探究交流，使問題解決更通暢

翟寶玲

“小數乘法和除法（二）”是蘇教版小學數學五年級上冊的教學內容。本單元學習后，年級組檢測試卷上出現了這樣一道選擇題：“3噸黃豆可榨油1.2噸，計算榨1噸油需要多少噸黃豆的算式是（ ）。①3÷1.2；②1.2÷3；③3×1.2。”學生的答卷上選②的人數最多，出現這樣的錯誤在我的預料之中，因為以前學習這部分知識后，習題或考卷上常會出現此類題目，學生的錯誤率很高。我評講的方法是引導學生理解小數乘法和除法與整數除法意義的聯系后，再通過反復舉例的訓練加以鞏固。然而，令人尷尬的事實是，學生在后續的學習中每每碰到這類題目時，錯誤卻依然普遍存在。看來，缺少對已有經驗的喚醒，缺失體悟的過程，不能對所學知識實現真正意義上的理解。

為了讓學生理解這一知識難點和其中的規律，我決定進行一次新的教學嘗試。

教學實踐：

一、課前作業，獨立探究

當天，布置如下的探究作業。

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二、課堂實踐，交流提升

1.通過口答喚醒已有經驗，做好新舊知識間的有效對接。（略）

2.討論提煉，把握知識的本質。

師：同學們，“3噸黃豆……”這道題有答案了嗎？通過探究，你有什么想說、想問的？

生1：答案選①。因為3÷1.2表示把3噸黃豆平均分1.2份……3表示的是黃豆……求的是黃豆……（生1支支吾吾，語言斷斷續續）

師：你探究了嗎？一組題完成了嗎？

生1（點點頭，聲音小）：我和爸爸一起做的，我會做。（師將她匯報的習題結果投影在銀幕上，其他學生連聲說道：“對的，全對，我也是這么做的。”）

生2：老師，我是用整數除法平均分的意義來推想的。如第1題，10÷4=2.5（元），表示把10元錢平均分4份，就是平均分到4千克香蕉上，每千克香蕉分得2.5元錢，就求出每千克香蕉是2.5元；4÷10=0.4（千克），表示把4千克香蕉平均分10份，就是平均分到10元錢上去，每元錢上分得0.4千克的香蕉，就是1元錢可以買0.4千克的香蕉。

師：不錯，講得既清晰又完整。誰能再具體地說說選擇題答案選①的道理給大家聽聽？

生3：3÷1.2表示把3噸黃豆平均分到1.2噸油上，每噸油上分得了多少噸黃豆，求得的就是“榨1噸油需要多少噸黃豆”。

師：大家聽明白了嗎？誰還有別的想法？

生4：老師，我知道她的想法，我媽媽就是這樣指導我的。如第2題，第一個問題求每小時做的零件個數，應把“18個零件”當作被除數，列式為18÷4.5；第二個問題求的是時間，應把“4.5小時”當作被除數，列式為4.5÷18。上面的選擇題，求的是“需要多少噸黃豆”，應把3當作被除數，所以答案選①。第1題和第3題都可以這樣來想，直接列出除法算式。（此時，有好幾個學生小聲地嘀咕著，說他們也是這樣來區分的）

師：知道你媽媽這樣教你是為什么嗎？

生4：有點搞不清楚誰除以誰，但媽媽就叫我用這樣的方法區分，列式能既快又對。（問生1是不是這樣想的，她羞澀地點了點頭）

生5：現在我懂了，知道求什么就把什么當作被除數的道理了，實際上就是根據整數除法的意義來推想的。

師：你以第3題為例完整地說一說，好嗎？

生5：求“平均每米鋼絲重多少千克”，就是要把重量0.2千克平均分到長度0.25米上，可得到每米重0.8千克，把重量0.2千克來平均分，當然就將0.2當作被除數了；反過來，求“平均1千克重的鋼絲長多少米”，就是要把長度0.25米平均分到重量0.2千克上，可得到每千克長1.25米，要把長度來平均分，就是將0.25當作被除數。

師：講得非常好！謝謝這幾位發言的同學，讓我們對這樣的問題解決有了更深刻的理解。是的，小數除法的意義和整數除法的意義是相同的，我們在解決這類問題時，就可以借助整數除法的平均分意義或數量之間的關系來幫助理解。這樣不僅能單純地記住解題的方法，而且能深刻地明白其中的道理。

