“從石頭里看風景”

周衛東

除了國家課程規定的數學課本上的學習內容外，還有怎樣的內容也可以作為“課程”進入學生的學習視野呢？

我一直在思考，也一直在探索。直到這一天，班上一位名叫許諾的學生寫了一篇數學日記，使我看到了努力的方向——

從三角形到橢圓

2013年4月8日 星期一 晴

今天，周老師給大家出了一道練習題：有兩根小棒，分別長14厘米和12厘米，可以把其中的一根剪成兩段，然后圍成一個三角形，有幾種不同的圍法？

大家討論后，我們對這道題形成了如下統一的想法：（1）不能把12厘米長的小棒作為截斷對象，只能剪14厘米長的小棒，因為14厘米>12厘米，無法形成三角形；（2）拆分14厘米長的小棒時，分成“1+13”厘米不能圍成三角形，就變成一條重疊的線段了，因為1+12=13（厘米）；（3）假如只考慮整數，就有6種可能，（12，2）、（11，3）、（10，4）、（9，5）、（8，6）、（7，7）；（4）如果考慮小數，就有若干種可能。

回家后，我進一步思考：可以用一根12厘米長的小木棍和一條14厘米長的軟繩子來做模擬實驗。

先把繩子兩頭固定在木棍兩端（A與B），然后用筆圈住繩子畫曲線，這條曲線上的每個點C到木棍兩端的距離之和就是AC+BC=14（厘米）。所以說，這條曲線上所有的點都是我們要尋找的答案。

如果把整條曲線完整地畫出來，我驚奇地發現是一個橢圓！

在此基礎上，本題的解題方法可以用圖形來很直觀地解答：可以以A點為圓心，畫直徑不同的圓，圓和橢圓的交點就是我們要找的目標點。如上圖所示：畫半徑為4厘米的圓，和橢圓在C點相交。將C點分別與A、B兩點連線，AC=4厘米，BC=10厘米。圖中實線所示，就是我們要尋找的三角形。

是不是很神奇啊？

我完全被許諾同學奇特的想法驚呆了！

第二天，我把這則日記在班上介紹后，引來了陣陣嘖嘖的贊嘆聲。我趁熱打鐵：“同學們，一般情況下，我們只是滿足于一般的結論，很少有人再往前跨一步。許諾同學能從一般的內容里找到不一般的發現，能從看上去已經解決了的問題中找到解決問題的新思路，這種學習就好比‘在石頭里看到了風景，真難得呀！”

隨后，學生表達了強烈的興趣，他們紛紛發言：“老師，我們以后也要學會從石頭里看風景！”“老師，以后如果我們在石頭里看到了風景，也能在班上介紹嗎？”“老師，我建議把班上所有從石頭里看到的風景都匯編起來！”……

我的興奮難以抑制；“同學們，你們的建議太好了！以后就按大家的建議來做，讓我們共同努力，行嗎？”

其實，我沒告訴學生，這種內容就是一種“微型課程”雛形。

…………

一年過去了，屬于我們四（6）班的“微型課程”已經編撰完成，而且有一個形象的名字——“石頭里看風景”。里面收錄著《最強大腦誕生記》《解決生活小難題：倒油》《巧算紅薯體積》《6的倍數的特征》《3的倍數再認識》等五十多篇小文章。

翻看著這本裝幀并不精美、內容還很幼稚的“書本”，學生愛不釋手，因為他們知道：這是屬于他們自己的“課本”。

是的，基于普通的教學內容，基于常態的教學過程，引導學生把他們非常規的思維、獨特的思路、具有創造性的想法、個性化的設計、不一般的發現、不尋常的數學探索經歷等內容訴諸文字（體裁不限），定期加以整理并形成序列，可以用來復習鞏固、拓展延伸、思維訓練，也可以作為數學閱讀的素材。這樣的內容，正是一種實用的、鮮活的數學“微型課程”。這種“課程”，問題發端于學生，內容整理于學生，最終服務于學生。這種“課程”，才是真正意義上源于學生、為了學生、學生自己的課程。

