時滯對典型二階振蕩系統穩定性的影響

張 勇， 王 寧

(中國石油大學 信息與控制工程學院，青島 266580)

凡以二階微分方程作為運動方程的控制系統，稱為二階系統。在控制工程中，不僅二階系統的典型應用極為普遍，而且不少高階系統的特性在一定條件下可用二階系統的特性來表征。因此，著重研究二階系統的分析和計算方法，具有較大的實際意義[1-3]。

控制系統的閉環穩定性是系統分析和設計所需解決的首要問題，Nyquist穩定判據是一種常用的頻域穩定判據，其特點是根據開環系統的頻率特性曲線判定閉環系統的穩定性。由于其在使用上非常方便和直觀，在系統穩定性研究中得到了廣泛的應用[4-6]。

目前，國際上對時滯與穩定性相關問題的研究， 一般只考慮時滯對系統性能的負面影響，認為時滯越小，系統性能越好。給出的研究結果只能保證時滯本身在小于某個上界時才能滿足系統的某些性能指標。這種研究思想只適合時滯相對較小的情形，結果仍是比較保守的[7-9]。Abdallah等[10]提出時滯的正反饋控制可以穩定化具有振蕩特性的系統。此研究結果表明，在一定條件下，時滯對系統性能具有正面影響。隨后，胡海巖等[11]運用Routh-Hurwitz穩定判據和廣義Sturm判別法，討論了含待定參數的高階時滯動力系統的穩定性切換問題，在時滯動力系統的穩定性與分岔方面做了大量的研究工作。在此基礎上，唐功友[12]運用Nyquist穩定判據和坐標變換方法，研究了彈簧-質量-阻尼器機械位移系統的最大穩定裕度時滯比例控制器的設計問題，實現了主動利用時滯反饋控制鎮定振蕩系統的目的。

關于時滯對典型二階振蕩系統的穩定性是否具有正面作用這一議題，本文進行了全面細致的穩定性分析，分別討論了閉環系統為單位負反饋和單位正反饋兩種情形下時滯對控制系統性能的影響。通過繪制相對阻尼系數在不同取值區間的Nyquist曲線，得出了時滯與閉環系統穩定性的關系，并針對各種情況進行了單位階躍響應的實例仿真。

1 二階振蕩系統描述

考慮如下一類含有時滯的閉環控制系統

圖1 閉環控制系統結構

其中：R(s)表示參考信號，C(s)表示輸出信號，U(s)表示控制信號，k>0為比例控制器增益，τ≥0為信號傳輸時滯對控制系統的綜合效應，Gp(s)為具有二階系統標準形式的被控對象。

(1)

其中：ωn>0表示無阻尼振蕩頻率，ζ表示相對阻尼系數。

系統的開環傳遞函數可以表示為

(2)

其頻率特性為

(3)

2 負反饋穩定性分析

當閉環控制系統采用單位負反饋時，系統的閉環傳遞函數可以表示為

(4)

當τ=0時，閉環系統的特征方程為

(5)

其特征根為

(6)

由代數穩定判據可以得到此時閉環系統穩定的充要條件是ζ>0。

以下我們分析當τ>0時閉環系統的穩定性。

1) 當ζ=0時，開環傳遞函數在右半s平面無極點，由Nyquist穩定判據可知閉環系統穩定的充要條件

是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(-1,j0)。

系統的開環傳遞函數可以表示為

(7)

其頻率特性為

(8)

圖2 負反饋ζ=0時系統的Nyquist曲線

由于開環傳遞函數包含兩個積分環節，為了便于分析我們可以從與頻率0+對應的點開始逆時針方向補畫1/2個半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內Nyquist曲線繞臨界點(-1,j0)順時針轉過一圈，所以此時無論我們如何選取k和τ的值，系統都不穩定。

取ωn=1,k=1,τ=1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖3所示。

圖3 負反饋ζ=0時系統的單位階躍響應

2) 當ζ<0時，開環傳遞函數在右半s平面有一個極點，由Nyquist穩定判據可知閉環系統穩定的充要條件是Nyquist曲線逆時針包圍臨界點(-1,j0)一圈。

系統開環傳遞函數的幅頻特性為

(9)

系統開環傳遞函數的相頻特性為

(10)

由于開環傳遞函數包含一個積分環節，我們可以從與頻率0+對應的點開始逆時針方向補畫1/4個半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內Nyquist曲線繞臨界點(-1,j0)順時針轉過兩圈，所以此時無論我們如何選取ζ，k和τ的值，系統都不穩定。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=-1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖5所示。

