基于變胞并聯機構的多維隔振研究

牛軍川, 楊 峰, 李 勇

(山東大學 機械工程學院 高效潔凈機械制造教育部重點實驗室,濟南 250061)

在諸如車輛、船艦、潛水艇和航天器等機械設備中存在大量的振動和沖擊，它們嚴重影響著機械設備的工作性能和壽命[1]，必須對其采取行之有效的隔振措施。然而，由于這些機械設備一般都在變環境和變工況條件下工作，并且其振動一般都為多維振動，傳統的隔振理論、隔振技術和隔振系統在解決這類隔振問題時存在很多的缺陷。在這中間，最重要的缺陷是傳統的隔振理論是基于傳統的線性隔振系統，其動力學特性不能隨著激勵和外界環境的變化而改變，另外，由于傳統的隔振系統采用諸如橡膠等傳統隔振器直接安裝于振源與接受體之間，工程上一般是針對沿隔振器軸線方向的振動進行隔振設計，因此也不能很好滿足實際工程中對多維振動進行隔離的要求。

近些年來，隨著并聯機構的發展，有些學者已經開始應用一些比較簡單的并聯機構減振平臺進行多維振動的隔離，獲得了一些結果，結果表明，這些并聯機構在隔離多維振動方面有著較好的效果[2-5]。然而，傳統的并聯機構在制造、安裝完成以后，其機構尺寸和拓撲結構就已固定，其自由度和工作空間亦不能調整，因此也就難以適應工作條件的變化，致使其應用范圍受到了限制[6]。1998年，在第25屆ASME機構學與機器人學雙年會上Dai等人正式提出了變胞機構的概念，該類機構具有高度可縮性和可展性，可改變桿件數、自由度以改變機構拓撲圖，為隔離變工況、變環境的多維振動提供了一種全新的思路。

救護車等在崎嶇路面上行駛、啟停、拐彎等操作過程中，會使擔架系統存在前后、左右、上下甚至是俯仰等多維振動，為實現擔架系統的多維振動控制，本文通過引入一個變胞鉸鏈，給出了一種新穎的變胞機構，該變胞能轉化為3自由度的并聯機構或者是4自由度的并聯機構。這里將該變胞機構用作多維減振平臺的主體機構，推導了其運動學和動力學方程，研究了其動力學特性和隔振特性。

1 隔振平臺模型

如圖1所示，為某一可變胞并聯機構，這里將其作為多維隔振平臺的主體機構。該機構由上、下兩個平臺組成，一般上平臺為動平臺，下平臺為靜平臺。該機構的連桿系統有三條支鏈，每條支鏈為一個操作器。這里，在上平臺鉸鏈A3處引入一個變胞運動rT鉸鏈[8]，如圖2所示，該鉸鏈有兩種配置：① 當rT鉸處于第一配置時，如圖2(a)所示，rT鉸存在兩種轉動，也就是軸1與y方向平行，可轉動，軸2與x方向平行，該軸亦可轉動；② 當十字軸繞軸1轉動至圖2(b)所示形位時，軸2和z方向平行，則rT鉸處于第二配置時，rT鉸只存在一種轉動，也就是軸1仍舊與y方向平行，可轉動，軸2則不再與x方向平行，該軸的轉動被固定。

用C表示圓柱副，R表示轉動副，則圖1中A1，B1，C1為圓柱副，A2，B2，C2、B3，C3為轉動副，A3為rT鉸。當rT鉸處于第一形位時，A3為A31和A32兩個轉動副的復合，當rT鉸處于第二形位時，A3只存在一個A32轉動副。容易看出，圖1的變胞并聯機構有兩個CRR操作器和一個CRrT操作器三條支鏈。

分析和自由度計算表明，當rT鉸取第一配置，則變胞機構處于第一形位，變胞機構等價于一個3-CRR并聯機構，該機構具有3個平移自由度。當rT鉸取第二配置時，則變胞機構處于第二形位，該變胞機構等價于一個CRU-2CRR并聯機構，該機構有三個平移自由度和一個轉動自由度。第一和第二配置的相互轉換可以根據環境和工況要求通過自動或手動設置實現。

