功率流測量以及振動能量參數估計試驗研究

喬百杰， 趙 彤， 陳雪峰

(1.西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710049; 2.清華大學 機械工程系，北京 100084)

振動系統能量問題包含兩類問題：能量傳遞和能量分布。能量傳遞可以用功率流表達，由功能關系可知輸入系統的凈功率流等于系統耗能(包括結構內部摩擦耗能和對外輻射的聲能)，可表征系統耗能能力；系統能量分布可由系統振動能量(時域平均動能和勢能之和)表達，可表征系統蓄能能力[1]。從因果系統輸入激勵和輸出響應的角度來說，功率流相當于輸入激勵，而系統振動能量相當于系統輸出響應，二者可由損耗因子關聯起來，因此損耗因子可以類比系統頻響函數，與頻響函數一樣，系統損耗因子是系統固有屬性，與外界的輸入輸出無關。

自從Goyder等[2]將功率流理論引入到振動系統以來，功率流就成為了振動和噪聲控制領域的有力工具。牛軍川等[3]通過建立子系統間動力學模型，將功率流理論應用在柔性隔振系統中。功率流理論由于其自身的優越性，被越來越多地應用于工程實踐中，但實際應用中，測量界面間的傳遞功率流遠非速度與力乘積那么簡單，功率流的測量方法是當前的一個研究重點。如何精確地測量振源輸入基座的功率流是主動或被動隔振設計首要考慮的問題。Alberdi-Muniain等[5]在研究電磁隔振器隔振效果時，通過在隔振器兩端安裝力傳感器和加速度傳感器，得到兩端的傳遞功率流。為了測量振源傳遞到圓柱殼體的功率流，Howard等[6]利用電阻應變片設計了六軸測力傳感器，并給出了測量角加速度的方法，實現了多自由度振動功率流測量。Singh等[7]在研究結構聲傳遞路徑貢獻時，采用PCB公司生產的型號288D01阻抗頭傳感器測量了聯結點處的力和加速度信號，直接獲得了傳遞功率流，評價了在各個頻點不同傳遞路徑對目標的貢獻量。在振動控制中，界面間能量的傳遞常常出現負功率流的現象[6-7]，而僅將負功率流歸結為測量精度不夠所致，尚難以令人信服。

系統振動能量具有表征設備對外輻射噪聲和傳遞振動的能力，在全局頻段均可作為評價系統隔振性能的指標。振動能量參數相比常規的局部隔振評價指標如力、速度或者加速度，可以從整個結構的角度評價振動的控制效果，然而目前還沒有儀器可以直接測量得到總能量、動能和勢能。通常是盡可能多地測量多個位置的位移、速度或者加速度響應，平均求和只能得到粗略的能量參數[9]。Bobrovnistskii等[10]針對單點激勵的多自由度振動系統，分別應用驅動點阻抗和導納法推導了估計系統總能量、動能、勢能以及損耗因子的表達式，數值仿真結果與理論值對比表明該方法在中低頻可以有效地估計系統的能量參數。基于驅動點阻抗和導納法估計系統能量，僅需要事先得到驅動點的阻抗或導納，而測量系統工作狀態只需一個加速度或力傳感器。

可知，功率流和振動能量在振動和噪聲控制領域有著重要的地位，而將二者結合起來并建立二者間關系的研究卻較少。

1 理論基礎

1.1 輸入功率流

功率流理論現已為人們所熟知，它實際上是電氣網絡中有功功率的概念在機械振動領域的延伸。功率即單位時間內力所作的功，若f(t)為作用于結構某點的外力，v(t)為該點對激勵力f(t)所產生的速度響應，則輸入結構的功率為P(t)=f(t)v(t)，它是時間t的函數，稱為瞬時功率流。對于振動分析來說，平均功率流在描述結構振動特性方面更具有意義。平均功率流為瞬時功率流P(t)在一個周期T內的時域積分。針對單點激勵，輸入系統的時域平均功率流為：

Pt=

(1)

(2)

其中，Sfv(ω)為驅動點力和速度的雙邊互功率譜密度，ω為圓頻率。由式(2)可知，功率流在頻域的定義與在時域的定義是統一的，這也是廣義帕斯瓦爾定理的必然結果。在實際應用中，加速度比速度更加便于測量，由式(2)可得功率流關于加速度的表達式：

(3)

