斜齒行星傳動多體動力學建模與分析

張 俊， 劉先增

(安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山 243032)

行星齒輪傳動的振動和噪聲是影響系統可靠性、壽命及操作環境的關鍵因素。圍繞該類傳動的動力學問題，學術界開展了大量研究，內容涉及動力學建模、固有特性分析、動態響應求解、振動噪聲抑制等多個方面[1]。這其中，動力學建模和分析是進行后續動力性能研究及減振降噪的理論基礎。相比直齒行星傳動，斜齒行星傳動的結構、受力更為復雜，其動力學建模和分析也更具挑戰性，故迄今為止針對斜齒行星傳動動力特性的研究較少[2-4]。

按建模方法和考慮因素的不同，大致可將行星傳動的動力學模型分為解析模型、有限元模型和多體模型三類。其中，解析模型因建模簡單、求解容易等優點而被廣泛采用。Kahraman[2]建立了斜齒行星傳動的三維解析模型，并依托所建模型分析了行星輪嚙合相位等參數對輪系動力特性的影響。該解析模型中，各構件均被視為具有6自由度的剛體，各剛體間的嚙合和支承簡化為具有集中效應的彈簧阻尼單元。延續這一思路，Lin和Parker等通過建立計入構件平移、扭轉運動的解析模型獲得了直齒行星傳動固有特性的解析表達式，并將系統的自由振動歸納為扭轉(rotational)、平移(translational)和行星輪(planet)三種模式[5]。采用類似解析模型，學者們進一步研究了參數靈敏度[6]、模態躍遷[7]、參數穩定性[8]、非均布行星輪系統[9]、復合行星輪系[10]及人字齒、錐齒行星輪系模態[11]等問題。

不同于解析模型將輪系視為具有集中效應的彈簧質量系，有限元模型可有效計入系統各環節的影響。Kahraman等運用有限元法建立了行星輪系的準靜態受力模型，分析了內齒圈柔性對齒輪應力和行星輪載荷分配的影響[12]。采用類似手段，該文作者又進一步研究了內齒圈柔性對系統動態特性的影響[13]。文獻[12-13]的研究表明，構件柔性有助于補償因齒輪和系桿制造安裝誤差引起的非均載效應，且對系統動態特性具有重要影響。此外，文獻[14-16]也采用類似的有限元模型對行星輪系的動態特性進行了研究，也得出了一些重要結論。

盡管有限元模型相較于解析模型具備更高的分析精度，但由于該類模型的建立和求解均較為費時，故不適用于需要反復迭代的初始設計階段。相比之下，介于解析模型和有限元模型之間的多體動力學模型既能很好地反映行星輪系的質量集中特點，又能有效規避有限元模型的冗余繁雜，為行星輪系的動力學分析提供了新的解決方案。特別是隨著近年來一些商用軟件如Simpack、Virtual.lab、ADAMS、RecurDyn等的成功應用，采用多體動力模型對行星輪系進行動力學分析已成為行之有效的手段[17-19]。

有鑒于此，本文擬運用多體動力學方法，建立斜齒行星傳動的多體動力學模型，進而依托所建模型對輪系進行自由振動分析，并將分析結果與前人提出的解析模型的結果作對比，以驗證多體動力學模型的可靠性。在此基礎上，進一步開展斜齒行星輪系的動態響應和參數影響分析，以期為后續的動態設計與性能優化提供理論依據。

