基于波函數(shù)法的結(jié)構(gòu)振動功率流研究

楊 念， 陳爐云， 張?jiān)７?/p>

(上海交通大學(xué) 海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

現(xiàn)代工業(yè)愈發(fā)展，人對舒適度要求愈高，結(jié)構(gòu)振動噪聲愈受關(guān)注。結(jié)構(gòu)振動按頻段可分為低、中、高三頻段。低頻段，常用確定性方法如有限元法(FEM)[1-2]分析結(jié)構(gòu)。但隨頻率增高，有限元法需大幅提高自由度方能獲得較準(zhǔn)確結(jié)果[3]，且仍存在計(jì)算發(fā)散問題。而高頻振動模態(tài)密度高，不確定性對響應(yīng)影響大，常用概率性方法分析：即統(tǒng)計(jì)能量法(SEA)[4]、功率流有限元法(EFEM)[5]等。處于高、低頻之間的中頻段，其模態(tài)密度既未達(dá)統(tǒng)計(jì)能量法對模態(tài)重疊因子大于1要求，而結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)對響應(yīng)尚有一定影響。因此，在該頻段用有限元法、統(tǒng)計(jì)能量法效果均不理想。目前主要處理方法采用混合有限元法及統(tǒng)計(jì)能量分析法(混合FE-SEA法)[6]，該方法核心為直混場互惠定理。雖混合FE-SEA法對中頻問題預(yù)測取得一定成果，但理論、計(jì)算精度尚存一定問題。Desmet[7]采用基于波理論的新型確定性方法-波函數(shù)法(WBM)。該方法基于間接Trefftz法[8]，具有自由度少、收斂快、精度高等優(yōu)點(diǎn)，在解決中頻振動問題時(shí)能克服有限元法等確定性方法存在的不足[9-11]。

據(jù)WBM理論可快速計(jì)算出中頻段結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)參數(shù)。在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)中，振動傳遞主要是能量的傳遞，由能量角度研究振動響應(yīng)更能反映問題的本質(zhì)[12]。通過引入能量流動概念，可得關(guān)于結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)功率流分布特性，并可用于結(jié)構(gòu)在中頻域的減振降噪評價(jià)。功率流作為能同時(shí)表征振動水平與振動傳遞的參數(shù)，既包含力、速度幅值大小也包括兩者間相位關(guān)系，給出的結(jié)構(gòu)振動絕對度量物理量，可清楚描述結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性。此外，用波函數(shù)法(WBM)求解功率流問題，既能利用方法自身自由度少、收斂快的優(yōu)勢，又能避免求解力、速度等二級參量過程中精度損失問題。因此，WBM法在中頻功率流領(lǐng)域潛力巨大。

本文用WBM法對結(jié)構(gòu)功率流進(jìn)行研究。以求解四周簡支平板振動功率流為例，驗(yàn)證該方法的有效性與優(yōu)勢。

1 WBM基本理論

WBM法為間接Trefftz方法，將結(jié)構(gòu)分成少量子域，按Trefftz準(zhǔn)則，每個(gè)子域的振動參量由一組波函數(shù)表示，該波函數(shù)嚴(yán)格滿足振動控制方程，因此整個(gè)控制域內(nèi)的參量足夠精確，只在邊界上產(chǎn)生誤差。邊界誤差通過加遼金加權(quán)殘值法計(jì)算消除[9]，求出位移場。

1.1 薄板彎曲振動理論

本文主要研究板的彎曲振動問題。該問題的理論主要有Kirchhoff[13]及Reissner-Mindlin[14-15]平板理論。對薄板(彎曲波波長不小于板厚的6倍)，Kirchhoff 理論計(jì)算結(jié)果較準(zhǔn)確[16]。而WBM法基于該理論。據(jù)Kirchhoff 理論，均勻各向同性平板受法向作用力時(shí)，決定其穩(wěn)態(tài)法向位移場方程為：

(1)

式中：w(x,y)為法向位移場；為作用力；(xF,yF)為作用力坐標(biāo)；為板抗彎剛度；為板彎曲波數(shù)；t,E,μ,η,ω,ρ分別為板厚、彈性模量、泊松比、材料損失系數(shù)、激振圓頻率及材料密度；

由于Kirchhoff 理論中的控制方程為四階微分方程，因此須在板邊界添加兩邊界條件以確定彎曲振動位移場w(x,y)。邊界條件主要有3種：

(1)力邊界條件ΓmQ(已知彎矩、剪力，如自由邊界)：

(2)位移邊界條件Γwθ(已知線位移、轉(zhuǎn)角，如固支邊界)：

(3)混合邊界條件Γwm(已知線位移、彎矩，如簡支邊界)：

1.2 位移參量w展開

在WBM中彎曲振動穩(wěn)態(tài)位移場w展開形式[11,15]為：

(2)

(3)

WBM中的波函數(shù)ψs(x,y)均為滿足控制方程(1)的齊次解，其兩組形式[9]為：

第一組：

(4)

第二組：

(5)

其中：

式中，s1=0,1,2,…,ns1;s2=0,1,2,…,ns2；ns=4(ns1+1)+4(ns2+1)為波模型自由度。

現(xiàn)已證明，用第一組波函數(shù)求解任意凸域問題時(shí)，計(jì)算均能收斂。第二組波函數(shù)收斂性尚未得到證明，且在求解某些特殊凸域問題時(shí)收斂較慢[7]。本文采用第一組波函數(shù)求解。理論上只有在取無限個(gè)波函數(shù)時(shí)，計(jì)算結(jié)果才為精確解，但實(shí)際計(jì)算中只能取有限個(gè)波函數(shù)。因此，須對波函數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行截?cái)啵財(cái)喾▌t[10]為：

