基于增量諧波平衡法的含索鉸可折展桁架非線性動力學特性

張 靜， 劉榮強， 郭宏偉， 鄧宗全

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150080)

可折展機構以折疊比大、質量輕、剛度大等優點，在航天任務中得到廣泛應用和發展，如大型展開天線[1-2]、太陽帆和太空望遠鏡的展開支撐結構等[3-4]。為了滿足大折展比的需求，實現機構的順利展開和收攏，可折展機構中含有大量鉸鏈。為了在降低結構質量的同時保證結構剛度，結構中多使用張緊索代替桿件。鉸鏈非線性恢復力和索的拉壓非線性使可展開桁架具有很強的非線性動力學特性，因此國內外相關研究較多，主要分為三個方面：基于力狀態映射和參數識別的方法對鉸鏈非線性特性進行研究，得到鉸鏈非線性接觸碰撞特性和能量耗散特性[5-7]；將鉸鏈簡化為彈簧、彈簧阻尼、間隙彈簧等模型，基于傳遞函數法、有限元法等，進行空間可展結構動力學仿真[8-9]；考慮索的預緊作用，分析不同的張拉形式對結構固有頻率的影響[10]。國內主要是基于結構中鉸鏈的連續化假設，通過應力應變和波導理論，對含鉸桁架結構進行動力學計算[11-13]。

諧波平衡法在空間折展桁架的動力學計算中應用較少，但是在考慮間隙分段等非線性特性結構的動力學研究中得到發展：Bowden等[14-16]提出了將多自由度系統的非線性函數展開成描述函數表達式，利用諧波平衡方法對非線性系統進行分析；Sarkar等[17-18]利用增量諧波平衡(IHB)法對無約束含鉸結構進行分析，得到非線性動力學響應。在國內，劉延柱等[19]利用諧波線性化方法研究了單自由度間隙系統的動力學問題，但尚未發現使用IHB法對懸臂支撐的含索鉸結構研究的文獻。

由于可折展機構在航天任務中，多進行單點或多點支撐，因此，需要對有約束空間結構進行研究，又由于可折展桁架中多使用柔性索代替剛性結構來滿足輕質量和高剛度的需要，因此，為了更好掌握可折展結構的非線性特性，需要對含索鉸的可折展桁架進行深入的研究。本文建立了含索鉸的可折展機構動力學模型，利用IHB法將非線性動力學方程簡化為代數方程組，通過迭代求解得到結構的穩態響應，以激振頻率為變化參數，研究了鉸鏈間隙、鉸鏈剛度、激振力和索對結構動力學響應穩定性的影響，為進一步研究含索鉸可折展桁架的動態特性、提高結構性能提供了理論基礎。

1 含索鉸可折展桁架動力學建模

1.1 含索鉸可折展桁架動力學模型

如圖1所示為含索和鉸的可折展桁架，結構中桿件參數：彈性模量為E；截面慣性矩為I；截面積為A；單元長度為le；密度為ρ。為了滿足可折展的要求，鉸鏈中存在的間隙導致其呈現非線性接觸、碰撞、摩擦等非線性特性，同時，索具有剛度分段特性，因此，鉸鏈和索均為可折展桁架引入了很強的非線性特性。為了準確的評價鉸鏈和索引入的非線性特性，將鉸鏈簡化為含有間隙e、剛度k和阻尼cj的單元，索則以集中力的形式作用于結構，建立考慮索鉸非線性特性的可折展桁架的動力學模型。

圖1 含索鉸可折展結構

將鉸鏈和索產生的非線性力以集中力形式引入桁架結構中，得到含索鉸結構的動力學方程為：

(1)

1.2 索鉸非線性函數

在含索鉸可展桁架結構分析中，鉸鏈力和位移關系具有四種非線性特性[20-22]：① 鉸鏈間隙使非線性力出現分段特性；② 拉壓剛度不等特性；③ 鉸鏈接觸過程中接觸力與位移之間的非線性使其呈現三次彈簧特性；④ 鉸鏈部件間的摩擦和阻尼使其呈現回滯特性。四種特性對應的四種非線性力fj表達式見表1。同時，索在拉壓過程中出現剛度消失的現象，根據圖1所示結構的幾何關系及索的張緊和松弛特性，得到索的非線性力見表1。

