浮基兩剛體模型強迫振動動力響應分析

王 丙， 江召兵,2， 陳徐均， 黃亞新

(1.解放軍理工大學 野戰工程學院，南京 210007； 2.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院， 上海 200240)

浮基兩剛體系統為最簡單的浮基多體系統。而起重船系統與其較相似。在起重船非線性動力學研究中有兩類常用模型：①將船體對吊重的作用直接簡化為纜索吊頭點處簡諧激勵,即將吊重視為空間擺[1-3]。研究表明,吊點平面運動在一定條件下亦會使吊重產生空間擺動,甚至發生混沌運動[2]；②將船舶運動與吊重擺動耦合分析,建立多體動力學模型[4-6]。由于起重船與其它浮基多體系統的主要工作環境為海洋，因此對起重船等浮基多體系統在波浪作用下動力響應研究具有重要意義。李躍等[7]運用多體動力學休斯敦方法，考慮躉船橫搖及吊臂回轉，建立波浪中作業起重船的動力學方程，對懸吊載荷擺振進行分析。高崇仁等[8]將起重船吊臂及吊索作為彈性體，基于柔性多體動力學設計參數對吊重擺動軌跡影響進行分析。陳新權等[9]對起重船在不規則波浪中的運動響應進行計算，獲得不同回轉角度、浪向、吊索長度下的吊索附加動載荷，分析吊索附加動載荷對起重船浮態及穩性影響規律。葛慧曉等[10]通過對各種起重船穩性衡穩準則進行比較、分析，提出起重船穩性衡準建議。本文將浮基多體系統簡化為兩剛體模型，利用傳遞矩陣法對浮基多體系統在波浪作用下動力響應進行研究。

1 傳遞方程

動力學方程推導與動力學方程數值解法為多體系統動力學研究的主要內容。隨工程技術的發展及需求，已有諸多研究及改進多體系統動力學方法，且：①均需建立系統總體動力學方程；②系統總體動力學方程涉及的矩陣階次高，易造成數值計算困難。為提高多體動力學計算效率，芮筱亭等[11-15]提出多體系統離散時間傳遞矩陣法,該法建立元件動力學方程后將方程按時間逐步離散線性化，保持傳遞矩陣法格式，拼裝多體系統傳遞方程、傳遞矩陣，逐步積分獲得系統運動響應。

圖1為平面運動剛體，I為輸入端，O為輸出端，C為質心。Oxy為慣性坐標系，O1x1y1為平動坐標系，O2x2y2為連體坐標系，剛體輸入端I固定于連體坐標系原點，在連體坐標系中，剛體輸出端坐標為(b1,b2)，質心坐標為(c1,c2)。連體坐標系與慣性坐標系夾角為θ，剛體質量為m，JI為剛體相對I的轉動慣量，fx,C、fy,C、mC分別為作用于剛體質心的外力、力矩。在慣性坐標系下有：

θO=θI=θ

(1)

xC=xI+c1cos(θI)-c2sin(θI)=xI+xIC

(2)

yC=yI+c1sin(θI)+c2cos(θI)=yI+yIC

(3)

xO=xI+b1cos(θI)-b2sin(θI)=xI+xIO

(4)

yO=yI+b1sin(θI)+b2cos(θI)=yI+yIO

(5)

(6)

(7)

其中：

(8)

(9)

圖1 平面運動剛體

(10)

(11)

式中：A、Bx、C、Dx為在第i個時間點是第i-1個時間點的已知函數，其中Bx，Dx為x的函數。

一端輸入一端輸出的平面運動剛體傳遞矩陣可表示為[12]：

(12)

式中：

u41=mA(yIO-yIC)，u42=mA(xIO-xIC)

u45=-yIO，u46=xIC

u43=-mAxIC(ti-1)xIO-mAyIC(ti-1)yIO+JIA

u47=-mC+u67xIO-u57yIO+JIB+

(mByI-fy,C)xIC+(fx,C-mBxI)yIC

u57=fx,C-mA(c1G1-c2G2)-mBxC

u67=fy,C-mA(c1G2+c2G1)-mByC

xIC(ti-1)=(c1cosθI-c2sinθI)|ti-1

yIC(ti-1)=(c1sinθI+c2cosθI)|ti-1

xIO(ti-1)=(b1cosθI-b2sinθI)|ti-1

yIO(ti-1)=(b1sinθI+b2cosθI)|ti-1

剛體間通過光滑鉸連接，光滑鉸兩端坐標、力相等，內力矩恒為零，即：

xO=xI,yO=yI

(13)

qx,O=qx,I,qy,O=qy,I

(14)

mO=mI=0

(15)