1 多體動力學建模

為方便建模并不失一般性，作如下假設：

(1) 忽略各齒輪體、系桿和箱體的柔性，將其按剛體處理；

(2) 計入各齒輪副的嚙合變形和各構件的支承變形，以具有等效剛度的線性時變/不變彈簧代替；

(3) 各齒輪副的嚙合力始終作用在嚙合平面內，并與理論接觸線垂直；

(4) 各嚙合輪齒間不存在脫齒和嚙入/嚙出沖擊；

(5) 不考慮原動機和負載的慣性；

(6) 各行星輪的質量、慣量和平均嚙合剛度均相同。

基于上述假設，建立如圖1所示的多體動力學模型。

圖1 斜齒行星傳動多體動力學模型

圖中，除箱體按固定件處理，其余構件均擁有6自由度。太陽輪和行星輪、行星輪和內齒圈之間以線性時變彈簧聯接，彈簧剛度取為相應齒輪副的嚙合剛度(詳見GB/T 3480—1997斜齒輪平均嚙合剛度的計算)。太陽輪、內齒圈及系桿與箱體之間、行星輪與系桿之間的聯接均以6自由度襯套代替，襯套各方向數值的計算可參見文獻[20]。篇幅所限，上述各剛度數值的計算不再詳列。

圖2為斜齒行星傳動的機構示意圖，為清晰計未示出系桿。定義全局坐標系O-XYZ，其中原點O取為輪系的幾何中心，X軸取為水平向右，Y軸取為垂直向上，Z軸由右手定則確定。在該坐標系下，各構件的彈性位移以qi表示，且有qi=[xi,yi,zi,uxi,uyi,uzi]T(i=s,r,c,1,2,…,N)，下標s、r、c、n(n=1,2,…,N)分別表示太陽輪、內齒圈、系桿和第n個行星輪。各符號的含義可參見文獻[3]。

圖2 斜齒行星傳動嚙合關系示意圖

根據圖2所示的幾何關系，不難推導出內、外嚙合副沿理論嚙合線的相對位移δsn、δrn。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中，ψsn=ψn-αs，ψrn=ψn+αr，ψn、αs、αr分別為第n個行星輪的位置角、外嚙合副嚙合角和內嚙合副嚙合角。

由多體動力學理論，系統的動能可寫成如下形式

(7)

式中，mi為各構件在全局坐標系下的質量。該式可進一步寫成如下矩陣形式

(8)

同樣不難給出系統的勢能表達式

(9)

上式同樣可寫成矩陣形式如下

(10)

進一步運用拉格朗日方程，可推導出系統的運動微分方程如下

(11)

式中，φ為系統的總體約束矩陣，F為系統外載荷列陣，φq為各構件彈性變形的Jacobian矩陣，μ、Ω為介于1～10間的罰系數[21]。限于篇幅，略去上述各矩陣元素及標量的具體推導過程。

2 動態特性仿真

不失一般性，以表1所示的參數為例進行斜齒行星輪系的動態特性仿真。設系統的輸入構件為太陽輪，輸出構件為系桿，內齒圈與機殼制為一體。

表1 斜齒行星傳動算例系統計算參數

2.1 自由振動分析

求解系統運動微分方程的特征值問題，即可獲知該類傳動的自由振動特性。取系統動力學參數如表1，行星輪數目分別取3、4、5時，可得系統各階固有頻率如表2所示。

根據系統特征值的重根數、中心構件的振型坐標以及各行星輪間振型坐標的比例等特點，可將系統振型劃分為3類，即：①軸向平移—扭轉振動模式；②徑向平移—扭擺振動模式；③行星輪振動模式。各類振型的特點簡述如下：

(1) 軸向平移—扭轉振動模式： ①各中心構件即太陽輪、系桿和內齒圈只有軸向平移振動和繞z軸的扭轉振動，其他方向上的振動均為零；所有行星輪的振型相同。 ②有11個特征值與此模式對應，且相應的特征值均為單根； ③各階固有頻率受行星輪個數影響，其中除零頻外，1、2階固有頻率隨行星輪個數增加而單調遞減，其他階次固有頻率均隨行星輪個數增加而單調遞增。

