兩自由度彎扭耦合渦輪機械葉片動力學分析

王 丹， 陳予恕， 曹慶杰， 熊冶平

(1.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2.南安普頓大學 工程與環境學院, 南安普頓 SO17 1BJ英國)

葉輪機械所處的工況十分復雜，葉片和流經的流體之間時刻進行能量的傳輸或轉換，因此這類機械的結構特點和工作原理決定了其內部流動的復雜性。柔性葉片較之剛性葉片，更容易受到氣動力的作用，產生結構變形，發生共振，因而存在著巨大的安全隱患。為了提高葉片與流體進行能量傳輸的效率，同時預防葉片發生顫振，對葉片的氣動彈性問題進行研究是非常必要的。由于葉片本身結構的設計，實際工程應用中多采用數值模擬如邊界元、有限元的方法研究其氣動彈性問題。Jadic等[1]利用時間推進方法分別研究了流體-葉片在帶有連續渦和不帶有連續渦的一致均勻流作用下的耦合運動。其研究表明，顫振的發生不會導致災難性的失效問題，而是葉片會發生極限環運動，并且其振幅很大程度上依賴于結構的非線性因素。So等[2]利用邊界元方法研究了在兩列平行渦激作用下，NACA0012翼型的流體激振響應問題。他們的研究結果表明，空氣動力學和結構共振發生在相同的共振參數比c/d，而與截面的幾何形狀和作用到的葉片上的平均氣動力載荷無關。Lau等[3]利用時間推進邊界元方法詳細的研究了兩個參數s/c(靜子的幾何設計參數，靜子葉片排葉片間距與葉片弦長之比)和c/d(歸一化頻率參數，與轉子尾流的通過頻率有關)對于葉片與漩渦耦合作用的影響。

在實際的工程應用中，對由于流固耦合作用引起的渦輪機械葉片的疲勞壽命預測是非常重要的。Sanders等[4]從理論上分析了轉子葉片在轉子-靜子耦合作用下受到的氣動力和氣動力矩。在以前的研究中,轉子尾流是作用到靜子葉片上的一個主要的外激勵源[5]。Hodson等[6-7]研究了轉子尾跡擾流的主要特點。Cicatell等[8-9]研究了渦輪葉片的尾跡流對靜子葉片的作用。Lau等[3]研究了一個由五個葉片組成的線性葉片排在尾流激振作用下的疲勞壽命預測。

本文的主要目的是在亞音速、低馬赫數條件下,通過定性分析方法，對受準定常氣動力作用的葉片發生臨界顫振進行預測和控制。建立了一個二自由度具有立方非線性渦輪機械葉片的截面模型，根據Lagrange原理建立了葉片發生顫振時的運動方程；通過數值模擬研究來流速度對振幅的影響；利用平均法理論研究了葉片顫振時的非線性動力學行為；利用能量法分析了葉片在能量輸入和輸出情況下的穩定特性。

1 建模

1.1 二自由度葉片截面模型

圖1 二自由度葉片頂端截面模型

1.2 彎扭耦合系統的運動方程

由圖1利用拉格朗日定理，得到結構振動方程，

(1)

根據Grossman’s 的準定常氣動力模型,得到二自由度系統受到的氣動力和氣動力矩如下:

進一步,假設振動為小角度, cosα≈1,sinα≈α

對方程組(1)進行無量綱化,得到如下方程組:

(2a)

(2b)

無量綱參數變換為,

1.3 耦合系統的數值分析

圖2 無量綱來流速度對彎曲、扭轉振幅的影響(a1為彎曲振動振幅，a2為扭轉振動振幅)

圖3 當時的時間歷程圖和相圖：彎曲振動 (a), (b)和扭轉振動(c), (d)

圖4 當時的時間歷程圖和相圖：彎曲振動(a), (b)和扭轉振動(c), (d)

圖5 當時的時間歷程圖和相圖：彎曲振動(a), (b)和扭轉振動(c), (d)

