穿孔管阻性消聲器橫向模態和聲學特性計算與分析

方 智, 季振林

(哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院,哈爾濱 150001)

穿孔管阻性消聲器具有較寬的消聲頻率范圍(尤其在中高頻段)和較低的流動阻力損失，在管道噪聲控制中被廣泛使用。數值方法[1-4]和解析方法[5-8]均被應用于研究此類消聲器的聲學特性。數值方法可以計算任意形狀橫截面的消聲器的消聲特性，但是對消聲器的尺寸和計算機的要求較高，一般需要的計算時間較長。解析方法所需的計算時間短，并且精度較高，但是只能計算橫截面形狀規則的消聲器(如圓形橫截面和矩形橫截面)。解析方法的另一個缺點在于它求解膨脹腔的橫向波數時需要解特性方程，無論采用正割線法[5-7]還是牛頓法[8-9]均容易產生丟根現象，并且需要的時間較長。為了同時避免數值方法和解析方法的缺點，本文使用數值模態匹配法求解任意形狀橫截面穿孔管阻性消聲器的傳遞損失。數值模態匹配法的基本思想為：應用二維有限元法求解消聲器管道和腔內的橫向模態，提取出本征波數和本征向量，進而得到消聲器橫截面的本征函數；利用模態匹配技術建立消聲器內聲壓和軸向質點振速的解析表達式，結合邊界條件和連續性條件以及本征函數的正交性，求出模態幅值系數，進而得到消聲器的傳遞損失。數值模態匹配法解決了解析方法丟根的困擾和對橫截面形狀的限制問題，由于只需要對橫截面劃分二維網格，因而所需要的時間也大為減少，并且能夠根據求出的本征模態分析高階模態的影響和平面波理論的適用范圍，具有明顯的優點。本文研究的目的在于：① 應用二維有限元法求解直通穿孔管阻性消聲器的橫向模態，利用模態匹配技術計算消聲器的傳遞損失；② 分別應用數值模態匹配法、三維有限元法以及實驗測量得到圓形同軸穿孔管阻性消聲器的傳遞損失，通過比較驗證本文數值模態匹配法的正確性；(3)分析孔徑、穿孔率、吸聲材料密度和穿孔管偏移對直通穿孔管阻性消聲器橫向模態和消聲特性的影響。

1 橫向模態求解的有限元法

圖1為任意形狀等截面直通穿孔管阻性消聲器示意圖，將其分為三個區域：進口管A、膨脹腔C和出口管E，對應的橫截面分別為S1、S3=S1+S2和S1。膨脹腔被穿孔管分為兩部分：C1和C2，對應的橫截面分別為S1和S2，C2內填充吸聲材料。

圖1 任意形狀等截面直通穿孔管阻性消聲器

以膨脹腔C為例，介紹數值模態匹配法的基本思想。C1和C2內簡諧聲場的控制方程為[10]

2p1(x,y,z)+k2p1(x,y,z)=0

(1)

(1)

消聲器的邊界條件可分成如下兩類。

(a) 剛性壁面邊界條件可以表示為

?p2/?n=0

(3)

(b) 穿孔表面邊界條件可以表示為[10]

(4)

(5)

利用歐拉方程，穿孔表面法向聲壓梯度表達式為

?p1/?n=-jρ0ωun

(7)

(8)

結合方程(4)和(7) 可以得到

(9)

結合方程 (4) 和 (8) 可以得到

(10)

方程(1)和(2)的解可以寫成[13]

(11)

式中pxy為橫向聲壓分量，i代表模態階數，A和B分別為沿z軸正反方向的模態幅值系數，kz為軸向波數。橫向聲壓pxy滿足以下方程[13]：

(12)

(13)

(14)

(15)

將表達式(11)代入邊界條件(3),(9)和(10)中得到

(16)

(17)

(18)

對于任意形狀的橫截面，方程(12)和(13)需要使用數值方法，例如二維有限元法[14]。

在橫截面S1內, 將加權殘數法和格林方程以及邊界條件應用于方程(12)得到

(19)

式中，

分別為對應于橫截面S1的廣義剛度矩陣、質量矩陣和穿孔阻抗矩陣，下腳標 “e”代表單元。

相似地，在橫截面S2內有

(20)