表1 鉸鏈及索非線性力

表1中xj為鉸鏈部件間的相對位移；k1為鉸鏈特性2中的受拉剛度；k2為鉸鏈特性2中的受壓剛度；Ff為摩擦力；fi為索的預緊力；fc1，fc2為索1，索2的張緊力；fc為索的張緊力在豎直方向上的分量；kc為索剛度；H為索根部固定位置與桁架固定位置之間距離；Δlc1，Δlc2為索1，索2長度的變化量；le為桿單元長度；

1.3 動力學方程無量綱化

(2)

G=Fj+Fc

(3)

又可以將G表示為G=[g1g2…gn]T。

2 采用IHB法求解含索鉸可折展桁架

2.1 增量諧波分析方法

設時間為τ=ωt，將位移向量X展開為有限傅里葉級數：

(4)

其中：An為位移向量的傅里葉展開系數，n=0,1…q。

將方程(3)代入動力學方程(2)中，利用公式(4)對方程(2)中的位移、速度和加速度項進行替換，則動力學方程可以表示為：

(5)

其中：

根據泰勒公式，對動力學方程(5)進行增量形式的展開：

(6)

應用Galerkin方法，對動力學方程(6)進行線性項和非線性項的分離，可以改寫為：

JLY+H-F+(JL+JN)ΔY+VΔP+WΔω=0

(7)

式中:Y，ΔY為位移向量的傅里葉展開系數和位移增量的傅里葉展開系數；H，V，W為分別表示非線性函數G的傅里葉展開系數，R對P和ω的導數對應的傅里葉展開系數；JL，JN為動力學方程的線性項和非線性項的雅克比矩陣，將JL和JN用分塊矩陣表示：

其中

其中 第一列

偶數列和奇數列分別為：

其中j，k=1,2…nf，nf為自由度數。

動力學方程組(7)滿足正余弦項對應系數和為零，通過迭代進行代數方程組的求解。系統自由度為nf，對各參數進行q階的三角函數展開，則需滿足nf個動力學方程，即nf+q×2×nf個代數方程，各矩陣維數見表2。

表2 各矩陣維數

2.2 驗證方法

為了驗證IHB法的正確性，需要通過數值方法對動力學方程進行求解，由于非線性力是位移、速度和加速度的函數，很難直接進行求解，因此，將鉸鏈和索引入的非線性力簡化為集中力，將其與激振力疊加，利用Runge-Kutta方法進行微分方程的求解，則將動力學方程(2)改寫為：

(8)

3 含索鉸可展桁架動力學特性分析

3.1 數值方法與IHB法對比

以圖1所示結構為例，只考慮鉸鏈的分段非線性特性，參數設置見表3。

表3 結構參數及激勵條件

IHB法中的傅里葉變換設置采樣點數m為32，采樣頻率fs為m/(2π)，通過迭代實現單個周期仿真。Runge-Kutta方法中設置迭代步長為2×10-5，得到各自由度的響應曲線。分別利用這兩種方法進行無索和有索結構的動力學仿真，結果如圖2所示。

由圖2(a)可以看到，Runge-Kutta方法計算得到穩定的位移響應曲線。如圖2(b-c)所示，兩種方法得到的無索和有索的位移響應曲線吻合較好。

圖2 非線性結構位移響應對比(ω=5ωn)

3.2 索對結構動力學特性的影響

通過計算強迫振動下結構的響應來分析索對結構的影響，外部激勵參數見表3，提取位移幅值得到對應的幅頻曲線，進行不同方法下有索和無索結構的固有頻率對比，如圖3所示。

圖3 非線性結構的幅頻曲線

可以看到，當結構中含有索的預緊作用時，兩種算法得到的一階固有頻率分別由0.75提高到1和1.5，可知索可以提高結構的固有頻率，兩種方法計算結果的差別主要由強非線性因素導致。