3) 當ζ>0時，開環傳遞函數在右半s平面無極點，由Nyquist穩定判據可知閉環系統穩定的充要條件是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(-1,j0)。

(11)

(12)

此時系統的Nyquist曲線如圖6所示。

由于開環傳遞函數包含一個積分環節，我們可以從與頻率0+對應的點開始逆時針方向補畫1/4個半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實軸有對稱性，可見當Nyquist曲線與實軸的交點小于等于-1時，系統不穩定，當Nyquist曲線與實軸的交點大于-1時，系統穩定。

當系統不穩定時，由:

(13)

可以求得Nyquist曲線與以坐標原點為圓心的單位圓的交點頻率為

(14)

由式(10)我們可以得到，此時如下不等式成立

(15)

基于此我們可以求出系統不穩定時τ的取值范圍為

(16)

上式左右兩邊的不等式是等價的。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖7所示。

取ωn=1,k=1,τ=4,ζ=1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖8所示。

圖6 負反饋ζ>0時系統的Nyquist曲線

3 正反饋穩定性分析

當閉環控制系統采用單位正反饋時，我們通過研究下式的Nyquist曲線對閉環系統進行穩定性分析。

(17)

其頻率特性為

(18)

系統的閉環傳遞函數可以表示為

(19)

當τ=0時，閉環系統的特征方程為

(20)

其特征根為

(21)

由代數穩定判據可以得到，此時無論我們如何選取ζ的值，系統都不穩定。

以下我們分析當τ>0時閉環系統的穩定性。

1) 當ζ=0時，開環傳遞函數在右半s平面無極點，由Nyquist穩定判據可知閉環系統穩定的充要條件是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(-1,j0)。

Nyquist曲線的繪制函數可以表示為:

(22)

其頻率特性為

(23)

由于開環傳遞函數包含兩個積分環節，我們可以從與頻率0+對應的點開始逆時針方向補畫1/2個半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內Nyquist曲線繞臨界點(-1,j0)順時針轉過一圈，所以此時無論我們如何選取k和τ的值，系統都不穩定。

取ωn=1,k=1,τ=1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖10所示。

2) 當ζ>0時，開環傳遞函數在右半s平面無極點，由Nyquist穩定判據可知閉環系統穩定的充要條件是Nyquist曲線不包圍或穿越臨界點(-1,j0)。

Nyquist曲線繪制函數的幅頻特性為:

(24)

Nyquist曲線繪制函數的相頻特性為:

(25)

圖9 正反饋ζ=0時系統的Nyquist曲線

由于開環傳遞函數包含一個積分環節，我們可以從與頻率0+對應的點開始逆時針方向補畫1/4個半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內Nyquist曲線繞臨界點(-1,j0)順時針轉過兩圈，所以此時無論我們如何選取ζ，k和τ的值，系統都不穩定。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖12所示。

3) 當ζ<0時，開環傳遞函數在右半s平面有一個極點，由Nyquist穩定判據可知閉環系統穩定的充要條件是Nyquist曲線逆時針包圍臨界點(-1,j0)一圈。

(26)

(27)

此時系統的Nyquist曲線如圖13所示。

由于開環傳遞函數包含一個積分環節，我們可以從與頻率0+對應的點開始逆時針方向補畫1/4個半徑無窮大的圓。又由于Nyquist曲線相對實軸有對稱性，可見在ω∈(-∞,+∞)范圍內Nyquist曲線繞臨界點(-1,j0)順時針轉過兩圈或不圍繞，也可能順時針穿越臨界點，所以此時無論我們如何選取ζ，k和τ的值，系統都不穩定。

取ωn=1,k=1,τ=1,ζ=-1時，閉環系統的單位階躍響應曲線如圖14所示。

圖12 正反饋ζ=1時系統的單位階躍響應

4 結 論

時滯是整個控制領域中普遍存在的現象。在眾多考慮時滯效應的研究工作中，控制系統的穩定性以及失穩機制是兩個基礎性的研究問題。本文針對被控對象具有二階系統標準形式的一類振蕩系統進行了穩定性分析，分別討論了閉環系統為單位負反饋和單位正反饋時，時滯對控制系統性能的影響。

分析結果表明對于這種如圖1所示結構的典型二階振蕩系統，時滯對該閉環控制系統的穩定性是不具有正面作用的。由于被控對象具有二階系統標準形式，所以本文的研究具有普遍的意義，并為進一步分析和研究更復雜結構的時滯控制系統打下了基礎。

參 考 文 獻

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