2 動力學分析

2.1 平均法分析

工程技術中，平均法由于很好的保持了系統的一階近似穩態解，因此常被用來研究強迫振動系統、自激振動系統等動態特性，尤其在非線性動力學領域被廣泛應用。在氣動力和氣動力矩的作用下，葉片極易發生顫振，因為顫振是一種結構與氣流相互耦合作用下的自激振動，所以其解具有穩態臨界性質。根據平均法原理,設系統(2)在兩個自由度上的穩態振動形式分別為，

ξ=Acos(ωτ+φ1)
α=Bcos(ωτ+φ2)

(3)

其中A,B,φ1,φ2是關于時間τ的慢變參數。根據平均法的思想，得到A,B,φ1,φ2關于時間τ的一階導數分別為:

(4)

其中φ1=ωτ+φ1,φ2=ωτ+φ2以及

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

通過(9)式，得到振動頻率的表達式為:

(11)

其中，

將得到頻率表達式代到等式(10)中，得到振幅A,B與振動頻率ω的關系，如圖6、圖7所示。

根據式(11)，得到振動頻率與無量綱來流速度、頻率比之間的關系如圖8、圖9所示。

圖6 彎曲振動方向上的振幅A與振動頻率ω關系圖:參數為=0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rξ=0.5,Rα=0.5,ζξ=0.016,ζα=0.021,=0.365,B=0.2,=11

圖9 振動頻率ω與頻率比之間的關系圖，綠線為ω1，紅線為

將式(11)代到式(10)中，得到振幅A,B和系統參數的非線性關系圖如圖10～圖15所示。

這些關系圖定性的反映了該耦合系統的振動特性，通過上述圖中給出的結果，可以對其振動進行預測與控制。

2.2 系統的能量傳遞分析

能量流方法近年來被廣泛用于工程中復雜結構以及振動控制系統的振動分析，性能評估、振動控制以及動力學設計等[10-13]。其中，很多研究都是基于線性理論，而利用能量流方法對于非線性系統的研究有限。該部分根據能量流研究非線性系統的理論與方法[15]，通過研究系統在每個振動周期內的平均能量，可以對系統的穩定性進行預測，從而避免系統因吸收能量發生大幅顫振所對結構造成巨大的破壞。系統(1)在每個振動周期內的平均輸入能量為:

圖10 彎曲振動方向振幅A與非線性剛度系數Rξ的非線性關系,=0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rα=0.2,=0.365,ζξ=0.016,ζα=0.021,=10.4,A=0.2,B=0.5

(12)

系統由于阻尼作用,在每個周期內消耗的平均能量為:

(13)

圖13 彎曲振動方向振幅B與非線性剛度系數Rα的非線性關系, =0.75,xα=0.1,α=0.5, μ=640,Rξ=0.5,ζξ=0.016,ζα=0.021,=11,=0.365,A=0.2

圖16 相位差取θ(π/2,π/4,0)不同值時系統每個周期內平均吸收能量Pin與無量綱來流速關系：系統參數分別為=0.75,μ=640,ω=0.5,A=0.5,B=0.5

系統每個周期內平均耗散的能量與振動頻率ω之間的關系如圖18所示。

從圖18可以看出，當相位差θ分別取0,π/4,π/2時，系統消耗能量Pd都隨著振動頻率ω的增加而增大。

3 結 論

文章針對渦輪機械葉片所處的復雜的工作環境，建立了二自由度彎扭耦合并且具有立方非線性的葉片截面模型，并對其進行了動力學分析。在葉片顫振過程中，當來流速度超過臨界值時，其振動幅值隨著來流速度的增加而增大。利用平均法得到了系統振動的幅值及其頻率之間的關系以及兩個自由度上振幅與系統參數之間的關系。通過能量法分析了系統在一個周期內的穩定性情況，從而為預測實際系統中葉片發生顫振提供了理論依據。

參 考 文 獻

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