從一類測量問題探究幾何應用題的解題思路

于紅波

幾何知識的應用在現實的生產實踐和生活中極其普遍，對幾何知識的考查也從單純的幾何證明、計算向幾何應用方面轉變，且題型多種多樣. 它利用直線型和圓中的一些基本性質，借助于圖形變換（平移變換、旋轉變換、軸對稱變換、相似變換）進行距離的測量與計算、面積的確定、線路的確定、方案的設計等等，主要考查同學們的觀察能力、空間想象能力、動手操作能力以及對所學幾何基礎知識的靈活運用能力. 解題時一般先從實際的問題中抽象出幾何圖形的模型，將實際問題轉化為數學問題，然后把已知量和所求的量轉化在幾何圖形中，再根據幾何圖形的性質，用代數的方法進行求解，最后檢驗作答.

本文試以一類測量問題的解題思路為例，探究幾何應用問題的解題思路.

例1 （2013·濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末端距離地面2 m. 則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（ ）.

A. 12 m B. 13 m

C. 16 m D. 17 m

【切入點】作BC⊥AE，構造Rt△ABC和矩形CEDB，將求旗桿高度轉化為求AC、CE的長.

【解題思路】如圖2，作BC⊥AE于點C，則BC=DE=8，設AE=x，則AB=x，AC=x-2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x-2）2+82=x2，解得x=17.

【答案】D.

【技巧點撥】構造直角三角形，借助勾股定理列方程是解決簡單測量問題的基本手段.

例2 （2013·遂寧）如圖3，在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執法船C，求此時船C與船B的距離是多少. （結果保留根號）

【切入點】通過作高，將斜三角形轉化成兩個直角三角形.

【解題思路】△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，求出BD的長；Rt△BCD是一個含30°角的直角三角形，可用“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求出BC的長.

【解答過程】作BD⊥AC于D.

由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.

在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（海里）.

在Rt△BCD中，BC===20（海里）.

答：此時船C與船B的距離是20海里.

【技巧點撥】（1） 當一個三角形中出現30°、45°、60°角的時候，要求一些線段的長，我們通常是通過作高構造直角三角形，將這些特殊角放入直角三角形中，利用直角三角形邊角關系求出線段的長.

（2） 本題中，由于BD是兩個直角三角形的公共邊，兩個三角形是通過BD這樣一個紐帶緊密地聯系在一起，解此類問題的時候，一定要發揮這條公共直角邊的作用.

例3 如圖4，某數學興趣小組在活動課上測量學校旗桿高度. 已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是1.7 m，看旗桿頂部M的仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離（CD）是1.5 m，看旗桿頂部M的仰角為30°. 兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B，N，D在同一條直線上）. 請你求出旗桿MN的高度. （參考數據：≈1.4，≈1.7，結果保留整數）

【切入點】構造直角三角形，將45°和30°置于直角三角形中，通過ME和MF建立兩個直角三角形的聯系.

【解題思路】根據上例提供的思路，題目中出現了兩個特殊角45°和30°，因此我們應該想方設法構造垂線，將這兩個特殊角放在直角三角形中處理，不難想到應該過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F，雖然本題沒有像上例那樣出現一條公共的直角邊，但直角邊ME和MF之間相差0.2米，AE和FC的和為28米，可以轉化為兩個未知數、兩個相等關系的問題，我們可以根據一個相等關系設未知數，根據另一個相等關系列方程，因此本題有兩種方法求出ME和MF的長，繼而求出旗桿MN的高度.

過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F.

則EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.

在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME.

設AE=ME=x（不設參數也可）.

∴MF=x+0.2，FC=28-x.

在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°.

∴MF=CF·tan∠MCF.

∴x+0.2=（28-x），

∴x≈10，∴MN≈12.

答：旗桿高約為12米.

【技巧點撥】本題雖然沒有公共邊，但是ME和MF在同一直線上，相當于公共邊，盡管沒有給出ME和MF的長，但這兩條線段之間的數量關系是聯系這兩個直角三角形的橋梁.