當外接剛體輸出端內力矩為零時，剛體另一端也為光滑鉸或自由邊界。由光滑鉸外接剛體傳遞方程得：

0=u41xO+u42yO+u43θO+u45qx,O+u46qy,O+u47(16)

式中：u41、u42、u43、u45、u46、u47為外接剛體傳遞矩陣元素。聯立式(13)～式(16)，得光滑鉸外接剛體輸出端內力矩為零的光滑鉸傳遞矩陣[12]為：

(17)

式中：z=[x,y,θ,m,qx,qy,1]T為狀態矢量，x,y,θ為剛體位置坐標及轉角；m,qx,qy為剛體所受力矩及內力。

文獻[11]利用多體系統離散時間傳遞矩陣法求解光滑鉸連接的3剛體組成的平面運動三擺在重力作用下運動。并與用分析力學方法所得計算結果對比，兩種方法計算結果一致性較好，說明可用多體系統離散時間傳遞矩陣法解決多剛體動力學問題。本文將該方法用于浮基多體系統在規則波作用下動力響應求解，并考慮附加質量、阻尼對浮基起重系統動力響應影響。

2 波浪作用

浮基多體系統在海上作業時受波浪作用而發生搖擺運動。與船舶在波浪中搖擺相同，浮基多體系統的浮基在波浪中的搖擺運動由波浪運動與浮基自由搖擺運動合成，浮基搖擺運動取決于兩運動周期比值[16]：

(18)

式中：α0為波浪最大波面角；Tθ為船舶搖擺周期；Tω為波浪周期；ω為波浪頻率。浮基在搖擺過程中所受靜水作用可用回復力矩表示[17]，即：

Mh=Volh

(19)

式中：Vol為船舶排水量；h為船舶重心G至浮心作用線垂直距離。

將浮基多體系統簡化為平面兩剛體模型，見圖2。浮基、配重、吊臂簡化為第一節剛體；繩索與重物簡化為第二節剛體，兩節剛體間用光滑鉸連接，其中θ1，θ2分別為剛體1、2轉角(圖中轉角方向為正),浮基多體系統正浮狀態下θ1=0°,θ2=-90°。浮基多體系統各部件參數見表1。在對浮基多體系統進行數值計算時，長度比尺為1∶10，波浪波長L=3.0m，波高H=0.04m，浮基模型在波浪中附加質量系數及阻尼系數見表2。本文對浮基在橫搖角強迫振動與波浪力作用下的動力響應進行計算，考察在強迫外力作用下兩剛體的角運動規律，本文結果均為系統在波浪中運動達穩定狀態結果。

表1 浮基多體系統各部件參數

表2 附加質量系數和阻尼系數

圖2 浮基兩剛體模型

由于本文模擬浮基多體系統在微幅波作用下動力響應，故不考慮波浪輻射。據Froude-Krylov假設，波浪對浮基多體系統作用[17]的波浪水平力、垂直力、力矩分別為：

Ldsin[(kb/2)sinφ]sin(ωt)

(20)

(21)

(22)

其中：ρ為水的密度；g為重力加速度；k為波數；a,b為浮基長、寬；L為波長；φ為波向角；ω為波浪頻率；d為水深。

圖3為分別用傳遞矩陣法與式(18)對浮基兩剛體系統在波浪中橫搖運動的計算結果及與試驗結果比較。試驗用水池長100 m，寬6 m，池水深2 m；用電液伺服驅動控制的推板式造波機造波，造波頻率0.2～2 Hz，最大波高0.35 m；用光學運動測量儀測量浮基運動參數及重物運動軌跡，光學運動測量儀為K600型，誤差0.05 mm。由圖3可知，三種方法所得浮基橫搖運動周期吻合較好，但橫搖幅值相差較大。由于式(18)只考慮波浪與浮基的周期比，未考慮浮基配重、附加質量及阻尼等因素影響，故所得橫搖角幅值與其它兩種結果相差較大；用傳遞矩陣法計算所得結果與試驗較接近，說明傳遞矩陣法對波浪中浮基多體系統動力響應計算的正確性。

