軸向運動軟夾層梁橫向振動分析

呂海煒， 李映輝， 李 亮， 徐 江

(西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031)

夾層結構通常由剛度較大的上下約束層與阻尼較大的夾心層組成，并廣泛用于高速列車、船舶艦艇、航空航天等領域的減震降噪。對沿厚度方向可變形夾層結構，文獻[1]研究集中載荷作用時約束層、夾心層部分分離的軟夾層梁動力學行為，并討論分離長度及位置對軟夾層梁行為(軸向、橫向位移、彎矩、剪力及界面處正應力)影響。文獻[2]研究沖擊載荷下約束層與夾心層部分分離的軟夾層梁屈曲、后屈曲行為。文獻[3]將夾心層位移表示成沿厚度方向四次多項式，研究沖擊載荷時夾心層可壓縮的淺夾層殼非線性動力學響應。文獻[4-5]研究表明物質軸向運動會誘發橫向振動，振動強度與運動速度密切相關，運動速度達到或超過某臨界值時，會導致運動失穩。文獻[6]考慮剪切模量、轉動慣量影響，利用多重尺度法研究軸向運動粘彈性Timoshenko梁橫向非線性受迫振動的穩態響應。文獻[7]利用有限元法研究軸向運動梁受移動載荷作用時橫向動態響應。文獻[8]在夾心層沿厚度方向不可壓縮前提下，研究軸向變速運動粘彈性夾層梁非線性橫向振動，討論夾心層厚度對固有頻率及系統穩定性影響。文獻[9]基于薄板小撓度理論與Kelvin-Voigt粘彈性本構方程，建立軸向運動粘彈性夾層板振動控制方程，研究軸向運動粘彈性夾層板橫向自由振動與強迫振動。文獻[10]研究小變形時軸向運動粘彈性夾層板多模態耦合橫向振動。文獻[11]考慮超音速來流因素，研究粘性阻尼、來流動壓及夾心層厚度對顫振特性影響。

以上研究中，有的未考慮夾層沿厚度方向的可壓縮性，有的未考慮軸向運動效應影響。本文擬考慮夾層沿厚度方向可壓縮性與軸向運動效應綜合影響，建立軸向運動夾層梁動力學模型，分析其振動特性及動力學響應。

1 控制方程

1.1 基本假設

圖1為軸向運動軟夾層梁，長L，寬b，總厚H，上下約束層厚度均為h/2，軟夾層厚度hc。基本假設：①上下約束層滿足Kirchhoff-love假設，厚度與整個截面厚度相比較小；②軟夾層在厚度方向可壓縮，即厚度可變；③上下約束層與夾心層理想粘接。

圖1 軸向運動軟夾層梁模型

1.2 變形幾何方程

1.2.1 約束層變形幾何關系

因上下約束層較薄，可忽略其橫向位移沿厚度方向變化，用中面橫向位移表示為：

(1)

(2)

考慮小變形，約束層應變為：

(3)

其中：(.),x=?(.)/?x; (.),xx=?2(.)/?x2。

1.2.2 夾層變形幾何關系

夾層在厚度方向可壓縮，設夾層中任一點橫向位移wc(x,z,t)為z的二次函數：

(4)

其中：aI為待定系數，i=1,2,3，由位移協調條件確定：

在z=-hc/2，hc/2，0處，有

(5)

將式(5)代入式(4)得：

(6)

因此：

(7)

軟夾層應變可表示為：

(8)

(9)

1.2.3 本構關系

上、下表面約束層：

(10)

中間軟夾層：

ηt,z(z)wt(x,t)+ηb,z(z)wb(x,t)]

(11)

(12)

1.2.4 運動方程

基于Hamilton 原理，軟夾層梁方程可表述為：

(13)

其中：T為系統動能；U為系統應變能；可分別表述為：

(14)

(15)

式中：ρt，ρc，ρb分別為上約束層、軟夾層、下約束層質量密度。將式(14)、(15)代入式(13)得軸向運動軟夾層梁控制方程為：

(16)

(17)

(18)

2 軸向運動軟夾層梁振動特性

考慮簡支邊界條件，有：

wt(0,t)=wt(L,t)=wc(0,t)=wc(L,t)=wb(0,t)=wb(L,t)=0

(19)

(20)

假設滿足邊界條件式(19)、(20)的位移函數為：

(21)

基于Galerkin方法，得矩陣方程組為：

其中：{X(t)}={A1(t) …Ak(t)A(k+1)(t) …A(k+m)(t)A(k+m+1)(t) …A(k+m+n)(t)}T；[M]=[mij]為質量矩陣；[C]=[cij]為阻尼矩陣；[K]=[kij]為線性剛度矩陣；mij，cij，kij表達式見附錄。