式中,K2，M2以及Z2分別為橫截面S2的廣義剛度矩陣、質量矩陣和穿孔阻抗矩陣。N為廣義形函數的列向量，p1和p2分別為橫截面S1和S2上節點聲壓組成的列向量。

結合式 (19)和式(20)得到:

(21)

為了方便地求解方程(21)，引入軸向波數，得到如下方程

(22)

求解方程(22)可以得到膨脹腔內的軸向波數和對應的本征向量。

對于進出口管道的橫截面，由于不含有穿孔表面，所以表達式(22)可以簡化為

(23)

消聲器內的橫向聲壓分量可以表示為

(24)

式中φi和(Φxy)i分別代表第i階模態的幅值系數和橫向本征向量。

于是，聲壓可以改寫成

(25)

式中Ψi(x,y)=NT(Φxy)i為本征函數。

2 模態匹配法

結合進出口所在截面的連續性條件和邊界條件，利用本征函數的正交性，建立模態幅值系數之間的關系，進而可求出穿孔管消聲器的傳遞損失。

考慮如圖1所示的消聲器，每個區域內的聲壓和軸向質點振速可以表示成如下形式。

在區域A，E內(I=A,E)：

(26)

(27)

式中，在區域A內z′=z，在區域E內z′=z-L。

在區域C內：

(28)

UC,z=

(29)

進出口橫截面上的聲壓和軸向質點振速的連續性條件和邊界條件可以表示為，

PC(z=0)=PA(z=0),(x,y)∈S1

(30)

(31)

PC(z=L)=PE(z=L),(x,y)∈S1

(32)

(33)

在進出口橫截面上，將聲壓和質點振速表達式代入到連續性條件和邊界條件式(30)-式(33)中，并且在方程兩邊同時乘以相應積分面上的本征函數并積分，得到

(34)

(35)

(36)

(37)

式中，

ΨCiΨCjS3=ΨCiΨCjS2

利用本征函數的正交性有，

ΨiΨjΨiΨj

(38)

(39)

3 算例及分析

為了驗證本文方法和編寫的計算程序的正確性，首先應用數值模態匹配法計算如圖2所示的圓形同軸直通穿孔管阻性消聲器(δ=0)的傳遞損失，并與三維有限元法計算結果以及實驗測量結果進行比較。消聲器的具體尺寸為：膨脹腔直徑和長度分別為d=164.4 mm，L=257.2 mm，進出口管道直徑為d=49 mm，穿孔管壁厚為tw=0.9 mm，聲速取344 m/s，δ為進出口的偏移量。吸聲材料為玻璃絲綿，其特性聲阻抗和復波數的表達式為[11]：

密度為100 g/L:

(40)

(41)

密度為200 g/L:

(42)

(43)

式中,z0=ρ0c0為空氣的特性聲阻抗。在以下的分析以及3.1節，3.2節和3.4節的分析中，吸聲材料的密度均為100 g/L。

圖2 圓形同軸直通穿孔管阻性消聲器

圖3為取不同模態數時圓形同軸直通穿孔管阻性消聲器的傳遞損失計算結果比較，其中穿孔率為φ=8.4%，孔徑為dh=2.49 mm。由于消聲器為軸對稱結構，只有徑向模態能被激發，圖3中給出的是徑向模態數，為了與下文模態數N區分，這里用Nr表示徑向模態的階數。為估算在所計算的頻率范圍內消聲器能激發的橫向模態階數，根據計算的最高頻率3 200 Hz估算出最大的橫向波數為k=2πf/c=58.42。激發頻率為3 200 Hz時，消聲器的第1階徑向模態對應的Re(kxy)為36.18，第二階徑向模態對應的Re(kxy)為63.10，由此可以粗略判斷在3 200 Hz以內只有第一階徑向模態為可傳播的模態；第二階徑向模態不可傳播(為耗散模態)，對消聲器的聲學特性影響較小。從傳遞損失曲線上也可以看出，取前兩階徑向模態和前三階徑向模態時傳遞損失曲線完全重合，所以在所關心的頻率范圍內，計算此結構消聲器的傳遞損失取前兩階徑向模態即可保證計算精度。相似地，下文中消聲器取不同孔徑和穿孔率以及不同的填充密度時，模態階數對計算精度的影響分析與此相似，由分析結果得到計算本文同軸穿孔管阻性消聲器時取前兩階徑向模態均可保證計算精度，所以在本文計算中，所有同軸消聲器的傳遞損失曲線中均取Nr=2。

