錐形納米管縱向振動(dòng)固有頻率

楊 武， 彭旭龍， 李顯方

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410075；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410114)

新型材料碳納米管因結(jié)構(gòu)獨(dú)特、性能優(yōu)異，其高頻振動(dòng)特性在振蕩器、傳感器中廣泛應(yīng)用[1]：如可識(shí)別病毒、原子等的質(zhì)量傳感器，即為利用振動(dòng)頻率漂移特性[2-3]。因此，對(duì)碳納米管的振動(dòng)分析已成研究熱點(diǎn)。如將碳納米管視為連續(xù)介質(zhì)梁桿結(jié)構(gòu)， Liu等[4]利用彈性梁模型研究碳納米管彈性模量與頻率間關(guān)系表明，碳納米管彈性模量隨直徑的增加而減少。Cao等[5]研究單壁碳納米管的縱向振動(dòng)，并給出具體計(jì)算公式?？紤]碳納米管的力學(xué)性能具有尺度效應(yīng)，Murmu等[6]用非局部理論研究一端附加巴基球的碳納米管橫向振動(dòng)，討論附加質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)頻率影響。Kiani[7]研究鑲嵌于彈性基體材料中的單壁碳納米管在不同邊界條件下自由振動(dòng)行為，并分析納米管長(zhǎng)細(xì)比、初始軸向力及基體材料剛度對(duì)梁振動(dòng)頻率影響。Li等[8]采用非局部Timoshenko理論，分析非局部參數(shù)對(duì)固有頻率影響。基于分子結(jié)構(gòu)力學(xué)，Li等[9-10]預(yù)測(cè)出懸臂單壁碳納米管振動(dòng)頻率可達(dá)10 GHz～1.5 THz，并研究納米管直徑、長(zhǎng)度及端部約束對(duì)基頻影響，闡明碳納米管作為納米應(yīng)變傳感器的應(yīng)用前景。雖對(duì)均勻截面碳納米管振動(dòng)研究理論成果頗多，而錐形碳納米管的發(fā)現(xiàn)及制備[11-12]使對(duì)非均勻截面碳納米管的振動(dòng)性質(zhì)仍應(yīng)進(jìn)一步研究。Mustapha等[13]對(duì)雙參數(shù)彈性介質(zhì)中變截面單壁碳納米管的橫向自由振動(dòng)研究表明納米尺度下非局部參數(shù)的影響。Simsek[14]提出用Galerkin方法分析形如A(x)=ALsin2(1+αx)等變截面碳納米管的縱向振動(dòng)，并給出數(shù)值解。Filiz等[15]用兩端異質(zhì)結(jié)構(gòu)討論軸向非均勻碳納米管振動(dòng)性質(zhì)。Kiani[16]用攝動(dòng)法處理非均勻納米線(xiàn)軸向振動(dòng)。

本文提出積分方程法處理變截面納米管/棒縱向振動(dòng)。對(duì)各種邊界條件，化方程為一Fredholm積分方程，并給出固有頻率計(jì)算式及基頻近似表達(dá)式。

1 基于彈性桿理論縱向振動(dòng)問(wèn)題分析

考慮一維碳納米管或納米棒，從桿件振動(dòng)基本方程出發(fā)尋求桿件結(jié)構(gòu)振動(dòng)固有頻率，了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，以便更好利用、減小振動(dòng)?？紤]錐形納米棒縱向振動(dòng)。由于該形狀涉及變截面，故考慮變剛度、變質(zhì)量碳納米管縱向振動(dòng)，基本方程為：

其中：E(x)A(x)為桿件的抗拉剛度；ρ(x)A(x)為材料分布質(zhì)量；E(x),ρ(x)為變化的楊氏模量、質(zhì)量密度；A(x)為變化橫截面面積；L為桿長(zhǎng)。

為獲得錐形納米棒固有頻率，設(shè)u(x,t)的諧振形式為u(x,t)=Y(ξ)cos(ωt)，x=Lξ(0<ξ<1)，則Y(ξ)滿(mǎn)足無(wú)量綱微分方程：

(1)

對(duì)以上方程進(jìn)行兩次積分得：

(2)

其中：B1,B2為常數(shù)，可由錐形納米棒兩端邊界條件確定：

(3)