設式(22)解的形式為：

{X(t)}={ψ}eλt={ψ1…ψkψk+1…ψk+mψk+m+1…ψk+m+n}Teλt

(23)

代入式(22)轉化為特征值問題求解，即：

(λ2[M]+λ[C]+[K]){ψ}=0

(24)

式(24)有非零解的特征方程為：

|λ2[M]+λ[C]+[K]|=0

(25)

求解特征方程可得軟夾層梁失穩形式及相應零解速度。λ通常為復數形式，即λ=ξ+ωi，ξ為實部，表征系統阻尼，ω為虛部，表征系統頻率。

3 數值模擬

式(21)取k=m=n=1，φ1(x)=φ2(x)=φ3(x)=sin(πx/L)。軟夾層梁幾何尺寸見表1，材料參數見表2。

表1 粘彈性夾層梁幾何尺寸

表2 粘彈性夾層梁材料參數

3.1 軸向運動軟夾層梁振動特性

3.1.1 軸向運動軟夾層梁振型

速度v=50 m/s時，由式(25)求得λ1=-1.8×10-15±330.8i，λ2=2.8×10-14±2 415.8i，λ3=-3.4×10-13±5 172.7i，故系統前三階固有頻率為：ω1=330.8，ω2=2 415.8，ω3=5 172.7，代入式(24)求得三個振型列陣為：

圖2 系統振型圖

其振型見圖2。由圖2看出，系統以頻率ω1振動時，軟夾層梁三層總向同一方向運動，與經典夾層梁結論相同；系統以頻率ω2振動時，夾心阻尼層中面相對于上下約束層不動，上下約束層向相反方向運動， 軟夾層沿厚度方向處于拉伸或壓縮狀態；系統以頻率ω3振動時，上下約束層向同一方向運動，而軟夾層向相反方向運動，軟夾層沿厚度方向一部分處于壓縮，另一部分處于拉伸狀態。用經典夾層梁模型，求不出上述第二、三個振型及頻率。

3.1.2 軸向運動軟夾層梁模態函數

圖3為軸向運動軟夾層梁模態函數圖。由圖3(a)知，系統以第一階模態振動時，軟夾層梁三層向同一方向運動，且位移相同，三層之間無相對變形，軟夾層處于無拉壓狀態，與傳統夾層梁理論結果一致；由圖3(b)知，系統以第二階模態振動時，軟夾層中面沿厚度方向不動，上下約束層向相反方向運動，軟夾層處于拉壓變形狀態；由圖3(c)知，系統以第三階模態振動時，上下約束層向同一方向運動，軟夾層往相反方向運動，軟夾層在中面兩側沿厚度方向分別處于拉伸、壓縮狀態，與振型分析結論相同。

3.1.3 軸向運動軟夾層梁固有頻率

圖4為軟夾層梁頻率隨軸向運動速度的變化規律，圖5為軟夾層梁阻尼隨軸向運動速度的變化規律。由圖4看出，隨軸向運動速度的增加，軟夾層梁固有頻率逐漸減小至零，實部ξ為零。軸向運動速度增加到216.43 m/s時，ω1為零，實部分為正負兩分支，軟夾層梁發散失穩。圖6為可壓縮、不可壓縮的夾層梁一階頻率隨軸向運動速度變化情況。由圖6看出，軟夾層梁以頻率ω1振動與夾心層不可壓縮梁基本一致。

圖3 系統模態函數

3.2 軸向運動軟夾層梁自由振動響應

由式(21)所求不同軸向運動速度時軟夾層梁中點響應見圖7。軸向運動速度50 m/s、系統分別以頻率ω1，ω2，ω3振動時，軟夾層梁中點響應見圖7(a)；軸向運動速度200 m/s、系統分別以頻率ω1，ω2，ω3振動時，軟夾層梁中點響應見圖7(b)；自由振動響應所取初始位移均為2 mm，初始速度均為0 m/s。由圖7(a)、(b)第一圖看出，夾層梁三層向同一方向運動，位移相同，軟夾層處于無拉壓狀態；由7(a)、(b)第二圖看出，軟夾層中面不動，上下約束層向相反方向運動，軟夾層處于拉(或壓)狀態；由7(a)、(b)第三圖看出，上下約束層向同一方向運動，中間軟夾層向反方向運動，軟夾層沿厚度方向一部分處于拉伸狀態，一部分處于壓縮狀態，此結論與振型、模態函數反映的結果一致。由圖7亦可看出，隨軸向運動速度的增加，系統周期變大。由于阻尼較小，系統衰減較慢，系統可視為做周期運動。