圖3中Nr=0表示沒有考慮高階模態的影響，即一維平面波計算結果。一維平面波理論只有在平面波區域即消聲器的平面波截止頻率以下適用，高于截止頻率，一維結果與三維結果出現偏差。由此可以大致地判定一維平面波理論的適用范圍。

圖3 模態階數對圓形同軸直通穿孔管阻性消聲器傳遞損失的影響

圖4給出了使用數值模態匹配法和三維有限元法計算得到的消聲器傳遞損失和實驗測量結果[15]的比較。實驗測量結果是應用兩負載方法在B&K阻抗管測量裝置上測量得到。測量過程中聲源位置不動，改變出口的邊界條件。聲源由阻抗管套件中的信號發生器模塊產生，出口的兩個邊界條件分別通過在出口處安裝吸聲材料和完全開口來獲得。可以看出，數值模態匹配法計算結果與有限元法計算結果在整個頻段內吻合很好，兩種方法計算結果與實驗測量結果在高頻段產生偏差。產生偏差的原因有可能是吸聲材料填充不夠均勻，穿孔阻抗公式和吸聲材料的等效表達式在高頻不夠精確所致。良好的吻合證明了數值模態匹配法計算穿孔管阻性消聲器聲學特性的正確性。

為了進一步驗證數值模態匹配法的適用性和正確性，圖5比較了方形截面結構消聲器的傳遞損失結果。消聲器的尺寸與圖2中圓形截面結構消聲器的尺寸相同，橫截面面積相等。圖5中數值模態匹配法計算結果與有限元結果吻合較好，從而進一步驗證了數值模態匹配法的適用性和正確性。

3.1 孔徑的影響

圖6為應用數值模態匹配法計算得到的兩種孔徑下直通穿孔管阻性消聲器的傳遞損失。可以看出，孔徑較小的消聲器高頻消聲量高于孔徑大的消聲器，而在中頻的消聲量略低于孔徑大的消聲器，孔徑對消聲器低頻的消聲效果幾乎沒有影響。

圖6 不同孔徑直通穿孔管阻性消聲器傳遞損失比較

表1給出了穿孔率為8.4%，孔徑分別為2.49 mm和4.98 mm時消聲器橫截面的前兩階徑向模態的形狀和對應的Re(kxy)。可以看出，孔徑越大，相同階次的模態對應的橫向波數的實部數值越小，說明第一階徑向模態越早被激發，消聲器內三維波出現的越早，即消聲器的平面波區域越窄。

表1 不同孔徑穿孔管阻性消聲器橫向模態比較

圖7給出了穿孔率為8.4%時，孔徑分別為0.62 mm、1.25 mm、2.49 mm、3.74 mm、4.98 m、7.47 mm和9.96 mm幾種情況下計算得到的第一階模態對應的橫向波數的實部數值Re(kxy)。可以看出，在同樣穿孔率下，孔徑越大，第一階模態對應的Re(kxy)越小。

圖8則比較了應用數值模態匹配法計算得到的不同孔徑時直通穿孔管阻性消聲器的傳遞損失結果。可以看出，孔徑增大，傳遞損失曲線中的峰值向低頻方向移動，高頻消聲效果變差，而中頻消聲效果變好。

3.2 穿孔率的影響

圖9比較了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%和8.4%時直通穿孔管阻性消聲器的傳遞損失。可以看出，穿孔率為2.1%的直通穿孔管消聲器在中低頻出現了共振峰，消聲特性較好，但是，在高頻的消聲量則遠遠低于穿孔率為8.4%的消聲器。

表2給出了孔徑為2.49 mm，穿孔率分別為2.1%和8.4%時前兩階徑向模態形狀以及對應的Re(kxy)。可以看出，穿孔率增大，相同階次模態對應的橫向波數的實部數值 增大，因而消聲器的平面波截止頻率升高。

表2 不同穿孔率穿孔管阻性消聲器橫向模態比較

圖10給出了孔徑為2.49 mm時，穿孔率分別為2.1%、4.2%、8.4%、16.8%、25.7%、40%以及穿孔率為100%的極限狀況時計算得到的第一階模態對應的橫向波數的實部數值Re(kxy)。可以看出，在同一孔徑下，穿孔率越大，第一階模態對應的Re(kxy)越大，穿孔率大于40%以后穿孔率對第一階模態對應的Re(kxy)的影響較小。

