的形狀達到具有六個集合的文氏圖，如圖1-4；或甚至挑戰變化文氏圖形組織，創造一朵漂亮的文氏圖花，如圖1-5。

圖1-3 三個集合的文氏圖

圖1-4 六個集合的文氏圖

圖1-5 文氏圖花

三、以文氏圖進行區分性教學

（一）適用時機

通常教師在課堂中進行集合概念、概率問題、包含互斥或組合排列等觀念原則的教學時，學生往往對于單一且分開的學習題材較無困難，但一旦遇到統整、應用的問題時，便顯得束手無策。文氏圖正是一種包含組合、集合和機率等觀念的思考產物，很適合拿來當作課前的預覽、課中的思索與課后的統整活動。endprint

文氏圖最大的優點在于它適用所有程度的學生，當教師對學生學習程度的掌握越清楚、越了解時（可透過各種策略了解學生的起點行為、學習準備度和學習風格，當然也包括簡易的文氏圖；不管學生的能力水平如何，在教學活動開始前，利用文氏圖來做區分，也是一種很好的開始。）教師越能因為學生的背景知識不同、思維能力和方式的不同，而以文氏圖做適異上的區分性教學，對于只能做低層次思考的學生，文氏圖可以用來做理解所學知識的關系比較；但能進行復雜思考的資優生，則可以進行分析討論。不管是哪種程度的學生，文氏圖對他們概念的建構而言，都有一定的價值。

在區分性教學的班級內，文氏圖是一個很有用的圖形組織。學生學習一個新的主題時，文氏圖可作為一個集思廣益、整理概念、記錄訊息的工具，有系統的組織、分析使用每一個圓形所代表的意義。文氏圖也可以做靈活變化的運用，將個別獨立完成的圓形概念，兩兩合并，建立一個有著兩圓交織的文氏圖，也可以進階到結合四個學生為一組的圖形組織，學生不但能夠獨立工作也可以相互討論、合作學習，互相搭對方的鷹架提升思考水平。

在課堂中練習文氏圖后，教師可預留時間引導學生進行文氏圖主要概念的班級討論，這也是必要的，當每個學生被分配到或他所選擇的主題概念相同，教師即可從文氏圖看出學生程度的差異，再適度給予其能力水平的任務，這就是區分性教學的意義所在。不過，當教師引導學生運用文氏圖來表示概念關系的過程中，因為教室空間很有限，所以可能造成很某種程度的混亂或復雜情況，此外，圖形成果的展現若未經原作者解釋，也很難獨立閱讀，這算是以文氏圖進行區分性教學美中不足之處。

總而言之，根據Roberts & Inman的研究（2009）和香港教育局資優教育組（2008）所編寫的“抽離式校本數學資優培訓課程系列”建議，文氏圖適用的時機大約可以歸納如下（Roberts & Inman， 2009a；香港教育局資優教育組，2008）：

1.文氏圖可用在區分性教學的過程中，幫助學生研究同一概念，但不同復雜程度的學習內容；

2.文氏圖用在前測，可評估學生的學習準備度，確定學生的需求、興趣或能力；

3.當教師欲介紹一個新的學習主題時，可利用文氏圖幫助學生記錄筆記、澄清觀念，有組織、有系統地分析圖形的意義；

4.學生要統整某些觀念時，可利用圖像思考工具（Graphic Organizers），亦即文氏圖進行組織，無論學生的能力水平或思考的復雜程度，在學習活動前利用文氏圖進行分層，會是一個很好的開始；

5.學生進行獨立學習或小組活動時，可鼓勵學生單獨運用文氏圖形思考，再與合作伙伴結合彼此的文氏圖，建立一個具有多個集合的思維成果，以相互幫助彼此在更高的鷹架水平上達成任務；

