設計力求“四控” 實施要求“四明”

孫紅誼

數學的解題教學需要一定的理論做指導，且不能就題論題，更不能單純追求數量，把學生推進“無邊的題海”。對我們一線教師來說應當全面了解數學問題的意義、特點，以及數學問題的結構和類型，在指導學生解題時，既能高屋建瓴，又能投其所需，恰到好處，力求通過解答一個題，解決一大片題，從而起到“以一當十，以十勝百”的效果。

我努力做到掌控首要環節，監控主要步驟，調控重要解法，自控必要評價，使每個學生能明白做什么，明確怎么做，明晰咋做好，明了做對嗎？真正讓學生親歷解題的思維過程，體會到解題成功之喜悅，感悟到解題的無窮樂趣。

波利亞的《怎樣解題》在全球范圍內有很大的影響和反響，在具體設計和實施解題教學時我遵照波利亞的“四個解題步驟”，牢牢地把握“弄清問題→擬定計劃→實現計劃→回顧反思”這四個解題步驟。

一、掌控選題審題是不可或缺的首要環節，明白選什么做什么

經過多年的發展和積累，數學題的題型在不斷翻新，題目的數量已經多得數不清了，“題庫”、“題典”等層出不窮，大量的題海淹沒了學生的解題興趣。為改變現狀，必須首先解決——選題和審題，要求每位學生一拿到題目，首先要考察“題目要求我們做什么？”

1.選題

陳省身在上海的一次學術報告會上再次論述了一個18世紀法國數學家拉格朗日（Lagrange）的標準：“好的數學問題應滿足兩個條件：①易懂，走在馬路上向任何一個人都能講清楚；②難攻，這種數學問題必須相當困難，但又不是無法攻克的。”

因此，在選擇數學題目時要明確怎樣的題目才是有質量的題目。一句話，就是“淺入深出”，即數學情景比較簡單，但包含了深刻的道理。我做了以下嘗試。

如在分數、百分數應用題的解題教學中，我沒有依照課本內容照本宣科，而是引用了一首兒歌：蝴蝶風箏多漂亮，八米高空隨風揚，五分之三繩在手，風箏繩子有多長？

先讓全體學生齊聲讀一遍，隨即提示他們畫圖解答。

大部分學生都畫出：

連解題能力較弱的學生A也畫了以下圖形：

（1）系統掌握教材上的例題和習題；

（2）認真做好有代表性的熱點、考點題；

（3）動手探索一些實踐性的應用問題；

（4）讓學有余力的學生涉獵一些思考題、壓軸題。

2.審題

對學生來說，審題時主要分清兩類內容：

其一，為純數學問題，所提出的問題來自數學的本身，解決問題的方法大多需要相關課本內容的思想方法。

其二，應用數學問題，問題來自現實生產、生活中的實際的需要，審題時要首先對問題的情景進行分析，把數學問題轉化為已掌握的若干基本問題，然后運用數學方法來解答。

二、監控解題過程是不能忽視的主要步驟，明確怎么做

經常在學生中聽到這樣的聲音：“在聽老師講解時我好像都聽懂了，但一到自己獨立做題時我好像有‘恐懼感，一見題目就心慌意亂，無從著手。”大部分學生怕解題的心理，實際上就是讀題后沒有辦法“悟出題旨的意圖”。因此，面對水平參差不齊的學生，在題目出示后，我分別用提示、暗示、揭示、顯示的方法進行“點撥式監控”，收到了不錯的效果。

例如，把一個長方體用一個平行于底面的面截掉高的2cm后，這個長方體成為一個正方體，正方體的表面積比原來長方體的表面積減少了48平方厘米，求正方體的體積和表面積各是多少。

這道題是稍有點難度的幾何綜合題，對想象力較好的學生來說并沒有什么困難，但對于一般學生及中下水平的學生來說，卻不容易理出解題思路。這時就完全需要教師監控解題過程，才能使每位學生明確怎么做了。

