應用Microsoft Excel軟件計算漸開線圓柱齒輪尺寸的研究

李孝明LI Xiao-ming

（中煤科工集團重慶研究院有限公司，重慶400039）

0 引言

漸開線圓柱齒輪是機械傳動中的重要零件，被廣泛應用于各種機械行業。在齒輪的設計與制造過程中，都會涉及到大量的齒輪幾何尺寸計算和齒厚的測量計算。翻開《機械設計手冊》就會發現，齒輪的幾何尺寸和齒厚的計算公式很多，尤其是計算跨測齒數K和公法線長度W，以及計算圓棒中心所在圓的壓力角αM，計算工作量非常之大，其繁雜程度令人頭暈腦脹，稍微不小心就會出錯。為了保證得到的計算數據正確，一般還會復核計算1～2遍。因此，使用一般的函數計算器來計算，要耗費大量的時間，同行們一定會有同感。那么，在沒有齒輪設計軟件的情況下，利用什么手段來提高我們的工作效率、減輕勞動強度呢？于是想到了應用非常普遍的Excel軟件。本文就將具體的應用方法介紹給大家，供同行們借鑒。

1 漸開線圓柱齒輪幾何尺寸的計算

漸開線圓柱齒輪幾何尺寸的計算，一般都是根據需要和強度計算后選定齒輪參數：齒形角αn，齒頂高系數h※an，徑向間隙系數 cn※，模數 mn，齒數 z，變位系數 xn，螺旋角 β，然后代入相應的公式計算即可。

應用Excel軟件計算漸開線圓柱齒輪幾何尺寸，則是先將需要計算的幾何尺寸的公式，按Excel軟件的語法輸入并保存。在使用時，只需輸入相關參數便可立刻獲得所需要的尺寸。下面以高變位齒輪傳動計算為例加以說明：

1.1 計算表格設計 將齒輪的參數、所需要的幾何尺寸和測量尺寸，按照自己的喜好設計計算表，如圖1所示。

1.2 輸入幾何尺寸計算公式 查閱《機械設計手冊》漸開線圓柱齒輪傳動的幾何計算章節，就可以查找到幾何尺寸的計算公式，如小齒輪的分度圓直徑公式為：

圖1

式中d1為分度圓直徑，mn為模數，z1為齒數，cosβ為分度圓螺旋角余弦（β單位為弧度）。下面將式（1）輸入Excel表，如圖2所示。

圖2

現在將參數填入表中，假設 mn=2，z1=19，β=12°，只需按回車鍵，d1=mnz1/cosβ的計算結果立刻出現，如圖3所示。

齒輪的其余幾何尺寸計算，參照d1的計算方法進行即可，不再贅述。

2 圓棒（球）跨距M值的計算

圖3

在加工內齒輪時，為了保證齒側間隙，必須通過測量齒厚來控制。由于測量內齒輪公法線沒有合適的量具，所以一般都采用測量M值。以偶數齒為例，其計算公式為：

式中mt為端面模數，計算式為：

αt為端面壓力角，計算式為：

dp為圓棒（球）直徑，其值為：

αMt為圓棒（球）中心所在圓的壓力角，計算式為：

將式（3）、（4）、（5）代入式（2）計算，相對還是比較簡單，但是式（6）計算就比較煩瑣，尤其是當按式（6）等號右端計算完畢invαMt=C為已知常數時，如何快速計算出αMt是問題的關鍵，其原因是目前使用的函數計算器沒有這樣的功能；常規的方法是查漸開線函數表，遺憾的是這種方法速度慢、精度低。能否運用Excel軟件計算，中途人不參與，直接由 invαMt=C 計算出 αMt，并代入式（2）計算，一氣呵成得到M值呢？Excel軟件也沒有這樣的功能。但是，只要找到已知invαMt求解αMt的公式，問題就迎刃而解了。下面就作具體介紹：

首先，根據漸開線函數公式invα=tgα-α，通過回歸擬合就可得到已知invα值求解α的近似公式：

由式（7）計算得到的α值的單位為弧度。對于invα≤0.1，也就是α≤36°時，由式（7）計算得到的弧度值化為角度，其誤差小于1″，精度已滿足工程上使用了。

其次，將式（2）～式（7）按 Excel軟件的語法輸入并保存。為了簡化公式輸入的繁雜程度和檢查輸入的正確性，可在Excel計算表中增加過渡計算式，令：

則式（6）、式（7）分別變為：

按式（8）和式（9）輸入或者檢查，相對方便很多，詳見圖4。

3 跨測齒數K和公法線長度W的計算

跨測齒數K和公法線長度W的計算，可參照以上圓棒（球）跨距M值的計算方法進行，令過渡計算式為：

則跨測齒數K和公法線長度W的計算公式分別為：

將過渡計算式和式（10）和式（11）輸入Excel計算表即可使用，如圖4所示。圖中Z’、H、J、W’、△W’等的下標1和2，分別與Z1和Z2對應。

圖4

4 Excel計算表使用技巧說明及注意事項

4.1 由于圓棒（球）跨距M值、跨測齒數K和公法線長度W的計算公式很復雜，按Excel軟件的語法輸入極易出錯，而且不便檢查輸入的正確性，所以采用增加過渡計算式的方法，可以大大簡化復雜程度；

4.2 跨測齒數K必須是整數，但是計算值一般均帶有小數，所以可用ROUND四舍五入語法獲取整數，就不需要人為中途參與取整而中斷軟件的連續計算；

4.3 為了保證輸入Excel計算表的公式正確無誤，可以用《設計手冊》中的例題，或者正確的設計圖樣中給出的參數和尺寸加以驗證；

4.4 為了確保計算表的正確性，防止誤操作修改了計算公式，建議將正確的計算表備份，同時每次計算完畢后不要“保存”。這樣，即使誤操作修改了計算公式，也不需要重新核對其正確性，只需退出頁面重新打開，即可恢復正確的計算表。

5 結論

在沒有齒輪設計軟件的情況下，應用Excel軟件來計算各種齒輪的幾何尺寸和測量尺寸，可以使復雜計算簡單化，而且快速高效。

[1]機械設計手冊（第二版）[M].化學工業出版社，1982.

[2]蔡加生.用函數計算器求反漸開線函數[J].機械制造，1986.

[3]倪振松,邢濟收.計算機視覺技術在齒輪測量中的應用研究[J].微計算機信息，2007(07).