圓柱副A1和B1、轉動副C1和A31被用作機構的主動副，主動副和固定平臺之間用彈簧阻尼器系統連接，如圖1所示。

圖1 變胞并聯機構模型

圖2 rT鉸的配置

2 運動學和動力分析

2.1 運動學

如圖1所示，將系統的全局坐標o-xyz放在下平臺上，上平臺的局部坐標放在P點上，機構配置及其尺寸等都在圖中進行了標注。

根據圖1所示動力學模型及其幾何配置關系，如果rT處于圖2(a)所示的第一配置，則如上所述，機構為第一形位，機構為一具有四自由度的CRU-2CRR并聯機構。這里設定A1、B1為主動移動副和C1、A31為主動轉動副，這時，如果給定參數a1、b1、γ1和θ1，可容易得到該并聯機構的運動學正解表達式如下:

(1)

對式(1)求關于時間t的導數，則可得上平臺參考點P的速度為

(2)

(3)

那么，第一階運動影響系數G1可以用下面的表達式來計算

(4)

這里F1={f1,f2,f3,f4)，d1={a1,b1,l1,θ1}。

類似地，如果rT鉸取圖2(b)所示的第二配置，則變胞機構處于第二形位，機構變為一三自由度的3-CRR機構，其正運動學方程式為

(5)

從式(5)容易看出，式(5)僅是式(1)的一個特例，或者說只需設θ1=0，則式(1)就立即退化為式(5)，這時，鉸鏈A3就變成了A32，軸2的轉動2被固定，但軸1的轉動1仍舊被保留，如圖2所示。因此，3-CRR機構是CRU-2CRR機構的退化機構，簡單起見，在下面的分析中只給出第一形位即CRU-2CRR機構的分析和方程。

2.2 動力學

本文研究的機構的是一個復雜的非線性動力學系統，因此對其動力學分析和固有頻率求解是非常復雜的。另外，由于上平臺質量遠比連桿和滑塊的質量大，簡單起見，這里把連桿和滑塊等的質量忽略掉，只考慮可動的上平臺質量。采用如下的Langrage方程

(6)

推導CRU-2CRR機構的動力學支配方程。這里si是廣義坐標，T是動能，V是勢能，D是阻尼損耗因子，Γi是沿或繞si方向的廣義力，i=1,2,…,n。計算系統的動能和勢能并將其帶入式(6)中，則得系統第一形位的動力學方程為

(7)

式中:s1為上平臺參考點P的廣義坐標，Γ1系統的廣義力矢量，M1,C1,K1為全局系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。系統的質量矩陣為

M1=diag(mp,mp,mp,Ix)

(8)

這里mp是上平臺質量，Ix是上平臺繞x軸的轉動慣量。系統的阻尼矩陣為

(9)

(10)

根據式(4)和式(10)，容易知道K1隨上平臺位置的改變而變化，因此式(7)是一個非線性方程，當上平臺處于某一瞬時位置時，相應地系統存在瞬時固有頻率。換句話說，如果上平臺在某一位置做微幅振動，可以通過求解式(7)獲得系統在這一位置的固有頻率。

為了獲得減振機構的固有頻率，忽略阻尼影響，將一組簡諧解帶入式(7)，可以得到系統的特征方程為

(11)

求解式(11)可以得到系統在這一位置的所有的固有頻率ωni(i=1,2,3,4)。

上面求解的過程是基于變胞機構第一形位或者CRU-2CRR機構，根據兩形位之間的關系，容易知道，只需把第一形位的機構的4×4維G1,M1,C1,K1等矩陣的最后一行和最后一列去掉，變成3×3維矩陣，則系統為第二形位，式(7)亦退化為第二形位或者3-CRR機構的支配方程。

3 仿真和分析

當變胞機構處于第一形位，即為CRU-2CRR并聯機構時，機構的尺寸參數取為：a2=a3=b2=b3=l2=l3=13 cm，l1=l4=20 cm，a4=10 cm，b4=12 cm，上平臺質量為5 kg，上平臺繞x軸的轉動慣量為5 kg·m2。參考點P的坐標為(xp,yp,zp,αp)=(0, 0, 13, 0)。

在點O和A1之間、O和B1之間安裝拉壓彈簧，彈簧剛度分別為k1=8 000 N/m和k2=2 000 N/m。另外，在鉸鏈C1和A31上安裝扭轉彈簧，彈簧剛度分別為k3=900 N·m/rad和k4=5 000 N·m/rad。根據靜力平衡條件可知，當上平臺參考點P處于(0, 0, 13, 0)時，上平臺處于靜平衡位置，且上平臺平行于下平臺。