（作者單位：江蘇省海安縣吉慶初級中學）

幾何知識的應用在現實的生產實踐和生活中極其普遍，對幾何知識的考查也從單純的幾何證明、計算向幾何應用方面轉變，且題型多種多樣. 它利用直線型和圓中的一些基本性質，借助于圖形變換（平移變換、旋轉變換、軸對稱變換、相似變換）進行距離的測量與計算、面積的確定、線路的確定、方案的設計等等，主要考查同學們的觀察能力、空間想象能力、動手操作能力以及對所學幾何基礎知識的靈活運用能力. 解題時一般先從實際的問題中抽象出幾何圖形的模型，將實際問題轉化為數學問題，然后把已知量和所求的量轉化在幾何圖形中，再根據幾何圖形的性質，用代數的方法進行求解，最后檢驗作答.

本文試以一類測量問題的解題思路為例，探究幾何應用問題的解題思路.

例1 （2013·濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末端距離地面2 m. 則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（ ）.

A. 12 m B. 13 m

C. 16 m D. 17 m

【切入點】作BC⊥AE，構造Rt△ABC和矩形CEDB，將求旗桿高度轉化為求AC、CE的長.

【解題思路】如圖2，作BC⊥AE于點C，則BC=DE=8，設AE=x，則AB=x，AC=x-2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x-2）2+82=x2，解得x=17.

【答案】D.

【技巧點撥】構造直角三角形，借助勾股定理列方程是解決簡單測量問題的基本手段.

例2 （2013·遂寧）如圖3，在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執法船C，求此時船C與船B的距離是多少. （結果保留根號）

【切入點】通過作高，將斜三角形轉化成兩個直角三角形.

【解題思路】△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，求出BD的長；Rt△BCD是一個含30°角的直角三角形，可用“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求出BC的長.

【解答過程】作BD⊥AC于D.

由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.

在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（海里）.

在Rt△BCD中，BC===20（海里）.

答：此時船C與船B的距離是20海里.

【技巧點撥】（1） 當一個三角形中出現30°、45°、60°角的時候，要求一些線段的長，我們通常是通過作高構造直角三角形，將這些特殊角放入直角三角形中，利用直角三角形邊角關系求出線段的長.

（2） 本題中，由于BD是兩個直角三角形的公共邊，兩個三角形是通過BD這樣一個紐帶緊密地聯系在一起，解此類問題的時候，一定要發揮這條公共直角邊的作用.

例3 如圖4，某數學興趣小組在活動課上測量學校旗桿高度. 已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是1.7 m，看旗桿頂部M的仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離（CD）是1.5 m，看旗桿頂部M的仰角為30°. 兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B，N，D在同一條直線上）. 請你求出旗桿MN的高度. （參考數據：≈1.4，≈1.7，結果保留整數）

【切入點】構造直角三角形，將45°和30°置于直角三角形中，通過ME和MF建立兩個直角三角形的聯系.

【解題思路】根據上例提供的思路，題目中出現了兩個特殊角45°和30°，因此我們應該想方設法構造垂線，將這兩個特殊角放在直角三角形中處理，不難想到應該過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F，雖然本題沒有像上例那樣出現一條公共的直角邊，但直角邊ME和MF之間相差0.2米，AE和FC的和為28米，可以轉化為兩個未知數、兩個相等關系的問題，我們可以根據一個相等關系設未知數，根據另一個相等關系列方程，因此本題有兩種方法求出ME和MF的長，繼而求出旗桿MN的高度.

過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F.

則EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.

在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME.

設AE=ME=x（不設參數也可）.

∴MF=x+0.2，FC=28-x.

在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°.

∴MF=CF·tan∠MCF.

∴x+0.2=（28-x），

∴x≈10，∴MN≈12.

答：旗桿高約為12米.

【技巧點撥】本題雖然沒有公共邊，但是ME和MF在同一直線上，相當于公共邊，盡管沒有給出ME和MF的長，但這兩條線段之間的數量關系是聯系這兩個直角三角形的橋梁.