(2) 徑向平移—扭擺振動模式： ①各中心構件即太陽輪、系桿和內齒圈只有徑向的平移振動和繞x、y軸徑向扭擺振動，其他方向上的振動均為零； ②有12個特征值與此模式相對應，且相應的特征值均為2重根； ③ 各階固有頻率同樣受行星輪個數影響，其中除第1階固有頻率隨行星輪個數的增加呈先增后減趨勢外，第4階固有頻率隨行星輪個數增加而單調遞減，其他階次固有頻率均隨行星輪個數增加而單調遞增。

(3) 行星輪振動模式： ①各中心構件即太陽輪、系桿和內齒圈的扭轉、平移運動均為零，且各行星輪的位移為第1個行星輪位移乘以一個系數；②有6個特征值與此模式相對應，其中有5個只在行星輪個數N>3時出現，且重復率為N-3，另一個特征值在行星輪個數N=3時也存在，重復率為N-2。以上各特征值都不受行星輪個數影響。

表2 斜齒行星輪系固有頻率

為直觀計，圖3進一步給出了上述3種振動模式的振型示意圖。

圖3 斜齒行星傳動振動模式

將表2的仿真結果與采用文獻[2-3]的集中參數模型對比，可以發現在同等條件下，兩類模型所得的各階固有頻率和振型完全一致，表明本文所建模型的正確性，進而可依托該模型預估斜齒行星輪系的動態特性。

2.2 穩態動力學響應

不妨以表1所示的3行星輪系統為例，采用上述多體動力學模型分析系統的穩態動力學響應。設系統的輸入轉速恒為1 500 r/min，負載轉矩恒為400 N·m。

首先考察無誤差情況下，系統的動態嚙合力。圖4和5分別示出了行星輪系各外、內嚙合力及其對應的頻譜。

圖4 無誤差情況下輪系外嚙合動態載荷

圖5 無誤差情況下輪系內嚙合動態載荷

由圖4、圖5可知，太陽輪、內齒圈與3個行星輪的動態嚙合力變化規律大致相同，只是在數值和相位上略有差別。一個嚙合周期內，內、外嚙合力的變化顯著，說明系統在嚙合過程中存在一定的沖擊振動。進一步分析可知，上述動態嚙合力均圍繞831這一均值上下震蕩，而這一均值恰為均載條件下輪系靜態理論嚙合力。

而從嚙合力對應的頻譜圖可知，在1 152 Hz處有一條幅值突出的譜線，它恰好對應于系統的嚙頻。除此之外，其他幾條幅值較大的譜線正好對應嚙頻的倍頻。此點說明嚙頻激勵是引起斜齒行星輪系的主要激勵源，這也與前人的研究結論相吻合[3-4]。

3 參數影響分析

斜齒行星輪系的結構復雜，設計參數多，使得該類傳動的動態設計和性能優化較為困難。為此，采用靈敏度分析方法，考察系統設計參數對斜齒行星輪系動態特性的影響，希冀為后續系統的性能改善提供一定的理論參考。篇幅所限，下文僅給出構件支承剛度和行星輪周向誤差對輪系動態特性的影響規律。

3.1 構件支承剛度

為方便分析，不妨定義一個嚙合周期內各嚙合力的最大值與靜態均值的比例為載荷波動系數，并以符號χi表示。顯然，χi越大，表明輪系嚙合過程中的振動越強烈。

采用前述的多體動力學模型，進一步分析各構件支承剛度對載荷波動系數的影響。在進行靈敏度分析時，僅改變待分析參數，而保持其他參數不變。

圖6 太陽輪支承剛度對載荷波動系數的影響

分析結果表明，各中心構件的支承剛度對系統的均載特性影響顯著。隨著太陽輪、行星架、內齒圈支承剛度的增加，行星系統的載荷波動系數變大，表明系統的均載特性變差，振動加劇。這其中，太陽輪支承剛度對系統動態性能的影響最大，行星架次之，內齒圈影響最小。由此可見，降低中心構件的支承剛度有利于實現系統均載進而抑制振動。正是基于這一判斷，在斜齒行星輪系的工程應用中，可使太陽輪、行星架、內齒圈其中之一浮動，或同時浮動其中的二者，以降低傳動系統嚙合過程中的振動。限于篇幅，下文僅給出太陽輪支承剛度對載荷波動系數的影響規律。