6.文氏圖也可以用來復習或評估學生的學習成效。雖然所有的學生都在練習使用相同的主題概念學習，只是每一個學生所表現的思考水平可能不盡相同。有的學生可以利用最少的圓形在適當的位置，描繪出準確而完整的概念特征；有的學生只能嘗試利用部分圓形，適當地完成有些許迷思概念的文氏圖。當教師確保學生的學習興趣維持在中高程度且任務持續進行中，可適度地容許學生的文氏圖有些許不完整的信息；

7.課程結束后，教師可將文氏圖作為學生的回家作業，讓學生的思考練習，能有更充裕的時間可以延續發揮。

（二）進行方式

在區分性教學的過程中，以文氏圖為工具進行學習，教師可設定基本任務門檻，鼓勵學生達到最低標準，同時以各種獎勵制度（如：加分）或社會性贊賞（如：公開展示、表揚）建議學生設定一種有挑戰性的目標期望，嘗試一個新的思考、方式，幫助學生列出更多學習概念的關系圖。最關鍵的問題除了營造鼓勵且支持的學習氛圍之外，教師需允許學生有不同的想法，還需要適度的放手，給學生一些彈性空間。在這里并不需要強迫學生完成一大堆圈圈交集的文氏圖，而在于給予挑戰性任務，找到概念相似和相異的地方，完成與他人「不同的」文氏圖，以刺激思考提升思維能力，并得到學習上的進步和成長。整個文氏圖的呈現，重點落在學生要能以不同的復雜程度，處理一樣的元素概念。

Roberts & Inman（2009a）指出以文氏圖來進行區分性教學時，增加很多個圈圈或橢圓形的復雜度和內容是必要的。學生的文氏圖作品中，圓的數量越多，可能意味著他的思考可能趨于精致，但完成數個圈圈交集的文氏圖后，卻未能將概念準確而完整地放置在適當的位置，甚至放錯位置，導致概念上的迷思或混淆，還不如挑戰少而美的創作，但能提供的信息卻最恰當而精準的集合概念。對學生來說，一個圓形的呈現，表示一個單一的概念，適當地加上另一個圓形概念，可以比較或對照兩個圓形概念之間的關系。當兩個圓形重疊部分，則表示兩個分屬不同概念的圓形之間有一些共同點，但未重疊的部分則為相異處。對一些天資聰穎的特殊學生來說，兩圓的概念可能略顯簡單，且無法清楚地解釋或表現出他們內在復雜的思考歷程。那么，對不同程度的資優生來說，他們能夠進行快速聯結和做抽象的思考者，則可以進階至多圓相互重疊的關系來做分析，設法引導學生將內在思維的過程，進行聯結、比較、分類和歸納。

Silver， Strong， 和Perini（2001， p.150）認為教師以文氏圖為工具幫助學生整理信息，最主要的目的，也只是想引起學生的學習動機，促進思考罷了。可見，文氏圖形表達方式，并不一定只限于以圓形呈現，圓只是比較大眾美而已，我們也可以橢圓形、X字形、Y字形或不規則的形狀等其他的圖形來表示。重要的是，學生能達到基本標準，亦即準確地將概念放在正確的區域（準確性）且每個圈圈都涵蓋了每一個概念，沒有遺漏（完整性）。

總之，以文氏圖進行區分性教學最重要的是，教師必須再三確認學習的焦點概念，一旦決定學習的主題后，便要考量以哪些方式幫助學生認知、理解學習的概念，除了學習內容的斟酌外，也必須評估不同學習風格學生的適合度，適度對不同思考階層的學生給予彈性，學習在任務中為自己的學習負責。如果我們希望我們的教學，可以幫助所有的學生不斷的成長，那么我們需要鼓勵學生激發不一樣的思考，支持學生自己設定或教師幫助他設定一些稍具挑戰性的期望水平，讓學生嘗試不同階層的學習冒險。endprint