圖11為應用數值模態匹配法計算得到的不同穿孔率時直通穿孔管阻性消聲器的傳遞損失。可以看出，穿孔率升高，傳遞損失曲線中的峰值向高頻移動，消聲器中低頻的消聲量降低，高頻的消聲量升高，穿孔率大于40%以后，穿孔率對傳遞損失的影響很小，尤其是在中低頻，傳遞損失曲線幾乎重合。

圖9 不同穿孔率直通穿孔管阻性消聲器傳遞損失比較

3.3 吸聲材料密度的影響

圖12比較了不同吸聲材料密度下消聲器的傳遞損失。可以看出，在250 Hz以下，吸聲材料對消聲器的聲學特性幾乎沒有影響，這是因為吸聲材料對低頻聲波的吸聲能力較弱，消聲器主要以抗性衰減為主。高于250 Hz，吸聲材料填充密度大的消聲器的消聲量遠高于填充密度小的消聲器。填充密度越大，傳遞損失曲線中峰值頻率越低，整體消聲效果越好。

圖12 吸聲材料密度對穿孔管阻性消聲器消聲特性的影響

表3 吸聲材料密度對穿孔管阻性消聲器橫向模態的影響

表3給出了有無吸聲材料填充時消聲器的橫向模態。對于抗性消聲器(填充密度為0)，聲波主要是通過來回反射被衰減掉，中低頻消聲特性與簡單膨脹腔相似。對于阻性消聲器，聲波引起吸聲材料的振動，將聲能轉換成熱能而被衰減掉。吸聲材料密度越大，消聲器內第一階徑向模態對應的Re(kxy)越大，消聲器有效的平面波區域越寬。

3.4 穿孔管偏移的影響

由于安裝空間的限制，非同軸穿孔管阻性消聲器(如圖13所示)在工程中也被廣泛使用，由于數值模態匹配法不受幾何形狀的限制，因而可用于計算這類消聲器的橫向模態和傳遞損失，從而為工程設計提供有實用價值的分析方法。

圖13 圓形非同軸直通穿孔管阻性消聲器

為了確定計算穿孔管偏移的阻性消聲器的傳遞損失時需要的模態階數，圖14和圖15分別給出了δ=25 mm和δ=50 mm的消聲器在取不同模態階數時的傳遞損失。與同軸結構的分析相似，對于穿孔管偏移25 mm的消聲器，第8階高階模態對應的Re(kxy)為47.08，而第9階高階模態對應的Re(kxy)為58.42，說明在3 200 Hz范圍內，前8階高階模態是可傳播的模態，而第9階以后的模態為耗散模態，對消聲器的聲學特性的影響隨著模態階次的升高逐漸變小。圖14中，取N=13與N=14時得到的傳遞損失曲線完全吻合，說明在3 200 Hz范圍內第13階以上的高階模態對消聲器傳遞損失的影響可以忽略不計，所以在3 200 Hz范圍內取N=13可以保證計算精度。同理，對于穿孔管偏移50 mm的消聲器，計算傳遞損失時取前13階模態即可。

圖16比較了穿孔管偏移對消聲器傳遞損失的影響，同時也比較了數值模態匹配法計算結果與有限元結果。兩種計算結果的吻合驗證了數值模態匹配法計算穿孔管偏移阻性消聲器聲學特性的正確性。穿孔管的偏移量對消聲器消聲性能的影響與頻率相關。在低頻區域，穿孔管的偏移對消聲器的消聲量幾乎沒有影響；而在中頻區域，偏移量越大，消聲器的消聲效果越差；在高頻偏移量最大的消聲器則展現出最好的消聲效果。

圖14 模態階數對不同軸穿孔管阻性消聲器(δ=25 mm)傳遞損失的影響

表4比較了穿孔率為8.4%，孔徑為2.49 mm，穿孔管分別偏移δ=0，δ=25 mm和δ=50 mm時穿孔管消聲器的前三階橫向模態。由于同軸消聲器只能激發徑向模態(第三階高階模態)，所以同軸結構的平面波截止頻率高于穿孔管偏移結構的消聲器。