（作者單位：江蘇省海安縣吉慶初級中學）

幾何知識的應用在現實的生產實踐和生活中極其普遍，對幾何知識的考查也從單純的幾何證明、計算向幾何應用方面轉變，且題型多種多樣. 它利用直線型和圓中的一些基本性質，借助于圖形變換（平移變換、旋轉變換、軸對稱變換、相似變換）進行距離的測量與計算、面積的確定、線路的確定、方案的設計等等，主要考查同學們的觀察能力、空間想象能力、動手操作能力以及對所學幾何基礎知識的靈活運用能力. 解題時一般先從實際的問題中抽象出幾何圖形的模型，將實際問題轉化為數學問題，然后把已知量和所求的量轉化在幾何圖形中，再根據幾何圖形的性質，用代數的方法進行求解，最后檢驗作答.

本文試以一類測量問題的解題思路為例，探究幾何應用問題的解題思路.

例1 （2013·濟南）如圖1，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 m處，發現此時繩子末端距離地面2 m. 則旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）為（ ）.

A. 12 m B. 13 m

C. 16 m D. 17 m

【切入點】作BC⊥AE，構造Rt△ABC和矩形CEDB，將求旗桿高度轉化為求AC、CE的長.

【解題思路】如圖2，作BC⊥AE于點C，則BC=DE=8，設AE=x，則AB=x，AC=x-2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（x-2）2+82=x2，解得x=17.

【答案】D.

【技巧點撥】構造直角三角形，借助勾股定理列方程是解決簡單測量問題的基本手段.

例2 （2013·遂寧）如圖3，在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執法船C，求此時船C與船B的距離是多少. （結果保留根號）

【切入點】通過作高，將斜三角形轉化成兩個直角三角形.

【解題思路】△ABD是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，求出BD的長；Rt△BCD是一個含30°角的直角三角形，可用“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求出BC的長.

【解答過程】作BD⊥AC于D.

由題意可知，∠BAC=45°，∠ABC=105°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=30°.

在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（海里）.

在Rt△BCD中，BC===20（海里）.

答：此時船C與船B的距離是20海里.

【技巧點撥】（1） 當一個三角形中出現30°、45°、60°角的時候，要求一些線段的長，我們通常是通過作高構造直角三角形，將這些特殊角放入直角三角形中，利用直角三角形邊角關系求出線段的長.

（2） 本題中，由于BD是兩個直角三角形的公共邊，兩個三角形是通過BD這樣一個紐帶緊密地聯系在一起，解此類問題的時候，一定要發揮這條公共直角邊的作用.

例3 如圖4，某數學興趣小組在活動課上測量學校旗桿高度. 已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是1.7 m，看旗桿頂部M的仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離（CD）是1.5 m，看旗桿頂部M的仰角為30°. 兩人相距28米且位于旗桿兩側（點B，N，D在同一條直線上）. 請你求出旗桿MN的高度. （參考數據：≈1.4，≈1.7，結果保留整數）

【切入點】構造直角三角形，將45°和30°置于直角三角形中，通過ME和MF建立兩個直角三角形的聯系.

【解題思路】根據上例提供的思路，題目中出現了兩個特殊角45°和30°，因此我們應該想方設法構造垂線，將這兩個特殊角放在直角三角形中處理，不難想到應該過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F，雖然本題沒有像上例那樣出現一條公共的直角邊，但直角邊ME和MF之間相差0.2米，AE和FC的和為28米，可以轉化為兩個未知數、兩個相等關系的問題，我們可以根據一個相等關系設未知數，根據另一個相等關系列方程，因此本題有兩種方法求出ME和MF的長，繼而求出旗桿MN的高度.

過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F.

則EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.

在Rt△AEM中，∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME.

設AE=ME=x（不設參數也可）.

∴MF=x+0.2，FC=28-x.

在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°.

∴MF=CF·tan∠MCF.

∴x+0.2=（28-x），

∴x≈10，∴MN≈12.

答：旗桿高約為12米.

【技巧點撥】本題雖然沒有公共邊，但是ME和MF在同一直線上，相當于公共邊，盡管沒有給出ME和MF的長，但這兩條線段之間的數量關系是聯系這兩個直角三角形的橋梁.

（作者單位：江蘇省海安縣吉慶初級中學）