表明以上表達(dá)式已滿(mǎn)足邊界條件。將其代入Fredholm方程化歸一含有n個(gè)未知量c1,…,cn的方程?？紤]變量x在區(qū)間[0,1]任意性與{1,x,…,xN-1}線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，將所得方程分別乘以xj-1(j=1,2,…,n),再對(duì)x從0～1積分，得等價(jià)方程組為：

(4)

其中：

(5)

為獲得方程組非零解，令系數(shù)矩陣行列式為0：

|Kjn-Ω2Mjn|=0，(j，n=1,2,…,N)

(6)

比較式(6)、(5)知，附加的端部集中質(zhì)量遠(yuǎn)小于碳納米管質(zhì)量時(shí)，與懸臂納米棒相同；附加質(zhì)量塊遠(yuǎn)大于納米棒質(zhì)量塊時(shí)，系統(tǒng)退化為彈簧振子模型。

2 基于非局部理論的縱向振動(dòng)分析

非局部連續(xù)介質(zhì)理論由Eringen[17]提出，與經(jīng)典彈性理論不同之處在于非局部彈性理論考慮長(zhǎng)程力作用，即認(rèn)為被研究體內(nèi)某點(diǎn)處應(yīng)力不僅與同一點(diǎn)應(yīng)變有關(guān)，與體內(nèi)其它點(diǎn)處應(yīng)變亦有關(guān)。由于涉及材料內(nèi)特性尺度，非局部彈性理論已用于解釋在碳納米管實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)的尺度效應(yīng)，在納米結(jié)構(gòu)力學(xué)性能研究中取得廣泛應(yīng)用及良好效果。按應(yīng)力梯度型非局部理論，碳納米管或納米棒拉伸本構(gòu)方程可表為：

(7)

式中：l=e0a，e0為與材料相關(guān)的無(wú)量綱常數(shù)，a為材料特征長(zhǎng)度(如C-C鍵長(zhǎng)，晶格長(zhǎng)度或顆間距離等)。對(duì)e0而言尚無(wú)相關(guān)實(shí)驗(yàn)可測(cè)定，通常用其它方法估計(jì)。

按定義引入軸向力：

(8)

結(jié)合式(7)、(8)得：

在無(wú)外力作用下，將上式代入軸向振動(dòng)方程：

得非局部理論下錐形碳納米管縱向振動(dòng)控制方程：

同樣設(shè)u(x,t)為諧振形式，即u(x,t)=Y(ξ)×cos(ωt)，x=Lξ。控制方程可化為Fredholm方程：

其中：待定的兩常數(shù)由兩邊界條件決定：

(1)碳納米管一端固定(x=0時(shí)u=0)，一端自由(x=L時(shí)N=0)時(shí)，由于：

N=D(x)Y′(x)-l2Ω2L-2[m(x)Y(x)]′

可得：

代數(shù)方程組仍可用式(4)、(5)表示，但系數(shù)Mjn應(yīng)為：

(3)一端固定、一端附加集中質(zhì)量m0時(shí)得：

Ω1=[5/12+mt+(l/L)2]-1/2

考慮附加質(zhì)量及尺度參數(shù)取零(m0=0,l=0)時(shí)，精確結(jié)果為π/2。故將基頻表達(dá)式繼續(xù)修正，最后得關(guān)于基頻的簡(jiǎn)單近似表達(dá)式為：

Ω1=[(4/π2)+mt+(l/L)2]-1/2

(9)

另外，容易獲得均勻截面下，端部附加集中質(zhì)量的特征方程為：

對(duì)應(yīng)的基頻為上述超越方程最小正根。

3 固有頻率

用算例驗(yàn)證方法的正確性。計(jì)算中僅考慮無(wú)量綱固有頻率(Ωn)，除特別說(shuō)明，否則冪級(jí)數(shù)式(3)中項(xiàng)數(shù)均取N=6。

3.1 算例1

考慮均勻截面碳納米管，其縱向自由振動(dòng)固有頻率按以方法計(jì)算結(jié)果與其它結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表1。 由表1看出該方法精度較高。尤其按式(9)計(jì)算固支-自由一階基頻，當(dāng)l/L=0.05,0.1時(shí)結(jié)果分別為1.565 97，1.551 77。與表1中N=6的結(jié)果完全吻合。表明近似基頻表達(dá)式精度較高。