3 數值計算及分析

圖4、圖5分別為浮基兩剛體系統在不同幅值橫搖角強迫振動作用下第二節剛體擺動幅值及放大系數(即第二節剛體擺動幅值與第一節剛體擺動幅值比值)隨角強迫振動頻率的變化。由二圖可知，當第一節剛體所受橫搖角強迫振動頻率增加時，第二節剛體擺動幅值、擺動放大系數逐漸增大。第一節剛體所受橫搖角強迫振動幅值增加時，第二節剛體擺動幅值逐漸增大，但擺動放大系數基本不變。可推斷，第一節剛體所受角強迫振動幅值及頻率繼續增加時，第二節剛體擺動會更劇烈，甚至發生旋轉，出現較明顯放大現象。

表3為浮基兩剛體系統在幅值A=5°、不同頻率ω(s-1)的橫搖角強迫振動作用下，第二節剛體擺動幅值(°)隨剛體長度l(m)的變化。由表3可知，第二節剛體長度增加時，其擺動幅值基本不變。

圖3 橫搖歷程對比圖

表3 第二節剛體擺動幅值

圖6、圖7分別為浮基兩剛體系統(第二節剛體長度l=0.3 m，吊臂仰角ψ=45°)在波浪作用下第一節剛體橫搖歷程與第二節剛體擺動歷程隨系統起吊重物質量變化比較圖。由二圖可知，起吊重物的質量m=20 kg時，第一節剛體橫搖幅值與第二節剛體擺動幅值達最大值，可能由于此時系統固有頻率較其它幾種工況更接近波浪頻率。隨起吊重物質量的增加，浮基靜平衡傾角增大。兩節剛體均在自身平衡位置兩側對稱、規則擺動。

圖6 第一節剛體橫搖歷程

圖8、圖9分別為浮基兩剛體系統(起吊重物質量m=10 kg，吊臂仰角ψ=45°)在波浪作用下第一節剛體橫搖歷程與第二節剛體擺動歷程隨第二節剛體長度變化比較圖。由二圖可知，第一節剛體橫搖幅值與第二節剛體擺動幅值隨第二節剛體長度的增加而增大，且第二節剛體擺動幅值的增加較第一節剛體橫搖幅值的增加大得多；l=0.4時第二節剛體擺動幅值為l=0.2時4倍，重物擺動更劇烈。

圖10、圖11分別為浮基兩剛體系統(第二節剛體長度l=0.3，起吊重物質量m=20 kg)在波浪作用下第一節剛體橫搖角歷程與第二節剛體擺動歷程隨吊臂夾角變化比較圖，表4為對應的第一節剛體橫搖幅值與第二節剛體擺動幅值(°)。由二圖及表4知，吊臂仰角ψ=30°時，第一節剛體橫搖幅值與第二節剛體擺動幅值較小，但過小的吊臂仰角會占用較多浮基甲板低層空間；吊臂仰角ψ=50°或ψ=60°時，第一節剛體橫搖幅值與第二節剛體擺動幅值較大，而過大的吊臂仰角須增加吊臂長度方能進行起吊。

圖9 第二節剛體擺動歷程

表4 剛體運動幅值

4 結 論

通過對浮基兩剛體系統在橫搖角強迫振動及波浪作用下動力響應數值模擬，結論如下：

(1)浮基兩剛體系統第二節剛體擺動幅值隨第一節剛體所受橫搖角強迫振動幅值及頻率的增加而增大，但第二節剛體長度變化對擺動幅值影響不大。

(2)在規則橫向波浪作用下，浮基兩剛體系統第一節剛體橫搖幅值及第二節剛體擺動幅值隨起吊重物質量的增加先增大后減小，隨第二節剛體長度的增加而增大，隨吊臂仰角的增加而增大。

因此，當浮基多體系統在海上進行起吊作業時，在滿足起吊要求和操作方便的條件下，應當盡量減小繩索的長度和吊臂的仰角，同時應避免浮基多體系統固有頻率與波浪頻率接近，以減小浮基及起吊重物的變動。

參 考 文 獻

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