圖4 系統頻率隨軸向運動速度變化情況

圖7 不同軸向運動速度時軟夾層梁中點響應圖

圖8 軟夾層厚度對系統臨界速度影響

3.3 夾心層厚度對振動特性影響

表3為不同夾心層厚度時軟夾層梁與夾心層不可壓縮梁臨界速度值。由表3看出，隨夾心層厚度增加，系統頻率ω1減小，臨界速度減小，系統越易發生失穩，與不可壓縮梁所得結果一致；隨夾心層厚度增加，系統頻率ω2，ω3增加，臨界速度增加。

圖8為夾心層厚度對系統臨界速度影響。由圖8(a)看出，hc對vcr1影響夾心層可壓縮梁與夾心層不可壓縮梁所得結果一致。夾心層厚度小于0.045 m時，vcr1隨夾心層厚度的增加而增加，系統不易發生失穩；夾心層厚度大于0.045 m時，vcr1隨夾心層厚度的增加而減小，系統易發生失穩。由此可見，梁總厚度一定、夾層梁夾心層厚度設計時，并非夾心層越厚穩定性越好。理想的夾心層厚度為0.045 m。而夾心層不可壓縮梁不存在臨界速度vcr2，vcr3。

表3 不同夾心層厚度時軟夾層梁與夾心層不可壓縮梁臨界速度值

4 結 論

通過對軸向運動軟夾層梁橫向振動特性研究，獲得軟夾層本構方程；基于Hamilton原理，獲得描述上、下約束層及軟夾層中面的偏微分方程組，并利用Galerkin模態截斷法將其轉為常微分方程組，并進行數值模擬，結論如下：

(1) 軟夾層梁一階模態為上下約束層與夾層一同作橫向運動，上下約束層與夾層間無相對變形，與傳統夾層梁理論一致；軟夾層梁二階模態為上下約束層向兩相反方向運動，軟夾層中面相對上下約束層不動，夾層處于上下拉伸或壓縮狀態；軟夾層梁三階模態為上下約束層向同方向運動，夾心層中面反方向運動，夾心層上下處于不同變形狀態(拉或壓)；

(2)隨軸向運動速度增加，軟夾層梁一階頻率逐漸減小至零，系統失穩；

(3)隨夾心層厚度增加，第一臨界速度先增加后減小，系統由逐漸穩定變為逐漸不穩定，可設計合適的夾心層厚度。

由軟夾層梁振型圖、模態函數圖、響應圖、頻率隨軸向運動速度變化圖及臨界速度隨軟夾層厚度變化圖表明，夾心層不可壓縮模型為本文所建軟夾層梁模型的特殊形式，軟夾層梁模型含不可壓縮夾層梁模型所不具有的性質，故本文所提軟夾層理論為新的夾層梁理論。

參 考 文 獻

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附錄：

mij=d11g0ji,cij=e11g1ji,kij=q11g0ji+p11g2ji+r11g4ji,(i,j=1,2,…,k)

mij=d12g0ji,cij=e12g1ji,kij=q12g0ji+p12g2ji+r12g4ji,(i=1,2,…,k;j=k+1,k+2,…,k+m)

mij=d13g0ji,cij=e13g1ji,kij=q13g0ji+p13g2ji+r13g4ji,(i=1,2,…,k;j=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n)

mij=d21g0ji,cij=e21g1ji,kij=q21g0ji+p21g2ji+r21g4ji,(i=k+1,k+2,…,k+m；j=1,2,…,k)

mij=d22g0ji,cij=e22g1ji,kij=q22g0ji+p22g2ji+r22g4ji,(i=k+1,k+2,…,k+m；j=k+1,k+2,…,k+m)

mij=d23g0ji,cij=e23g1ji,kij=q23g0ji+p23g2ji+r23g4ji,(i=k+1,k+2,…,k+m；j=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n)

mij=d31g0ji,cij=e31g1ji,kij=q31g0ji+p31g2ji+r31g4ji,(i=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n；j=1,2,…,k)

mij=d32g0ji,cij=e32g1ji,kij=q32g0ji+p32g2ji+r32g4ji,(i=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n；j=k+1,k+2,…,k+m)

mij=d33g0ji,cij=e33g1ji,kij=q33g0ji+p33g2ji+r33g4ji,(i=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n；j=k+m+1,k+m+2,…,k+m+n)

式中：