（三）獎勵標準

以文氏圖進行區分性教學時，教師必須在活動進行前，將活動規則描述清楚，確保每一個學生都清楚教師的期望，同時教師也必須仔細考慮文氏圖設計的獎勵標準和鼓勵辦法。Kanevsky（2003）指出，獎勵和鼓勵的目的在于讓學生獲得立即的反饋，包含實質的獎勵、知識上的反饋和改進學習盲點的建議。至少在文氏圖當中，圖形繪制的準確性和完整性是最重要的。準確性指的是文氏圖中的資料放置位置是正確的，且資料也是正確無誤的；完整性指的是，在每個集合中，用最少的圖形，卻能包含最多的概念。而獎勵的項目包含：

1.文氏圖的質量：能反映出具有準確、完整、有深度推理的集合概念。

2.文氏圖的數量：用最少的集合重疊，表達一個完整的概念。

3.有利的支持證據：學生的文氏圖集合類包含，可以提出相當的證據提供支持。

4.不偏離主題：即便是每個學生都在任務工作中，教師也必須確認大家都在分析指定的概念。

四、結語

區分性教學的目的并不是刻意在區分學生能力的高中低，而在于正視學生本身的優弱勢能力、特殊需求，給予其“需要”的資源，而非“想要”的光環，區分性教學才可能在關鍵上達到區分的意義。本文透過文氏圖希望以此區分性教學策略，幫助學生學習熟練運用圖像符號、集合語言，描述不同的具體問題集合中的元素，感受集合語言的意義和作用。文氏圖的集合概念可以幫助學生更理解領域知識中的集合語言，幫助學生邏輯分類，并學會用集合語言表達問題概念，運用集合觀點去研究和解決問題。借著這種圖解的方法，能使抽象的意識一目了然，快速推進邏輯思考，達到分類的目的。

本文若能提供現職教師區分性相對應的教學資源，例如：引發教師某種程度上的教學省思，發展具挑戰性且符合學生能力的教材，培養學生的推理技能，發展學生的思維能力，相信不僅能提供更多激發學生思考的機會，也能從不同學生的優勢面來欣賞其學習成果。

【參考文獻】

[1]高博銓. 適性教學的理念與實施策略[J]. 教育資料與研究雙月刊，2006：69，p.261-274.

[2]教育局資優教育組. 資優教育“抽離式校本數學資優培訓課程系列”中學篇系列空間與圖像[J].香港教育局資優教育組，2008：11-18.

[3]維基百科. 文氏圖. http：//zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%96%87%E6%B0%8F%E5%9B%BE，2014-1-23.

[4]蔡承志譯（2009）.數學教室A to Z[M]臺北：商周.

[5]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. Gifted Education Communicator，2003：34，2，42-44.

[6]Kanevsky， L. Tiering with Venn diagrams. KAGE Update： Newsletter of the Kentucky Association for the Gifted， 2005：1， 9-10.

[7]Roberts， J. L.， & Inman， T. F. Strategies for differentiating instruction： Best practices for the classroom （2nd ed.）. Waco， TX： Prufrock Press，2009.

[8]Venn Diagrams. Re： Venn diagram models and examples. [Web blog message]. Retrieved from http：//www.venndiagram.net/contact，2014.endprint

（三）獎勵標準

以文氏圖進行區分性教學時，教師必須在活動進行前，將活動規則描述清楚，確保每一個學生都清楚教師的期望，同時教師也必須仔細考慮文氏圖設計的獎勵標準和鼓勵辦法。Kanevsky（2003）指出，獎勵和鼓勵的目的在于讓學生獲得立即的反饋，包含實質的獎勵、知識上的反饋和改進學習盲點的建議。至少在文氏圖當中，圖形繪制的準確性和完整性是最重要的。準確性指的是文氏圖中的資料放置位置是正確的，且資料也是正確無誤的；完整性指的是，在每個集合中，用最少的圖形，卻能包含最多的概念。而獎勵的項目包含：