師：誰還有什么疑惑，讓大家討論解決？

生6：做探究題時，我也是仿照整數除法意義推想的。為了區分，我是記住問題中的“每什么”，那么這些數列式時就為除數。如求“每千克……”“每元錢……”“每小時……”，則以“多少千克”“多少元錢”“多少小時”為除數。聽了大家的想法，我現在清楚多了。

生7：我還有疑惑。像18÷4.5=4（個），按照平均分的意義，就是把18個零件平均分為4.5份，每小時加工4個零件，但怎么平均分成4.5份呢？4個零件是不是1個小時加工的呢？0.2÷0.25又怎么平均分？0.8千克一定就是長1米的重量嗎？（學生靜靜地傾聽并思考）

師：聽明白他的疑惑了嗎？我要特地夸獎一下他，敢于把自己的疑惑給說出來。愛因斯坦曾經說過“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”，把這句名言送給每一位同學，希望大家學習中多問一些“為什么”。

師：誰也有像他這樣的疑惑？（一些學生點點頭）是啊，除數是整數時，我們可以去實踐分一分來驗證，或者想象一下分的過程幫助理解。可除數是小數時，平均分怎么操作呢？想不想跟著老師一起分分看？挑個最容易的我們一起試試，好嗎？

指導學生畫出“18÷4.5=4（個）”平均分的示意圖，如下。

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師：通過實踐，我們驗證了每小時確實加工了4個零件。其實，每道題都可以證明所得結果就是每份數的量，只不過都用具體分一分或畫圖的辦法來驗證難度太大了。想一想，有沒有更好的方法來驗證？（教室里靜悄悄的，學生一下子還找不著方法）

師：剛剛學習計算除數是小數的除法，用的是什么策略？（這時，部分學生茅塞頓開）

生8：可以把被除數和除數同時擴大2倍轉化成整數思考，原題就相當于9小時加工了36個零件，可得每小時加工4個零件。endprint

師：為什么要同時乘2呢？

生8：同時乘2才能保證商不變（商不變的性質），這樣被除數和除數都轉化成了整數，易于理解。

師：同學們，商不變的性質告訴我們，不僅僅18÷4.5與36÷9、180÷45的值都是4，同時這個4所表示“每小時加工的零件個數”的意義也是不會變的。大家用這個更為簡單的轉化方法驗證一下其他題吧。

生9：0.2÷0.25可想成0.8÷1=0.8或20÷25=0.8，0.25÷0.2可想成1.25÷1=1.25、2.5÷2=1.25、25÷20=1.25……

師：轉化是一種非常重要的數學思想方法，在今后的學習中，我們遇到比較困難的問題時要常想到用它，可使未知的問題借助已學的舊知來解決。

……

教學思考：

1.基于問題描述及問題成因的思考

教學“小數乘法和除法（二）”后，只要讓學生做“一臺拖拉機4小時耕地5公頃。平均每小時耕地（ ）公頃，平均每耕地1公頃需要（ ）小時”這類題目（即使題目中出現的都是整數），學生解決問題的正確率會明顯降低。為什么學生解答一個問題單獨出現的題時正確率很高，但將兩個問題合二為一后，學生卻反而不會了？

（1）從不同角度豐富小數除法含義的理解與平均分含義理解的沖突。

新課程理念倡導：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。課程內容的選擇要貼近學生的生活實際，有利于他們體驗與理解、思考與探索。”在“小數乘法和除法（二）”教學中，教材多是通過學生的生活實際場景設計問題，以激活學生的已有經驗，引導學生借助具體數量關系列出一個數除以小數的算式。同時，教材還在練習中讓學生根據數量間的倍數關系列出除法算式。教材從多角度豐富學生對小數乘除法含義的理解，體現了新課程的基本理念。學生在具體情境中聯系整數乘除法的意義很容易理解小數乘除法的計算意義，因而列式時沒有學習障礙。如教材P93例5（7.98÷4.2）及P95例6（1.1÷0.55）的教學問題設計，都是讓學生用“總價÷單價=數量”這一數量關系來列式，避免了求單價用平均分理解的情況出現，這是教材有意降低學生學習的難度。而上述探究題，卻讓學生從除法平均分的角度思考問題，學生思維的形象性與問題的抽象性之間發生沖突，導致解題出現錯誤。小學階段，學生的思維處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡階段，即便到了中高年級，抽象思維有所發展，但學生思考問題時仍然需要感性材料的支持，所以學生解決上述教學中的問題感到棘手也就理所當然。此外，混淆兩個問題也是學生出現錯誤的原因之一。在實際教學中，由于教師忽視對常用數量關系的提煉和介紹，如“1元錢可以買多少千克香蕉”“平均每加工1個零件需要多少小時”等，導致學生得不到已有數量關系知識經驗的支撐，所以解題出現錯誤在所難免。

