因點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題解題策略

丁鳳云

因點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題是最近幾年中考考查的熱點(diǎn). 根據(jù)等腰三角形的定義可知，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形. 哪兩條邊相等呢？這就需要分三種情況討論，因此分類討論是解決此類問(wèn)題必要的手段.

本文要探討的不是分類討論，而是分類討論后，應(yīng)該怎么求解的問(wèn)題，下面我們通過(guò)一道例題來(lái)說(shuō)明問(wèn)題.

例 （2013·

漳州，有刪減）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點(diǎn)D將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，將一個(gè)足夠大的直角三角板的頂點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿線段DA向A移動(dòng)，且一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，另一直角邊所在直線與直線DE、BC分別交于點(diǎn)M、N.

（1） 填空：D點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____），E點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____）；

（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【切入點(diǎn)】要使得△CMN為等腰三角形，可分CM=MN、CM=CN、CN=MN三種情況討論.

【解題思路】（1） 根據(jù)△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)DE=OD=2，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2） 由翻折可知四邊形AODE為正方形，過(guò)M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4，再根據(jù)直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，設(shè)MN的解析式為y=x+b，根據(jù)DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），有了C、M、N三點(diǎn)坐標(biāo)，接著只需分CM=MN、CM=CN、CN=MN三種情況分別討論，求出b的值即可.

【解答過(guò)程】（1） D（2，0），E（2，2）；

（2） 存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形.

【方法點(diǎn)撥】因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，探討是否存在一個(gè)等腰三角形問(wèn)題，討論時(shí)，常有兩種思路求點(diǎn)的坐標(biāo).

思路一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照兩邊相等，分三種情況討論，利用垂直平分線、軸對(duì)稱、全等等幾何知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo).

思路二：設(shè)出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式AB=，分別表示出三邊長(zhǎng)，按照兩邊相等，分三種情況討論，即可求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)：如圖2，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖像交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1） 求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2） 過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q. 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng). 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：（1） A（3，4），B（7，0）.

（2） ①當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8. ②存在. t=1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

因點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題是最近幾年中考考查的熱點(diǎn). 根據(jù)等腰三角形的定義可知，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形. 哪兩條邊相等呢？這就需要分三種情況討論，因此分類討論是解決此類問(wèn)題必要的手段.

本文要探討的不是分類討論，而是分類討論后，應(yīng)該怎么求解的問(wèn)題，下面我們通過(guò)一道例題來(lái)說(shuō)明問(wèn)題.

例 （2013·

漳州，有刪減）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點(diǎn)D將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，將一個(gè)足夠大的直角三角板的頂點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿線段DA向A移動(dòng)，且一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，另一直角邊所在直線與直線DE、BC分別交于點(diǎn)M、N.

（1） 填空：D點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____），E點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____）；

（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【切入點(diǎn)】要使得△CMN為等腰三角形，可分CM=MN、CM=CN、CN=MN三種情況討論.

【解題思路】（1） 根據(jù)△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)DE=OD=2，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2） 由翻折可知四邊形AODE為正方形，過(guò)M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4，再根據(jù)直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，設(shè)MN的解析式為y=x+b，根據(jù)DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），有了C、M、N三點(diǎn)坐標(biāo)，接著只需分CM=MN、CM=CN、CN=MN三種情況分別討論，求出b的值即可.

【解答過(guò)程】（1） D（2，0），E（2，2）；

（2） 存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形.

【方法點(diǎn)撥】因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，探討是否存在一個(gè)等腰三角形問(wèn)題，討論時(shí)，常有兩種思路求點(diǎn)的坐標(biāo).

思路一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照兩邊相等，分三種情況討論，利用垂直平分線、軸對(duì)稱、全等等幾何知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo).

思路二：設(shè)出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式AB=，分別表示出三邊長(zhǎng)，按照兩邊相等，分三種情況討論，即可求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)：如圖2，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖像交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1） 求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2） 過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q. 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng). 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：（1） A（3，4），B（7，0）.

（2） ①當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8. ②存在. t=1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

因點(diǎn)動(dòng)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題是最近幾年中考考查的熱點(diǎn). 根據(jù)等腰三角形的定義可知，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形. 哪兩條邊相等呢？這就需要分三種情況討論，因此分類討論是解決此類問(wèn)題必要的手段.

本文要探討的不是分類討論，而是分類討論后，應(yīng)該怎么求解的問(wèn)題，下面我們通過(guò)一道例題來(lái)說(shuō)明問(wèn)題.

例 （2013·

漳州，有刪減）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA=2，OC=6，在OC上取點(diǎn)D將△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，將一個(gè)足夠大的直角三角板的頂點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿線段DA向A移動(dòng)，且一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，另一直角邊所在直線與直線DE、BC分別交于點(diǎn)M、N.

（1） 填空：D點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____），E點(diǎn)坐標(biāo)是（_____，_____）；

（2） 當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【切入點(diǎn)】要使得△CMN為等腰三角形，可分CM=MN、CM=CN、CN=MN三種情況討論.

【解題思路】（1） 根據(jù)△AOD沿AD翻折，使O點(diǎn)落在AB邊上的E點(diǎn)處，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)DE=OD=2，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2） 由翻折可知四邊形AODE為正方形，過(guò)M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4，再根據(jù)直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，設(shè)MN的解析式為y=x+b，根據(jù)DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），有了C、M、N三點(diǎn)坐標(biāo)，接著只需分CM=MN、CM=CN、CN=MN三種情況分別討論，求出b的值即可.

【解答過(guò)程】（1） D（2，0），E（2，2）；

（2） 存在點(diǎn)M使△CMN為等腰三角形.

【方法點(diǎn)撥】因?yàn)辄c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，探討是否存在一個(gè)等腰三角形問(wèn)題，討論時(shí)，常有兩種思路求點(diǎn)的坐標(biāo).

思路一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，按照兩邊相等，分三種情況討論，利用垂直平分線、軸對(duì)稱、全等等幾何知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo).

思路二：設(shè)出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式AB=，分別表示出三邊長(zhǎng)，按照兩邊相等，分三種情況討論，即可求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)：如圖2，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖像交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B.

（1） 求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2） 過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q. 當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng). 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案：（1） A（3，4），B（7，0）.

（2） ①當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8. ②存在. t=1或或5或時(shí)，△APQ是等腰三角形.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)學(xué)校）