一維嵌套結構聲子晶體透射特性

胡家光， 徐 文， 邱學云

(1.文山學院 數理系，云南 文山 663000； 2.云南大學 物理科學技術學院，昆明 650091)

周期性功能材料作為感興趣的研究對象， 由半導體材料器件到光子晶體均已取得巨大成就。近年來又提出聲子晶體概念。與光子晶體結構類似，聲子晶體為由不同彈性材料周期性排列而成的復合功能材料，理論、實驗均證明，在適當條件下，彈性波在聲子晶體中傳播時會產生與光子晶體相似的禁帶[1-3]。聲子晶體中存在缺陷時帶隙內產生局域模，帶隙內彈性波只能被局限在缺陷處或沿缺陷傳播[4]。聲子晶體禁帶特性及局域模使其在減振降噪及聲學功能器件領域應用前景廣闊[5]。與光子晶體不同，電磁波只有橫波，而彈性波在不同介質中傳播時偏振狀態會不同，在流體中傳播時只有縱波，而在固體中傳播時有橫波亦有縱波，亦可能存在縱波與橫波耦合，故聲子晶體帶隙的獲取及計算更復雜，尤其超低頻帶隙的獲取更具挑戰性。

在聲子晶體研究中，一維聲子晶體因其制作簡單，體積小，帶隙易控制備受關注[6-7]。一般情況下聲子晶體帶隙越寬，應用價值越高。為獲得更理想帶隙特性，在簡單晶格基礎上，將Fibonacci、Thue-Morse、功能梯度及無序等結構引入一維聲子晶體中[8-12]。而該新型結構拓寬聲子晶體帶隙效果并不顯明，且局域模調控性亦不理想。因此，探索拓寬一維聲子晶體帶隙方法及研究調控局域模手段尤其重要。本文進行過大量探索研究，發現可大幅拓寬一維聲子晶體帶隙的周期嵌套結構，并借助摻雜作用，可較好實現局域模的調控，并對其中機理進行詳細闡述。

1 模型及計算方法

設計多種類型一維周期嵌套結構，最佳組合形式見圖1，結構共j層。將一個周期稱復周期，由A、B、C、D四部分組成，晶格常數為a。圖1中黑色部分A及C表示同一種材料，灰色部分B及D表示另一種材料，四部分厚度分別為d1、d2、d3、d4，整結構由N個復周期排列而成，入射、出射端材料相同用E表示。若d1=d3及d2=d4，則變為晶格常數為a/2的簡單晶格結構。研究重點為d1≠d3及d2≠d4情形，該聲子晶體也可視為由周期單元A+B及C+D的兩套聲子晶體嵌套而成，在此結構中已發現非常有價值結果。為便于計算，令L1=d1+d2、L2=d3+d4、T1=d1/d2、T2=d3/d4、T3=L2/L1。

圖1 一維復周期聲子晶體結構模型

為準確研究此類結構聲子晶體帶隙特性，本文用傳遞矩陣法計算[13-14]，研究縱波及橫波垂直入射時的透射率。在此條件下，不存在橫波與縱波的轉型問題。據縱波及橫波在晶體中傳播時邊界條件，可得縱橫波位移波矢在兩種介質界面處共同的傳遞矩陣Mpq=M-1PM-1q。其中Mp及Mq為相鄰第p、第q層介質系數矩陣，可統一下標p定義為：

(1)

式中：kL=ω/cL；kT=ω/cT；cL，cT分別為縱波波速及橫波波速；ω為圓頻率；λ，μ為拉密常數。彈性波經厚度dp的介質p時傳遞矩陣為：

(2)

彈性波通過整個聲子晶體時，總傳遞矩陣為：

W=M01N1M12N2…Mj0

(3)

由此可得縱波透射率TL及橫波透射率TT為：

(4)

選常用材料鋼與環氧樹脂構成聲子晶體,入射及出射端材料選有機玻璃,材料參數見表1,復周期數為10,缺陷層材料鉛后續。

表1 材料物理參數

2 結果與討論

計算復周期結構與簡單晶格結構帶隙差異，選復周期結構參數a=3 cm，T1=T2=1，T3=2。為使比較具合理性，簡單晶格結構由相同材料鋼及環氧樹脂組成，厚度比取1，晶格常數a取3 cm。結果見圖2，縱坐標為波透射率，相鄰透射譜線間空白區域為帶隙；橫坐標為波頻率f。為能更全面反映帶隙情況，頻率f取值范圍較寬。

圖2 透射率譜圖(a=3 cm, T1= T2=1, T3=2)