我對任教的兩個班級采用了不同的教學方法，在五（1）班教學時采用“放羊式，自練”，結果其正確率只有40﹪，而在五（2）班用“點撥式監控”，正確率為80﹪。

“點撥式監控”：

1.從字面上找關鍵詞：2厘米，減少了，表面積，體積。

2.從圖形變化關系暗示：如圖1。

3.從思維的邏輯推理揭示：長方體→減少→正方體。

4.從疑點、難點處顯示。（割開的地方有兩個正方形的面）

經點撥后，全班學生都沉浸在熱切希望解決問題的狀態中，很快知道減少部分的表面積：設長方體底面邊長為x，2x×4=48，x=6，即正方體的表面積是216平方厘米，體積是216立方厘米。

三、調控多種解法是不難掌握的重要途徑，明晰還能咋做

在解題教學中，大部分學生解答完一道數學題，就習慣地認為任務完成，萬事大吉了，而對于解題是否正確，是否還有更適合自己的解法，根本不去思考。因此我在教學中注重解題教學的“四重境界”，即“一聽就會做，一點就能透，一時忘不了，一生均管用”。

四、自控環節的正誤是不容置疑的必要評價，明了做對了嗎

在日常測查或期中、期末測查中，常常有一個怪現象：成績較好的學生都會大聲驚呼：“我在做選擇題時不小心給選錯了，真可惜！”……而成績中下游的學生則表現得很滿意，或毫不在乎……究其原因，是以上大多數學生沒有反思自己的解答是否合情合理。

為此在解題教學中我設置以下“四關”：

其一，過反思理解關。指自己有否看錯、寫錯、想錯，以及有否看清題旨，理清題意，聯想到的數學知識和技能是否有誤。

其二，過反思計算關。注重在計算時嚴格遵照“一步一個腳印，一步一個回頭”，“落筆”反思。

其三，過反思步驟關。主要自主回顧解題步驟及格式是否規范，單位是否統一，圖文是否匹配，答語是否合意。總之要求表述更加完整，解題圓滿。

其四，過自我評價關，明白是否正確。答案是否正確是數學解題的第一保證，但是否有多解，巧解，最簡解法，是否有適合自己現有水平的個性解法，要求自我考量，自我認定。

總而言之，數學解題教學不僅僅是教會學生解題目，教師在設計題目時要關注學生的學習興趣，要幫助學生樹立信心，要教導學生有耐心和決心，要有“勝不驕，敗不餒”的精神。

由于每個學生都有不可復制的個性特點和學習差異，且人生觀和價值觀也不盡相同，因此，教師設計題目和指導解題時一定要在不同層次的階梯上“種植”不同價值的“果樹”，要使每個學生都有希望經過自己的努力后摘取與學習能力相當的真正的學習“果實”。這正是孔子先生所教誨的“因材施教”，“各盡其能，各得其所”。

誠然，誰也無法教會學生解答所有數學問題，培養學生通過有限的題目來領悟那種解無數道題目的機智，才是最重要的。

（責編 金 鈴）endprint

數學的解題教學需要一定的理論做指導，且不能就題論題，更不能單純追求數量，把學生推進“無邊的題海”。對我們一線教師來說應當全面了解數學問題的意義、特點，以及數學問題的結構和類型，在指導學生解題時，既能高屋建瓴，又能投其所需，恰到好處，力求通過解答一個題，解決一大片題，從而起到“以一當十，以十勝百”的效果。

我努力做到掌控首要環節，監控主要步驟，調控重要解法，自控必要評價，使每個學生能明白做什么，明確怎么做，明晰咋做好，明了做對嗎？真正讓學生親歷解題的思維過程，體會到解題成功之喜悅，感悟到解題的無窮樂趣。

波利亞的《怎樣解題》在全球范圍內有很大的影響和反響，在具體設計和實施解題教學時我遵照波利亞的“四個解題步驟”，牢牢地把握“弄清問題→擬定計劃→實現計劃→回顧反思”這四個解題步驟。

一、掌控選題審題是不可或缺的首要環節，明白選什么做什么

經過多年的發展和積累，數學題的題型在不斷翻新，題目的數量已經多得數不清了，“題庫”、“題典”等層出不窮，大量的題海淹沒了學生的解題興趣。為改變現狀，必須首先解決——選題和審題，要求每位學生一拿到題目，首先要考察“題目要求我們做什么？”