3.1 模態分析

模態分析時，下平臺是靜平臺，上平臺是動平臺。根據式(11)，可以得到機構處于第一形位時機構的四個模態陣型及其相應的四個固有頻率，也就是CRU-2CRR的四個固有模態。按照上面的討論，僅需要縮減式(7)中各矩陣的相應維數，再進行特征方程的求解，便可以得到3-CRR系統的三個固有頻率和固有陣型。兩個機構的固有頻率及其固有陣型列于表1中。

表1 3-CRR和 CRU-2CRR機構的模態

容易看出，CRU-2CRR機構有沿x，y，z方向的三個平動自由度和一個繞x軸的轉動自由度，這個轉動自由度在3-CRR機構中消失。CRU-2CRR機構的固有模態陣型如圖3所示。從圖3和表1中可知，CRU-2CRR機構的第二階模態幾乎是沿x方向的純平動，該模態與其它方向的振動不耦合，其它三個方向的模態則不是沿(或繞)某坐標軸的純平動(或轉動)，它們之間存在輕微耦合。對于變胞機構的第二形位，或者3-CRR并聯機構，只存在如圖3(a)、(b)和(d)所示的三個模態，相應的固有頻率如表1中所示。

圖3 第一形位時系統的模態陣型

3.2 振動隔離

為了驗證建立的變胞并聯減振平臺的隔振效果，采用Matlab和Adams基于CRU-2CRR機構進行仿真研究。這里假設激勵來自于下平臺的運動，這時下平臺被放開，所加的速度激勵函數為0.001sin(200 t)，分別施加在下平臺沿x，y，z方向和繞x軸方向上。表2給出了上、下平臺加速度的最大值和有效值(均方根)。可以看到，上平臺的加速度有效值相比下平臺有較大的降低，可見，多維隔振平臺在隔離多維振動方面具有較好的隔振效果。

從時間歷程上，作為例子，僅考慮下平臺z方向的激勵和振動，z方向的上、下平臺的加速度如圖4所示。在圖中明顯可以看出，上平臺的振動加速度比下平臺的振動加速度有較大的降低。從上面的頻域和時域分析易得，本文變胞并聯機構的兩個形位對隔離來自下平臺的振動有很好效果。

同樣的仿真和分析表明，該并聯機構可以隔離來自下平臺的各個方向的多維振動。并且可以通過進一步的研究得到每個振動方向上使系統隔振有效的最小頻率，如表3中所示。從表中可知，最小頻率和固有頻率的頻率比大約等于1.414，這個結果類似于傳統單自由度隔振系統中的結論。

表2 上下平臺的加速度

表3 激勵頻率、固有頻率及其頻率比

圖4 在z方向上的下平臺和上平臺加速度時間歷程

圖5 在下平臺施加速度激勵時上平臺的速度響應

圖5是在下平臺施加速度激勵時上平臺的速度響應。從圖中可得如下結論：① 如果下平臺也是運動的，對比圖5峰值和表1數值，由于耦合，系統的固有頻率將會有所偏移；② 在第一個彈簧上即A1處施加阻尼c1=50 N·m/s，速度頻率響應幅值將會降低；③ 在第二個彈簧上即B1處施加c2=50 N·m/s的阻尼，阻尼對z方向振動幾乎沒有影響；④ 在第三個彈簧上即C1處施加c3=20 N·m/s的阻尼，扭轉彈簧的阻尼對降低速度振幅具有很好的作用，特別是對第二個峰值，該峰值完全被抑制，然而隨著頻率的增加，隔振效果則變壞。

4 結 論

引入了一個變胞運動的rT鉸鏈，在并聯機構的基礎上綜合出了一種變胞并聯機構。將該變胞機構作為多維隔振系統的隔振主體，在選定的主動副處安裝彈簧阻尼系統，構建了可變胞并聯機構減振平臺，該變胞機構可以通過調整rT鉸的配置或形位，使變胞并聯機構在3-CRR和CRU-2CRR機構之間相互轉化。

給出的變胞并聯減振機構為振動控制提供了一種新的思路和策略。通過對系統的模態、動力學特性和隔振效果的研究表明：① 所給并聯機構的固有頻率隨動平臺的位置的變化而改變；② 可以通過設定合適的參數調節固有頻率，從而可以使激勵頻率避開固有頻率，抑制振動；③ 所給變胞并聯機構在兩個形位上都可以實現較好的隔振效果，它可以隔離兩種工況的多維振動。

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