對比圖2(a)、圖2(c)看出，簡單晶格透射譜線較密集，帶隙寬度較小，從左至右，前6個帶隙寬度近似相等，約25 kHz。而復周期結構透射譜線較稀疏，故帶隙被極大拓寬，第二、三帶隙寬度達80 kHz，為簡單晶格結構的3.2倍，稱為巨帶隙，在更高頻率區亦有類似現象。其機理可解釋為，相比簡單周期，波在一個復周期內傳播時受到更復雜周期內部調制，該調制在多層復周期結構中均有作用，但否能產生寬帶隙，與材料彈性常數、層數及各層厚度密切相關，見式(2)、式(3)。而用復周期結構，調整適當參數，確可獲得較簡單周期寬數倍的巨帶隙，此為聲子晶體應用提供了新設計思路。此外，該結構可視為由兩套晶格常數不同的簡單晶格聲子晶體嵌套而成，晶格常數不同的聲子晶體帶隙結構差異較大，在某些參數下，不同晶格引起的布拉格反射效應發生作用會增大帶隙。該嵌套疊加結構與將多組聲子晶體按順序復合效果[15]不同，按順序復合時波總的傳遞矩陣可視為各組聲子晶體傳遞矩陣順序疊加。而本文結構中波總的傳遞矩陣可視為兩套聲子晶體各層傳遞矩陣元的嵌套疊加，數學上獲得兩種不同的傳遞矩陣值，導致不同帶隙結構。對比圖2(b)、圖2(d)，復周期結構中橫波帶隙遠寬于簡單晶格結構橫波帶隙，但橫波帶隙較結構中縱波帶隙小很多，主要因為橫波波長較短，滿足布拉格帶隙彈性波頻率下降所致。 除帶隙變寬外，圖2(c)、圖2(d)中亦出現類似缺陷體的局域模，圖2(c)中僅在第一帶隙內出現兩個局域模。將其放大發現，局域模①較寬，頻率范圍10.5～14.3 kHz，呈類周期振蕩形態，其透射率峰值為1，表明該頻率范圍內波較容沿此局域模透過整個聲子晶體。而局域模②較陡峭，透射率峰值為0.98。圖2(d)中，除①、②兩局域模與圖2(c)類似外，在第二、五、七個帶隙內均出現局域模，但③、⑤兩模的透射峰極小，意義不大。復周期結構出現局域模原因可解釋為兩套周期間互為準缺陷，將此種作用稱準缺陷耦合。準缺陷耦合不但產生傳統缺陷的局域模，亦放大(在某些參數條件下也可能縮小)縱波及橫波中局域模①的范圍，且可獲得較高透射率。

晶格常數a及T1，T2，T3與帶隙關系見表2。巨帶隙易出現在T1>1時，T2及T3主要影響缺陷模的位置與數量，而a對帶隙寬度、位置及局域模均有影響。圖3為T1>1時，T2=0.5<1及T2=2>1兩種情況縱波透射率譜圖。與圖2(c)對比，圖3(a)、圖3(b)中縱波帶隙范圍進一步拓寬，但T2<1時，第一帶隙內局域模數量增加；T2>1時，第一帶隙內除局域模①外，其余局域模消失，轉而出現在第二帶隙內。橫波變化亦相似。由此可見，復周期結構可提供更多可調節結構參數，更易實現對帶隙及局域模調控。

表2 結構參數對帶隙影響

局域模始終伴隨各結構參數變化出現，為聲子晶體在波導領域的應用提供了可能。但局域模也會對聲子晶體濾波效應產生干擾，尤其低頻區局域模①因其寬度較大，且始終存在，會嚴重影響聲子晶體低頻濾波效應，若能針對性控制局域模，會更有利于聲子晶體在器件中應用。因此本文探討多種方法調控局域模，發現在復周期間插入另一缺陷層方法最有效，缺陷層位置及厚度對局域模會產生極大影響。選擇高密度鉛材料為缺陷層，物理參數見表1，缺陷層位于第一～第九個復周期后某位置。局域模①透射率極值與缺陷層位置及厚度關系見圖4，橫坐標為缺陷層厚度D與d1的比值，d1及其它結構參數值同圖2。很明顯，縱波與橫波局域模①的透射率極值均隨缺陷層厚度的增加而減小，尤其缺陷層位于1、3、7、9復周期后時，透射率極值遠小于其它位置。D/d1=3時，在四位置上縱波與橫波局域模①的透射率極值約0.02，基本可忽略局域模①的影響，對擴大聲子晶體在低頻范圍內的應用具有重要意義。

在第一復周期后插入缺陷層時縱波及橫波第一帶隙譜見圖5，D/d1=3，與圖2(c)、圖2(d)相比，缺陷層引入最明顯為基本消除了縱波及橫波中局域模①、②，帶隙變寬及更連續。第一帶通區隨頻率的增大，透射率振蕩呈較大衰減，第二帶通區透射峰值有一定程度下降，橫波變化較縱波更顯著。更高頻率局域模及帶通區變化亦相似。研究結果表明，通過改變缺陷層位置及厚度可有效控制局域模的產生及消失。其機理可從兩方面解釋，由數學角度，引入缺陷層可通過缺陷矩陣實現，缺陷層位置或厚度不同時，缺陷矩陣在總傳遞矩陣中位置或數值亦不同。由于矩陣運算不滿足交換律，故所得結果不同。由物理角度分析，缺陷層的引入會產生自己局域模，新局域模與原準缺陷耦合產生的局域模相互作用降低(在某些參數條件下可能增強)某些局域模透射率，將此作用稱缺陷共振，缺陷共振的強弱與新局域模位置及強度密切相關，而新局域模主要由缺陷層厚度及位置決定，故得出上述結果。

圖3 縱波透射率譜圖(a=3 cm, T3=T1=2)

3 結 論

(1) 本文通過將周期嵌套結構引入一維聲子晶體中,推導出該結構的傳遞矩陣、計算其帶隙特性,獲得透射率譜圖。

(2) 通過內周期對波的調制作用,獲得較傳統簡單晶格結構寬數倍的巨帶隙,且同時存在于縱波及橫波中。帶隙中橫波局域模多于縱波局域模。巨帶隙易在T1>1時出現,而T2、T3主要影響缺陷模位置及數量, 而a對帶隙寬度、位置及局域模均有影響。

(3) 通過在復周期間摻入缺陷層鉛,發現縱波與橫波局域模透射率極值均隨缺陷層厚度的增加而減小，并提出缺陷共振機理,將有助于增強聲子晶體低頻濾波效應。

(4) 本文一維周期嵌套結構無論在寬帶隙獲取,或局域模及調控性均優于已有研究結論。此類聲子晶體應用前景會更好。

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