1.選題

陳省身在上海的一次學術報告會上再次論述了一個18世紀法國數學家拉格朗日（Lagrange）的標準：“好的數學問題應滿足兩個條件：①易懂，走在馬路上向任何一個人都能講清楚；②難攻，這種數學問題必須相當困難，但又不是無法攻克的。”

因此，在選擇數學題目時要明確怎樣的題目才是有質量的題目。一句話，就是“淺入深出”，即數學情景比較簡單，但包含了深刻的道理。我做了以下嘗試。

如在分數、百分數應用題的解題教學中，我沒有依照課本內容照本宣科，而是引用了一首兒歌：蝴蝶風箏多漂亮，八米高空隨風揚，五分之三繩在手，風箏繩子有多長？

先讓全體學生齊聲讀一遍，隨即提示他們畫圖解答。

大部分學生都畫出：

連解題能力較弱的學生A也畫了以下圖形：

（1）系統掌握教材上的例題和習題；

（2）認真做好有代表性的熱點、考點題；

（3）動手探索一些實踐性的應用問題；

（4）讓學有余力的學生涉獵一些思考題、壓軸題。

2.審題

對學生來說，審題時主要分清兩類內容：

其一，為純數學問題，所提出的問題來自數學的本身，解決問題的方法大多需要相關課本內容的思想方法。

其二，應用數學問題，問題來自現實生產、生活中的實際的需要，審題時要首先對問題的情景進行分析，把數學問題轉化為已掌握的若干基本問題，然后運用數學方法來解答。

二、監控解題過程是不能忽視的主要步驟，明確怎么做

經常在學生中聽到這樣的聲音：“在聽老師講解時我好像都聽懂了，但一到自己獨立做題時我好像有‘恐懼感，一見題目就心慌意亂，無從著手。”大部分學生怕解題的心理，實際上就是讀題后沒有辦法“悟出題旨的意圖”。因此，面對水平參差不齊的學生，在題目出示后，我分別用提示、暗示、揭示、顯示的方法進行“點撥式監控”，收到了不錯的效果。

例如，把一個長方體用一個平行于底面的面截掉高的2cm后，這個長方體成為一個正方體，正方體的表面積比原來長方體的表面積減少了48平方厘米，求正方體的體積和表面積各是多少。

這道題是稍有點難度的幾何綜合題，對想象力較好的學生來說并沒有什么困難，但對于一般學生及中下水平的學生來說，卻不容易理出解題思路。這時就完全需要教師監控解題過程，才能使每位學生明確怎么做了。

我對任教的兩個班級采用了不同的教學方法，在五（1）班教學時采用“放羊式，自練”，結果其正確率只有40﹪，而在五（2）班用“點撥式監控”，正確率為80﹪。

“點撥式監控”：

1.從字面上找關鍵詞：2厘米，減少了，表面積，體積。

2.從圖形變化關系暗示：如圖1。

3.從思維的邏輯推理揭示：長方體→減少→正方體。

4.從疑點、難點處顯示。（割開的地方有兩個正方形的面）

經點撥后，全班學生都沉浸在熱切希望解決問題的狀態中，很快知道減少部分的表面積：設長方體底面邊長為x，2x×4=48，x=6，即正方體的表面積是216平方厘米，體積是216立方厘米。

三、調控多種解法是不難掌握的重要途徑，明晰還能咋做

在解題教學中，大部分學生解答完一道數學題，就習慣地認為任務完成，萬事大吉了，而對于解題是否正確，是否還有更適合自己的解法，根本不去思考。因此我在教學中注重解題教學的“四重境界”，即“一聽就會做，一點就能透，一時忘不了，一生均管用”。

四、自控環節的正誤是不容置疑的必要評價，明了做對了嗎

在日常測查或期中、期末測查中，常常有一個怪現象：成績較好的學生都會大聲驚呼：“我在做選擇題時不小心給選錯了，真可惜！”……而成績中下游的學生則表現得很滿意，或毫不在乎……究其原因，是以上大多數學生沒有反思自己的解答是否合情合理。