圖4 非線性結構的幅頻曲線

由圖4可知，相同激振條件下，有索結構的振動幅度較無索結構減小很多，固有頻率提高很大，因此，張力索可提高結構固有頻率和剛度。IHB法和Rung-Kutta方法均可以作為分析非線性系統動力學行為的研究方法，由于IHB法不需要進行微分方程的求解，因此，其在滿足一定精度的條件下，計算速度較數值分析方法更加快速。

4 含索鉸可展桁架動力學響應穩定性分析

4.1 穩定性分析方法

為了深入了解鉸鏈和索的非線性特性對結構動力學特性的影響，需要通過雅克比矩陣或者系統相圖對其解的穩定性進行研究。由于動力學方程(7)得到響應傅里葉展開系數與其增量之間關系為：

ΔY=(JL+JN)-1[-JLY-(+H-F+VΔP+WΔω)]

(9)

方程(9)又可以簡寫為：

ΔY=-(JL+JN)-1JLY+Δ

(10)

其中Δ=-(JL+JN)-1(+H-F+VΔP+WΔω)

因此，解的穩定性可以通過非線性雅克比矩陣(JL+JN)-1JL來判斷。同時，輸出結構中各自由度相圖也可以判斷響應的穩定性，以如圖1所示結構為例，設鉸鏈具有間隙非線性特性，結構的基本參數見表3，研究不同參數對結構動力力學響應穩定性的影響。

4.2 參數對結構響應穩定性影響

4.2.1 鉸鏈間隙對響應穩定性影響

鉸鏈側向間隙設置為0.1、0.01 m，分別進行無量綱頻率ω=0.5，1，1.5激勵，諧波展開項為32，不同結構參數對結構響應穩定性的影響如圖5所示。

由圖5可知，在鉸鏈間隙變化時，相同激振頻率下響應的穩定性有所變化，隨著鉸鏈間隙增大，不穩定響應對應的激振頻率降低，其不穩定響應不會向相鄰激振頻率擴展。

4.2.2 鉸鏈剛度對響應穩定性影響

取鉸鏈剛度k為0.15，0.6，無量綱頻率ω為0.75、1和1.25，相圖如圖6所示。

圖5 不同鉸鏈間隙和頻率下結構響應的相軌跡

圖6 不同鉸鏈剛度和頻率下的相軌跡

由圖6及圖5(a-c)可知，在一定激勵條件下，當鉸鏈剛度取較小值0.15時，結構在ω=0.75～1.25范圍內均有穩定解；當鉸鏈剛度由0.3增大到0.6時，不穩定解均出現在ω=1，鉸鏈剛度較大情況下，結構響應出現混沌現象。

4.2.3 激振力幅值對響應穩定性影響

取無量綱激振力為0.2，得到不同激振力幅值下響應相圖。

由圖7及圖5(a-c)可以看到，隨著激振力的增大，響應不穩定范圍增大，但對應的頻率不變，在ω=0.5～1.5范圍內，不穩定響應對應的頻率達到1。

4.2.4 索對響應穩定性影響

在考慮索的張拉作用時結構的動力學響應如圖8所示，由圖8及圖5(a-c)可知，含索結構在較低頻率時響應出現不穩定現象，其對應的頻率范圍擴大。

5 結 論

(1) 考慮鉸和索的非線性特性，建立了含索鉸的可折展桁架結構動力學模型，利用增量諧波展開方法實現了含索鉸懸臂結構的動力學響應求解，與數值方法對比，驗證了動力學模型的正確性；

圖7 不同激振力和頻率下的相軌跡

圖8 有索結構的穩定性

(2) 通過對無索和含索結構的分析及對比，可知含索結構的固有頻率較無索結構有明顯提高，振動幅值明顯減小。因此索的添加提高了結構剛度和改善了結構動態特性；

(3) 利用非線性系統相圖進行了結構響應的穩定性研究，以頻率為變量，得到各參數對響應穩定性的影響，發現激振力的提高、索的添加和鉸鏈剛度的提高均使結構的不穩定響應對應的頻率范圍擴大，鉸鏈間隙的增大使不穩定響應對應的頻率降低。

參 考 文 獻

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