其中，Gfv(ω)和Gfa(ω)分別為力與速度的單邊互功率譜密度和力與加速度的單邊互功率譜密度。

對于單頻簡諧激勵而言，輸入基座的功率流可以進一步簡化為：

(4)

其中，F和V分別是簡諧激勵力和同頻速度響應幅值，φ和ψ分別是簡諧激勵力和同頻速度響應的初相位。若輸入激勵為周期激勵信號，將周期信號傅里葉級數展開，推導可得總功率流的表達式：

(5)

式中:下標n為傅里葉級數展開的階次。式(5)表明周期激勵下，輸入功率流滿足疊加原理，即輸入系統的總功率流等于各階諧波功率流之和，且不同諧波激勵力間無能量交換。

1.2 功率流和振動能量關系

功率流表征系統凈損耗能量，振動總能量表征系統存儲能量，二者可由系統損耗因子關聯起來。系統損耗因子的概念已在統計能量分析、能量有限元等領域得到廣泛應用，概念的提出是為了解決有限元方法在中低頻的局限性[9]。系統損耗因子定義為單位頻率(每振動一次)單位時間內結構的損耗能量與結構中存儲的平均能量之比。

(6)

其中，ηω為系統損耗因子，Pin為輸入系統的功率流，E為系統振動能量。系統損耗因子反映了振動系統在不同頻點的耗能能力。如不特別說明，本文涉及的功率流均為時域平均功率流，振動能量均為時域平均能量。

在中低頻段，模態比較稀疏，模態損耗因子較為常用。在共振頻率附近，系統損耗因子ηω近似等于模態損耗因子ηn，其中模態損耗因子是模態阻尼比的二倍。

(7)

其中，Δω是模態頻率對應的系統響應幅值的0.707倍帶寬。式(7)為半功率帶寬計算模態損耗因子的表達式。

1.3 振動能量估計

在機械振動噪聲測試中，要求描述測試系統的試驗數據量最小化，一方面安裝過多的傳感器即不經濟也會給測試系統帶來附加質量，另一方面很多情況下在復雜的機械振動系統安裝傳感器是不方便甚至不可能的。Bobrovnitskii給出了能量參數估計的詳細推導過程[10]，本文僅給出最終推導結果。其中，總能量參數的阻抗近似表達為：

(8)

其中，v0是驅動點速度，z(ω)是振動系統的驅動點阻抗。對于無阻尼系統，式(8)是精確估計。對于輕型阻尼系統，上式近似相等，且阻尼越小近似估算誤差越小。該式給出了系統時域平均總能量在中低頻的近似表達。將式(4)和式(8)帶入式(6)，可得系統損耗因子的驅動點阻抗近似表達：

(9)

同理，易得振動能量和系統損耗因子的驅動點導納近似表達：

(10)

(11)

其中，f0為驅動點激勵力，y(ω)為振動系統的驅動點導納。值得注意的是，基于驅動點阻抗或者導納估計系統振動能量和系統損耗因子，僅需測量驅動點處的振動物理量，而無需測量整個結構的振動響應。

2 試驗結果和討論

2.1 試驗臺簡介

功率流測量和振動能量估計試驗平臺如圖1所示。慣性式作動器作為激勵源而產生垂向激振力，阻抗頭傳感器安裝在作動器和基座之間，測量聯接處的加速度和激振力。信號發生器在10-300 Hz頻段產生恒定的控制電壓，經由功率放大器驅動作動器對外輸出作動力。盡管如此作動器作為激勵源而非恒力源，輸出激勵力隨著頻率的變化而變化，這是由基座非剛性和作動器自身模態所共同決定的。激勵形式為10-300 Hz頻段的慢速穩態正弦掃頻激勵，步長1 Hz，在每個單頻點由LMS SCADASIII數據采集系統以2 048 Hz的采樣頻率采集8 192個數據點。

圖1 功率流測量和振動能量估計試驗臺

2.2 直接法測量功率流

直接法測量功率流可以用圖2測量功率流流程圖表示。首先由阻抗頭傳感器獲得同點同方向的力f(t)和加速度a(t)信號，其次基于傅里葉變換積分性質將加速度信號a(t)轉換為速度信號v(t)，隨后速度信號v(t)與力信號f(t)做乘積運算，得到瞬時功率流P(t)，對此計算時域均值，最終獲得時域平均功率流Ptt。