1.文氏圖的質量：能反映出具有準確、完整、有深度推理的集合概念。

2.文氏圖的數量：用最少的集合重疊，表達一個完整的概念。

3.有利的支持證據：學生的文氏圖集合類包含，可以提出相當的證據提供支持。

4.不偏離主題：即便是每個學生都在任務工作中，教師也必須確認大家都在分析指定的概念。

四、結語

區分性教學的目的并不是刻意在區分學生能力的高中低，而在于正視學生本身的優弱勢能力、特殊需求，給予其“需要”的資源，而非“想要”的光環，區分性教學才可能在關鍵上達到區分的意義。本文透過文氏圖希望以此區分性教學策略，幫助學生學習熟練運用圖像符號、集合語言，描述不同的具體問題集合中的元素，感受集合語言的意義和作用。文氏圖的集合概念可以幫助學生更理解領域知識中的集合語言，幫助學生邏輯分類，并學會用集合語言表達問題概念，運用集合觀點去研究和解決問題。借著這種圖解的方法，能使抽象的意識一目了然，快速推進邏輯思考，達到分類的目的。

本文若能提供現職教師區分性相對應的教學資源，例如：引發教師某種程度上的教學省思，發展具挑戰性且符合學生能力的教材，培養學生的推理技能，發展學生的思維能力，相信不僅能提供更多激發學生思考的機會，也能從不同學生的優勢面來欣賞其學習成果。

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[7]Roberts， J. L.， & Inman， T. F. Strategies for differentiating instruction： Best practices for the classroom （2nd ed.）. Waco， TX： Prufrock Press，2009.

[8]Venn Diagrams. Re： Venn diagram models and examples. [Web blog message]. Retrieved from http：//www.venndiagram.net/contact，2014.endprint

（三）獎勵標準

以文氏圖進行區分性教學時，教師必須在活動進行前，將活動規則描述清楚，確保每一個學生都清楚教師的期望，同時教師也必須仔細考慮文氏圖設計的獎勵標準和鼓勵辦法。Kanevsky（2003）指出，獎勵和鼓勵的目的在于讓學生獲得立即的反饋，包含實質的獎勵、知識上的反饋和改進學習盲點的建議。至少在文氏圖當中，圖形繪制的準確性和完整性是最重要的。準確性指的是文氏圖中的資料放置位置是正確的，且資料也是正確無誤的；完整性指的是，在每個集合中，用最少的圖形，卻能包含最多的概念。而獎勵的項目包含：

1.文氏圖的質量：能反映出具有準確、完整、有深度推理的集合概念。

2.文氏圖的數量：用最少的集合重疊，表達一個完整的概念。

3.有利的支持證據：學生的文氏圖集合類包含，可以提出相當的證據提供支持。

4.不偏離主題：即便是每個學生都在任務工作中，教師也必須確認大家都在分析指定的概念。

四、結語

區分性教學的目的并不是刻意在區分學生能力的高中低，而在于正視學生本身的優弱勢能力、特殊需求，給予其“需要”的資源，而非“想要”的光環，區分性教學才可能在關鍵上達到區分的意義。本文透過文氏圖希望以此區分性教學策略，幫助學生學習熟練運用圖像符號、集合語言，描述不同的具體問題集合中的元素，感受集合語言的意義和作用。文氏圖的集合概念可以幫助學生更理解領域知識中的集合語言，幫助學生邏輯分類，并學會用集合語言表達問題概念，運用集合觀點去研究和解決問題。借著這種圖解的方法，能使抽象的意識一目了然，快速推進邏輯思考，達到分類的目的。

本文若能提供現職教師區分性相對應的教學資源，例如：引發教師某種程度上的教學省思，發展具挑戰性且符合學生能力的教材，培養學生的推理技能，發展學生的思維能力，相信不僅能提供更多激發學生思考的機會，也能從不同學生的優勢面來欣賞其學習成果。

【參考文獻】

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[7]Roberts， J. L.， & Inman， T. F. Strategies for differentiating instruction： Best practices for the classroom （2nd ed.）. Waco， TX： Prufrock Press，2009.

[8]Venn Diagrams. Re： Venn diagram models and examples. [Web blog message]. Retrieved from http：//www.venndiagram.net/contact，2014.endprint