3.2 算例2

考慮錐形碳納米管，設(shè)截面面積為A(x)=π(1-αx)2，對(duì)兩種邊界條件分別計(jì)算縱向自由振動(dòng)時(shí)固有頻率，結(jié)果見(jiàn)表2、表3。并與文獻(xiàn)[14]數(shù)值結(jié)果比較。由表1～表3看出，該積分方程解法較有效。

3.3 算例3

考慮一端固定一端自由(5,5) 扶手型長(zhǎng)度12.2 nm碳納米管[5]，密度9.517×103kg/m3，彈性模量6.85 TPa。固有頻率計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4，與文獻(xiàn)[6]結(jié)果較接近，亦與用分子動(dòng)力學(xué)方法所得固有頻率5.44×1011Hz相吻合[5]。由表4看出，或固支-自由、或固支-固支邊界約束，非局部尺度參數(shù)總導(dǎo)致固有頻率減少。

表1 均勻截面碳納米管前三階無(wú)量綱固有頻率

表2 截面A(x)=π(1-αx)2固定-自由錐形碳納米管前三階無(wú)量綱固有頻率

表3 截面A(x)=π(1-αx)2兩端固定錐形碳納米管前三階無(wú)量綱固有頻率

表4 非局部理論下 (5,5) 扶手型碳納米管縱向振動(dòng)基頻(單位：1011 Hz)

3.4 算例4

算例3中的碳納米管作為縱向振動(dòng)質(zhì)量傳感器，一端固定、一端附有巴基球或病毒等納米顆粒，用本文方法計(jì)算固有頻率。為方便，比較非局部尺度參數(shù)為零的情況。對(duì)此文獻(xiàn)[19]提出近似基頻表達(dá)式Ω1=[(1/3)+mt]-1/2。將本文近似結(jié)果式(9)與其近似結(jié)果與精確基頻對(duì)比，對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差見(jiàn)圖1，近似結(jié)果當(dāng)mt約取0.4時(shí)有最大相對(duì)誤差2.5%，而文獻(xiàn)[19]的近似基頻最大相對(duì)誤差達(dá)10%；當(dāng)mt>0.37時(shí)文獻(xiàn)[19]的近似結(jié)果較好，而相對(duì)桿質(zhì)量較小的附加質(zhì)量，本文近似較好。由于縱向振動(dòng)質(zhì)量傳感器附加質(zhì)量不太大，故此類(lèi)附加質(zhì)量的共振頻率，本文的近似結(jié)果誤差較小。

考慮非局部尺度參數(shù)時(shí)，其無(wú)量綱基頻與附加質(zhì)量間的依賴(lài)關(guān)系式見(jiàn)圖2。由圖2可知，碳納米管系統(tǒng)振動(dòng)頻率隨尺度參數(shù)的增大而減??；端部質(zhì)量對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率隨端部質(zhì)量增大而減小。事實(shí)上，附加質(zhì)量足夠小時(shí)系統(tǒng)與固定-自由時(shí)彈性桿振動(dòng)相似；附加質(zhì)量足夠大時(shí)系統(tǒng)與一維彈簧振子振動(dòng)相似。

3.5 算例5

碳納米管長(zhǎng)度亦影響其縱向振動(dòng)固有頻率。在其它幾何參數(shù)不變條件下，選擇固定-自由碳納米管進(jìn)行研究。其無(wú)量綱基頻與長(zhǎng)度間變化見(jiàn)圖3。由圖3看出，長(zhǎng)度較小時(shí)，碳納米管固有頻率變化明顯；長(zhǎng)度較大時(shí)固有頻率變化不大。表明固有頻率與長(zhǎng)度相關(guān)，長(zhǎng)度越短，尺度相關(guān)性越明顯。長(zhǎng)度增加，尺度常數(shù)對(duì)固有頻率影響漸漸變小。

圖1 非局部參數(shù)為零時(shí)近似基頻相對(duì)誤差比較

4 結(jié) 論

本文用彈性理論、非局部理論研究錐形納米管縱向振動(dòng)固有頻率。用積分方程法獲得不同邊界約束條件下固有頻率近似計(jì)算表達(dá)式，結(jié)論如下：

(1)對(duì)各種邊界條件的變截面形狀碳納米管縱向振動(dòng)，均可通過(guò)積分方程方法獲得低價(jià)固有頻率，適用范圍較廣。

(2)碳納米管固有頻率隨長(zhǎng)度變短尺度效應(yīng)更明顯。

(3)附加質(zhì)量能降低碳納米管固有頻率。

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