圖2 功率流測量流程圖

2.3 功率流傳遞規律分析

分別應用時域平均法、基波頻域法和二次諧波頻域法計算作動器輸入基座的功率流如圖3和圖4所示。時域平均法計算流程如圖2所示，該方法充分利用了所測的力和加速度的信息，而基波頻域法通過FFT變換僅僅提取力和加速度信號的基波信息，二次諧波頻域法考慮了力和加速度信號的基波和二次諧波信息。三種方法所得功率流在10-300 Hz頻段均出現兩個明顯的峰值，分別對應于鉛垂方向的兩階模態頻率。在64-68 Hz頻段，三種計算方法均出現了負功率流(注：在功率流分布圖中，若采用對數坐標，負功率流一般不畫出來，以區分正功率流和負功率流)，初步分析在64-68 Hz為其他自由度(如力矩激勵)作用導致鉛垂方向輸出負功率流，即振動能量由基座反向傳至作動器；對比圖3和圖4，可知在105 Hz、168 Hz等頻點(與模態頻率有整倍數或者分倍數關系)附近基波頻域法較時域平均法光滑，而在這些頻點時域平均法和諧波頻域法吻合度很好，可知在這些頻點諧波激勵占有重要分量。考慮二次諧波的影響，功率流在整個頻段均與時域平均法吻合。由此可知在主動隔振控制中，當激振頻率為各階模態頻率分倍頻時，其諧波振動需要加以控制。

圖3和圖4顯示功率流在64-68 Hz頻段為負值，而僅僅將之歸結為測量誤差是不足夠的。本文力圖從多自由度振動角度揭示負功率流成因。實際上，阻抗頭傳感器測量的力信號為鉛垂方向的激振力，而加速度信號則是多個自由度方向的激勵在鉛垂方向響應的疊加。因此，利用阻抗頭測量得到的功率流用如下公式表示：

(12)

圖3 功率流時域均值法與基波頻域法對比

2.4 綜合功率流和振動能量

本文1.2小節給出了計算功率流的表達式，1.3小節從理論上闡述了功率流和振動能量參數間的關系，并通過系統損耗因子建立了二者間的關系。2.3小節從試驗的角度研究了功率流的不同計算方法。基于驅動點阻抗和導納法的振動系統能量估計如圖5所示，兩種方法在所關注的10-300Hz頻段所得結果基本一致。同時，兩種估算方法互相驗證了對方計算方法的有效性。本小節重點在于驗證振動能量參數估計方法，以及功率流和振動能量參數間的關系。綜合輸入基座的功率流和基座的振動能量，結合式(6)，可得如圖6所示的隨頻率變化的系統損耗因子。

圖6 基于驅動點阻抗法和導納法系統損耗因子估計

圖6顯示在10-100 Hz頻段系統損耗因子值較高，這是由系統損耗因子的計算式所決定的。式(6)的分母包含變量圓頻率ω，致使在ω較小時，式(6)變得相當的大。盡管如此在100-300 Hz頻段，系統損耗因子與模態試驗所得到的模態損耗因子η=0.004一致，特別是在第二階鉛垂方向的模態頻率228 Hz附近吻合度較高。這是由于在模態頻率附近，僅當前模態占據主導地位，而遠離模態頻率，系統損耗因子是多階模態共同作用的結果。

3 結 論

本文通過在振源與能量接受體之間插入阻抗頭傳感器，測量聯接點力和加速度信號，在10-300 Hz頻段分別運用時域平均法、基波頻域法和二次諧波頻域法計算作動器輸出或者輸入基座的功率流，并對三種計算方法進行對比，分析功率流的傳遞規律。試驗結果表明，從振動能量控制的角度而言，當激勵頻率為系統模態頻率的分倍頻時，激勵頻率的諧波應該加以控制。針對功率流測量中出現的負功率流現象，從多自由度振動的角度給出解釋。

針對多自由度連續振動系統，當僅有一點受到外界激勵，系統的振動能量參數可通過驅動點阻抗和導納法估計而得。該方法測量振動能量較為經濟，只需測量激勵點處的力或加速度，以及事先通過模態試驗獲得的驅動點頻響函數，無需在整個系統布置傳感器。同時，由系統損耗因子建立了輸入功率流和系統振動能量間的關系，并通過試驗在中低頻段驗證了二者間的關系。

參 考 文 獻

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