為此在解題教學中我設置以下“四關”：

其一，過反思理解關。指自己有否看錯、寫錯、想錯，以及有否看清題旨，理清題意，聯想到的數學知識和技能是否有誤。

其二，過反思計算關。注重在計算時嚴格遵照“一步一個腳印，一步一個回頭”，“落筆”反思。

其三，過反思步驟關。主要自主回顧解題步驟及格式是否規范，單位是否統一，圖文是否匹配，答語是否合意。總之要求表述更加完整，解題圓滿。

其四，過自我評價關，明白是否正確。答案是否正確是數學解題的第一保證，但是否有多解，巧解，最簡解法，是否有適合自己現有水平的個性解法，要求自我考量，自我認定。

總而言之，數學解題教學不僅僅是教會學生解題目，教師在設計題目時要關注學生的學習興趣，要幫助學生樹立信心，要教導學生有耐心和決心，要有“勝不驕，敗不餒”的精神。

由于每個學生都有不可復制的個性特點和學習差異，且人生觀和價值觀也不盡相同，因此，教師設計題目和指導解題時一定要在不同層次的階梯上“種植”不同價值的“果樹”，要使每個學生都有希望經過自己的努力后摘取與學習能力相當的真正的學習“果實”。這正是孔子先生所教誨的“因材施教”，“各盡其能，各得其所”。

誠然，誰也無法教會學生解答所有數學問題，培養學生通過有限的題目來領悟那種解無數道題目的機智，才是最重要的。

（責編 金 鈴）endprint

數學的解題教學需要一定的理論做指導，且不能就題論題，更不能單純追求數量，把學生推進“無邊的題海”。對我們一線教師來說應當全面了解數學問題的意義、特點，以及數學問題的結構和類型，在指導學生解題時，既能高屋建瓴，又能投其所需，恰到好處，力求通過解答一個題，解決一大片題，從而起到“以一當十，以十勝百”的效果。

我努力做到掌控首要環節，監控主要步驟，調控重要解法，自控必要評價，使每個學生能明白做什么，明確怎么做，明晰咋做好，明了做對嗎？真正讓學生親歷解題的思維過程，體會到解題成功之喜悅，感悟到解題的無窮樂趣。

波利亞的《怎樣解題》在全球范圍內有很大的影響和反響，在具體設計和實施解題教學時我遵照波利亞的“四個解題步驟”，牢牢地把握“弄清問題→擬定計劃→實現計劃→回顧反思”這四個解題步驟。

一、掌控選題審題是不可或缺的首要環節，明白選什么做什么

經過多年的發展和積累，數學題的題型在不斷翻新，題目的數量已經多得數不清了，“題庫”、“題典”等層出不窮，大量的題海淹沒了學生的解題興趣。為改變現狀，必須首先解決——選題和審題，要求每位學生一拿到題目，首先要考察“題目要求我們做什么？”

1.選題

陳省身在上海的一次學術報告會上再次論述了一個18世紀法國數學家拉格朗日（Lagrange）的標準：“好的數學問題應滿足兩個條件：①易懂，走在馬路上向任何一個人都能講清楚；②難攻，這種數學問題必須相當困難，但又不是無法攻克的。”