3.2 行星輪周向安裝誤差

再來分析行星輪安裝誤差對系統動態特性的影響。行星輪安裝誤差可分為徑向誤差和分度誤差。研究表明，與分度誤差相比，行星輪徑向誤差對系統動態特性的影響很小[22]。故下文僅考慮行星輪分度誤差對系統動態特性的影響。為便于分析，不妨將行星輪分度誤差換算成與其等價的周向誤差來表征。以符號eci表示周向誤差，并將該誤差納入前述的多體動力學模型。通過求解含誤差的動力學模型，可獲知相關動力參數。篇幅所限，僅給出其中某一個行星輪(本例為行星輪2)含有35 μm的周向安裝誤差時(即ec2=35 μm)系統的動態嚙合力及其頻譜圖，其結果如圖7、圖8所示。

圖7 輪系外嚙合動態載荷(ec2=35 μm)

表3 周向安裝誤差對嚙合力的影響(嚙合力單位N)

圖8 輪系內嚙合動態載荷(ec2=35 μm)

進一步分析可知含不同誤差工況下系統的動態特性。為方便比較，將各工況下的動態嚙合力列表處理，其結果如表3所示。

由上述分析結果可知，行星輪周向安裝誤差極大地影響斜齒行星輪系的動態特性。就本例而言，周向安裝誤差的引入，改變了輪系內各嚙合副的動態嚙合力及各功率流的分配，使得含有誤差的行星輪所承擔的內、外嚙合力均值變小，同時使得其他行星輪的內、外嚙合力均值變大；由于周向安裝誤差使得各行星輪的嚙合力均值進一步偏離了其靜態理論值，從而使得系統內各嚙合力副的載荷波動系數增大，降低了系統的均載性能。進一步的數值分析表明，隨著誤差量的增大，存在周向安裝誤差的行星輪所在的功率支路的內、外嚙合力均值單調遞減，而其他功率支路的內、外嚙合力均值單調遞增。不僅如此，行星輪周向安裝誤差還會影響內、外嚙合副在嚙頻倍頻處的嚙合力。周向安裝誤差使各內、外嚙合力在部分嚙頻倍頻處的幅值增加，而在部分嚙頻倍頻處的幅值減小；且隨著周向安裝誤差量的增大，各功率支路的內、外嚙合力在嚙頻倍頻處的變化規律不盡相同。由此可見，斜齒行星輪系的動態特性受行星輪周向安裝誤差的影響顯著，在進行輪系設計、制造和安裝時，必須嚴格控制這一誤差環節，以降低系統振動提示傳動的動態性能。

4 結 論

(1) 建立了計入多種影響因素的斜齒行星傳動的多體動力學模型，并據此分析了傳動系統的自由振動特性，其仿真結果與前人的集中參數模型所得結果吻合，表明所建多體動力學模型能正確揭示斜齒行星傳動的動態特性。

(2) 快速求解了系統的穩態動力學響應，獲得了輪系各環節的動態載荷。仿真結果表明，無誤差情況下，輪系各嚙合副的動態載荷圍繞靜態理論嚙合力上下波動，且嚙頻激勵是引起系統振動的主要原因。

(3) 中心構件支承剛度對斜齒行星輪系的動態特性影響明顯。隨著中心構件支承剛度的增加，行星傳動的載荷波動系數單調遞增，系統動態特性變差。這其中，太陽輪支承剛度對系統動態性能影響最大，行星架次之，內齒圈影響最小。

(4) 斜齒行星傳動的動態特性對行星輪周向安裝誤差較為敏感。行星輪周向安裝誤差不僅改變各功率支路嚙合力的大小和分配情況，還改變了各嚙合副在嚙頻倍頻處的幅值。

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