（2）計算方法掌握的主要教學目標與教學忽視小數除法計算意義理解的沖突。

這部分內容的教學目標為理解并掌握小數乘除法計算的筆算方法，會用小數的計算解決一些比較簡單的實際問題。反觀我們的教學設計與教學過程，教師更多的是引領學生通過合乎邏輯的思考，逐步理解小數乘除法的計算方法和能夠正確計算，從而忽略了引導學生對除法計算意義的理解。教學中，學生感受小數與整數乘除法的內在聯系、發展類比遷移能力和合情推理能力、重點體會轉化的策略及獲得的感性與理性認識等，更多的是體現在小數乘除法計算方法的層面上。我認為學生借助具體情境容易理解小數除法的意義，但還需教師引導學生把初步形成的感性認識進一步深化。如題目：“服裝小組用21.45米布做了15件短袖衫，平均每件短袖衫用布多少米？”學生列出除法算式后，教師不要急于告訴學生正確的計算結果，而是追問：“21.45除以15，是否可以理解成把21.45米平均分成15份，求每份是多少？”通過追問，引發學生的深入思考，加深他們對小數乘除法意義的理解。

2.基于本次數學活動的思考。

根據分析，類似上述教學中的探究題是學生學習小數乘除法時的難點。陳洪杰老師說過：“以紙筆形式解題雖是小學數學學習的常態，但真正的學習不是‘解題，而是‘問題解決。”那么，這一問題該如何解決呢？如上述教學，課前安排自主探究環節有以下的意圖：首先，讓學生進行專項問題的自主探究，這樣才能發揮每位學生的積極性，避免課堂上思考的只是那些思維敏捷且敢于發言的學生，讓那些默默無聞的學生也能積極主動地進行獨立思考；其次，給學生提供充分從事數學活動的機會，保證學生有足夠的時間、空間與精力進行探究，以便課堂交流時學生有話可說、有話要說，有助于他們對問題的深入認識與理解；再次，學生間存在個體差異，所以解決問題的路徑也有差異，但經歷了這樣的探究過程，每個學生的能力都各有提升，實現“不同的學生得到不同的發展”的教學目的。

雖然數學學習主要是思維活動的過程，依靠個人的獨立思考完成學習任務，但讓學生通過交流討論，能修正、優化自己的思維過程與結果。本次教學，我沒有止步于學生獲得高正確率的解題結果上，而是將教學重點放在組織課堂交流環節中。課堂交流中，我通過不斷的追問和質疑，引導學生進一步交流與反思，促使他們在思維碰撞中不斷提高認識、深化理解、積累經驗，使大多數學生對原有問題的理解從具體層面上升為一般化概括的水平。本節課學生獲得以下發展：第一，拓展對小數除法計算含義的已有認識，即在原有乘法的逆運算、數量的平均分配、數量間的倍數的基礎上，把對數量平均分配的認識拓寬到小數范圍，且將除法與后續比（商和比值）的知識建立了初步的內在聯系；第二，既改變學生對教師所授予知識的被動接受狀態，實踐以其已有知識和經驗為基礎的主動建構的探究學習方式，又改變學生把解決問題等同于得到答案的學習習慣；第三，感悟數學思想方法，積累數學活動經驗。上述教學過程，既有驗證、歸納，又有推理和探究，使學生在知識和方法方面進行更高層次上的抽象與概括，從而深刻理解所學知識，獲得真正的發展。

（責編 杜 華）endprint