因此，在選擇數學題目時要明確怎樣的題目才是有質量的題目。一句話，就是“淺入深出”，即數學情景比較簡單，但包含了深刻的道理。我做了以下嘗試。

如在分數、百分數應用題的解題教學中，我沒有依照課本內容照本宣科，而是引用了一首兒歌：蝴蝶風箏多漂亮，八米高空隨風揚，五分之三繩在手，風箏繩子有多長？

先讓全體學生齊聲讀一遍，隨即提示他們畫圖解答。

大部分學生都畫出：

連解題能力較弱的學生A也畫了以下圖形：

（1）系統掌握教材上的例題和習題；

（2）認真做好有代表性的熱點、考點題；

（3）動手探索一些實踐性的應用問題；

（4）讓學有余力的學生涉獵一些思考題、壓軸題。

2.審題

對學生來說，審題時主要分清兩類內容：

其一，為純數學問題，所提出的問題來自數學的本身，解決問題的方法大多需要相關課本內容的思想方法。

其二，應用數學問題，問題來自現實生產、生活中的實際的需要，審題時要首先對問題的情景進行分析，把數學問題轉化為已掌握的若干基本問題，然后運用數學方法來解答。

二、監控解題過程是不能忽視的主要步驟，明確怎么做

經常在學生中聽到這樣的聲音：“在聽老師講解時我好像都聽懂了，但一到自己獨立做題時我好像有‘恐懼感，一見題目就心慌意亂，無從著手。”大部分學生怕解題的心理，實際上就是讀題后沒有辦法“悟出題旨的意圖”。因此，面對水平參差不齊的學生，在題目出示后，我分別用提示、暗示、揭示、顯示的方法進行“點撥式監控”，收到了不錯的效果。

例如，把一個長方體用一個平行于底面的面截掉高的2cm后，這個長方體成為一個正方體，正方體的表面積比原來長方體的表面積減少了48平方厘米，求正方體的體積和表面積各是多少。

這道題是稍有點難度的幾何綜合題，對想象力較好的學生來說并沒有什么困難，但對于一般學生及中下水平的學生來說，卻不容易理出解題思路。這時就完全需要教師監控解題過程，才能使每位學生明確怎么做了。

我對任教的兩個班級采用了不同的教學方法，在五（1）班教學時采用“放羊式，自練”，結果其正確率只有40﹪，而在五（2）班用“點撥式監控”，正確率為80﹪。

“點撥式監控”：

1.從字面上找關鍵詞：2厘米，減少了，表面積，體積。

2.從圖形變化關系暗示：如圖1。

3.從思維的邏輯推理揭示：長方體→減少→正方體。

4.從疑點、難點處顯示。（割開的地方有兩個正方形的面）

經點撥后，全班學生都沉浸在熱切希望解決問題的狀態中，很快知道減少部分的表面積：設長方體底面邊長為x，2x×4=48，x=6，即正方體的表面積是216平方厘米，體積是216立方厘米。

三、調控多種解法是不難掌握的重要途徑，明晰還能咋做

在解題教學中，大部分學生解答完一道數學題，就習慣地認為任務完成，萬事大吉了，而對于解題是否正確，是否還有更適合自己的解法，根本不去思考。因此我在教學中注重解題教學的“四重境界”，即“一聽就會做，一點就能透，一時忘不了，一生均管用”。

四、自控環節的正誤是不容置疑的必要評價，明了做對了嗎

在日常測查或期中、期末測查中，常常有一個怪現象：成績較好的學生都會大聲驚呼：“我在做選擇題時不小心給選錯了，真可惜！”……而成績中下游的學生則表現得很滿意，或毫不在乎……究其原因，是以上大多數學生沒有反思自己的解答是否合情合理。

為此在解題教學中我設置以下“四關”：

其一，過反思理解關。指自己有否看錯、寫錯、想錯，以及有否看清題旨，理清題意，聯想到的數學知識和技能是否有誤。

其二，過反思計算關。注重在計算時嚴格遵照“一步一個腳印，一步一個回頭”，“落筆”反思。

其三，過反思步驟關。主要自主回顧解題步驟及格式是否規范，單位是否統一，圖文是否匹配，答語是否合意。總之要求表述更加完整，解題圓滿。

其四，過自我評價關，明白是否正確。答案是否正確是數學解題的第一保證，但是否有多解，巧解，最簡解法，是否有適合自己現有水平的個性解法，要求自我考量，自我認定。

總而言之，數學解題教學不僅僅是教會學生解題目，教師在設計題目時要關注學生的學習興趣，要幫助學生樹立信心，要教導學生有耐心和決心，要有“勝不驕，敗不餒”的精神。

由于每個學生都有不可復制的個性特點和學習差異，且人生觀和價值觀也不盡相同，因此，教師設計題目和指導解題時一定要在不同層次的階梯上“種植”不同價值的“果樹”，要使每個學生都有希望經過自己的努力后摘取與學習能力相當的真正的學習“果實”。這正是孔子先生所教誨的“因材施教”，“各盡其能，各得其所”。

誠然，誰也無法教會學生解答所有數學問題，培養學生通過有限的題目來領悟那種解無數道題目的機智，才是最重要的。

（責編 金 鈴）endprint