(6)

式中：T為截?cái)嘞禂?shù)；Lx，Ly分別為包圍板輪廓的最小矩形尺寸。

1.3 加遼金加權(quán)殘值公式

WBM法在邊界上會產(chǎn)生誤差，可用加遼金加權(quán)殘值公式消除[7]：

(7)

[A]{ws}={f}

(8)

式中：

(10)

求解式(7)可得貢獻(xiàn)系數(shù)ws，從而求出位移場w。

2 WBM計(jì)算功率流

2.1 功率流基本理論

記F(ω)為作用于結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的外力瞬時(shí)值；V(ω)為該點(diǎn)速度響應(yīng)瞬時(shí)值，則輸入該結(jié)構(gòu)功率瞬時(shí)值[17]為：

P=F(ω)V(ω)

(11)

用復(fù)數(shù)形式表示為：

(12)

式中：*為取共軛復(fù)數(shù)。

功率流過某板截面時(shí)，可將其視為能量強(qiáng)度，反映該截面振動程度的強(qiáng)弱。研究實(shí)際振動結(jié)構(gòu)時(shí)，往往取一段時(shí)間(周期振動的最小正周期)內(nèi)的平均功率，其較瞬時(shí)功率更能反映外部激勵(lì)注入結(jié)構(gòu)的能量強(qiáng)度。該時(shí)均功率即為穩(wěn)態(tài)功率流強(qiáng)度[18]：

(13)

(14)

基于Kirchhoff理論，式(13)、(14)可化簡為：

(15)

(16)

式中：Qx,Qy,Mx,My,Mxy可通過對位移函數(shù)求偏導(dǎo)獲得[2]。將其代入式(15)、(16)，可得平板振動功率流。

2.2 功率流計(jì)算

由式(15)、(16)可知，計(jì)算功率流需已知剪力、彎矩等數(shù)值，將1.3節(jié)中所得位移場代入計(jì)算式中得：

(17)

(18)

(19)

(20)

將以上數(shù)值代入式(15)、(16)即得板的振動功率流。由以上推導(dǎo)看出，功率流僅與貢獻(xiàn)系數(shù)ws有關(guān)，不存在有限元法中求解力、速度等二級參量時(shí)精度損失問題。因此，運(yùn)用WBM法求解功率流理論上是解析解，無精度損失。

3 算例

本文以矩形簡支平板為例，用WBM法求解其功率流場，并與有限元法結(jié)果對比，驗(yàn)證WBM法的有效性、優(yōu)勢。矩形板見圖1，板長Lx=1.0 m，寬Ly=0.5 m，彈性模量E=210 GN，泊松比μ=0.3,密度ρ=7 800 kg/m3，板厚t=0.001 m。為簡化，算例中取耗損系數(shù)η=0。將單位法向力作用于點(diǎn)rF(xF,yF)=(0.2 m,0.1 m)處。

圖1 簡支矩形板

3.1 WBM功率流計(jì)算

受簡諧集中力作用的簡支矩形平板，其法向位移場有解析解。本文以通過該解析解求出的功率流場為計(jì)算參考值。在集中力F作用下矩形板位移場解析解[19]為：

(21)

激振力頻率為60 Hz，WBM計(jì)算軟件用MatlabR2011b，波函數(shù)個(gè)數(shù)為180，即自由度DOF=180。圖2(a)為用WBM計(jì)算所得位移場等高線圖，該位移場與解析解間相對誤差見圖2(b)，相對誤差ε1=|(w-w0)/w0|中w0為理論值?？梢钥闯?，除邊界附近與位移值近于0區(qū)域外，板上大部分響應(yīng)點(diǎn)位移與理論值接近，相對誤差不超1%。

對所求位移場進(jìn)行相關(guān)后處理，得板在該激振頻率下功率流場等高線圖見圖3(a)， 與解析解相對誤差見圖3(b)，相對誤差ε=|(P-P0)/P0|中P0為理論值?？梢钥闯觯吔绺浇拔灰浦到?區(qū)域外，板上大部分響應(yīng)點(diǎn)功率流與理論值接近，相對誤差不超過5%。

圖2 位移場等高線及相對誤差圖

圖3 功率流等高線及相對誤差圖

3.2 與有限元法(FEM)對比

選100～500 Hz為分析頻段，分別用WBM法及有限元法求解響應(yīng)點(diǎn)rr(xr,yr)=(0.6 m,0.4 m)處功率流。WBM法計(jì)算軟件用Matlab R2011b， DOF=180；有限元軟件選Nastran2010，自由度數(shù)DOF=24 855。將兩種方法所得結(jié)果分別與理論值比較，計(jì)算得功率流譜見圖4。由圖4看出，低頻時(shí)，WBM法及有限元法所得結(jié)果與理論值較吻合。隨頻率增高，有限元法與理論值誤差增大；用WBM法所求功率流與理論值較吻合，計(jì)算精確性仍可得到保證，求解頻段可由低頻一直擴(kuò)展至中頻，表明WBM法對解決中頻功率流問題具有優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文通過對板結(jié)構(gòu)振動的研究， 使WBM法獲得有效性驗(yàn)證；通過與有限元法比較，體現(xiàn)出WBM法在求解中頻振動功率流時(shí)自由度少、收斂快、精度高等優(yōu)勢。后續(xù)會采用更復(fù)雜模型進(jìn)行分析與控制研究，力求將該方法用于實(shí)際結(jié)構(gòu)振動分析中。

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