表4 穿孔管偏移對穿孔管阻性消聲器橫向模態的影響

4 結 論

應用二維有限元方法求解任意形狀橫截面的直通穿孔管阻性消聲器的橫向模態，利用數值模態匹配技術求解消聲器的模態幅值系數，進而計算得到消聲器的傳遞損失。對于圓形同軸穿孔管阻性消聲器的傳遞損失，數值模態匹配法計算結果與三維有限元法計算結果以及實驗測量結果吻合良好，從而驗證了本文數值模態匹配法計算穿孔管阻性消聲器消聲特性的準確性。進而應用數值模態匹配法計算并分析了穿孔孔徑、穿孔率、吸聲材料密度和穿孔管偏移對圓形直通穿孔管阻性消聲器消聲特性和橫向模態的影響。計算結果表明，孔徑、穿孔率、吸聲材料密度和穿孔管偏移對消聲器聲學特性的影響是與頻率相關的；孔徑越大，消聲器的平面波有效范圍越窄，中頻消聲效果越好，消聲器高頻消聲效果越差；穿孔率越高，消聲器的平面波截止頻率越高，中頻消聲量越低，而高頻消聲量越高。穿孔率高于40%，穿孔率對消聲器的聲學特性影響較小，尤其在中低頻。吸聲材料的密度越高，消聲器中高頻的消聲效果越好。穿孔管的偏移量在不同的頻段內對消聲器的消聲效果影響不同。

參 考 文 獻

[1]Peat K S，Rathi K L. A finite element analysis of the convected acoustic wave motion in dissipative silencers [J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 184(3): 529-545.

[2]Selamet A,Lee I J, Huff N T. Acoustic attenuation of hybird silencers [J]. Journal of Sound and Vibration, 2003, 262: 509-527.

[3]Ji Z L, Boundary element analysis of a straight-through hybird silencer [J]. Journal of Sound and Vibration, 2006, 292: 415-423.

[4]Ji Z L, Boundary element acoustic analysis of bybird expansion chamber silencers with perforated facing [J]. Engineering analysis with boundary element, 2010, 34: 690-696.

[5]Selamet A, Xu M B, Lee I J. Analytical approach for sound attenuation in perforated dissipative silencers. [J]. Journal of Acoustical Society of America. 2004, 115(5):2091-2099.

[6]Selamet A, Xu M B, Lee I J. Analytical approach for sound attenuation in perforated dissipative silencers with inlet/outlet extension [J]. Journal of Acoustical Society of America. 2005, 117(4):2078-2089.

[7]Denia F D, Selamet A, Fuenmayor F J, et al. Acoustic attenaution performance of perforated dissipative mufflers with empty inlet/outlet extensions [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 302: 1000-1017.

[8]Kirby R. Simplified techniques for predicting the transmission loss of a circular dissipative silencer [J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 243: 403-426.

[9]Kirby R, Denia F D. Analytic mode matching for a circular dissipative silencer containing mean flow and a perforated pipe [J]. Journal of Acoustical Society of America. 2007, 122: 3471-3482.

[10]Munjal M L. Acoustics of ducts and mufflers [M]. Wiley-Interscience, New York, 1987.

[11]徐貝貝，季振林.穿孔管阻性消聲器聲學特性的有限元分析[J].振動與沖擊，2010, 29(3): 58-62.

XU Bei-bei, JI Zhen-lin. Finite element analysis of acoustic attenuation performance of perforated tube dissipative silencers[J], Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(3): 58-62.

[12]Ji Z L, Fang Z, On the acoustic impedance of perforates and its application to acoustic attenuation predictions for perforated tube silencers[C]. Inter-noise 2011, Osaka, Japan, September, 201.

[13]Morse P M, Ingard K U. Theoretical acoustics[M]. Princeton University Press, Princeton, (1986).

[14]方智，季振林，穿孔管消聲器橫截面模態及消聲特性的有限元分析[J]，振動與沖擊，2012, 31(17): 190-194.

FANG Zhi, JI Zhen-lin. Finite element analysis for cross-sectional modes and acoustic attenuation characteristics of a perforated tube silencer[J]. Journal of vibration and shock, 2012, 31(17): 190-194.

[15]Lee I. Acoustic characteristics of perforated dissipative and hybrid silencers[D]. PH. D thesis. The Ohio State University, Columbus, American, 2005.