（作者單位：南京師范大學附屬小學）

除了國家課程規定的數學課本上的學習內容外，還有怎樣的內容也可以作為“課程”進入學生的學習視野呢？

我一直在思考，也一直在探索。直到這一天，班上一位名叫許諾的學生寫了一篇數學日記，使我看到了努力的方向——

從三角形到橢圓

2013年4月8日 星期一 晴

今天，周老師給大家出了一道練習題：有兩根小棒，分別長14厘米和12厘米，可以把其中的一根剪成兩段，然后圍成一個三角形，有幾種不同的圍法？

大家討論后，我們對這道題形成了如下統一的想法：（1）不能把12厘米長的小棒作為截斷對象，只能剪14厘米長的小棒，因為14厘米>12厘米，無法形成三角形；（2）拆分14厘米長的小棒時，分成“1+13”厘米不能圍成三角形，就變成一條重疊的線段了，因為1+12=13（厘米）；（3）假如只考慮整數，就有6種可能，（12，2）、（11，3）、（10，4）、（9，5）、（8，6）、（7，7）；（4）如果考慮小數，就有若干種可能。

回家后，我進一步思考：可以用一根12厘米長的小木棍和一條14厘米長的軟繩子來做模擬實驗。

先把繩子兩頭固定在木棍兩端（A與B），然后用筆圈住繩子畫曲線，這條曲線上的每個點C到木棍兩端的距離之和就是AC+BC=14（厘米）。所以說，這條曲線上所有的點都是我們要尋找的答案。

如果把整條曲線完整地畫出來，我驚奇地發現是一個橢圓！

在此基礎上，本題的解題方法可以用圖形來很直觀地解答：可以以A點為圓心，畫直徑不同的圓，圓和橢圓的交點就是我們要找的目標點。如上圖所示：畫半徑為4厘米的圓，和橢圓在C點相交。將C點分別與A、B兩點連線，AC=4厘米，BC=10厘米。圖中實線所示，就是我們要尋找的三角形。

是不是很神奇啊？

我完全被許諾同學奇特的想法驚呆了！

第二天，我把這則日記在班上介紹后，引來了陣陣嘖嘖的贊嘆聲。我趁熱打鐵：“同學們，一般情況下，我們只是滿足于一般的結論，很少有人再往前跨一步。許諾同學能從一般的內容里找到不一般的發現，能從看上去已經解決了的問題中找到解決問題的新思路，這種學習就好比‘在石頭里看到了風景，真難得呀！”

隨后，學生表達了強烈的興趣，他們紛紛發言：“老師，我們以后也要學會從石頭里看風景！”“老師，以后如果我們在石頭里看到了風景，也能在班上介紹嗎？”“老師，我建議把班上所有從石頭里看到的風景都匯編起來！”……

我的興奮難以抑制；“同學們，你們的建議太好了！以后就按大家的建議來做，讓我們共同努力，行嗎？”

其實，我沒告訴學生，這種內容就是一種“微型課程”雛形。

…………

一年過去了，屬于我們四（6）班的“微型課程”已經編撰完成，而且有一個形象的名字——“石頭里看風景”。里面收錄著《最強大腦誕生記》《解決生活小難題：倒油》《巧算紅薯體積》《6的倍數的特征》《3的倍數再認識》等五十多篇小文章。

翻看著這本裝幀并不精美、內容還很幼稚的“書本”，學生愛不釋手，因為他們知道：這是屬于他們自己的“課本”。

是的，基于普通的教學內容，基于常態的教學過程，引導學生把他們非常規的思維、獨特的思路、具有創造性的想法、個性化的設計、不一般的發現、不尋常的數學探索經歷等內容訴諸文字（體裁不限），定期加以整理并形成序列，可以用來復習鞏固、拓展延伸、思維訓練，也可以作為數學閱讀的素材。這樣的內容，正是一種實用的、鮮活的數學“微型課程”。這種“課程”，問題發端于學生，內容整理于學生，最終服務于學生。這種“課程”，才是真正意義上源于學生、為了學生、學生自己的課程。

（作者單位：南京師范大學附屬小學）

除了國家課程規定的數學課本上的學習內容外，還有怎樣的內容也可以作為“課程”進入學生的學習視野呢？

我一直在思考，也一直在探索。直到這一天，班上一位名叫許諾的學生寫了一篇數學日記，使我看到了努力的方向——

從三角形到橢圓

2013年4月8日 星期一 晴

今天，周老師給大家出了一道練習題：有兩根小棒，分別長14厘米和12厘米，可以把其中的一根剪成兩段，然后圍成一個三角形，有幾種不同的圍法？

大家討論后，我們對這道題形成了如下統一的想法：（1）不能把12厘米長的小棒作為截斷對象，只能剪14厘米長的小棒，因為14厘米>12厘米，無法形成三角形；（2）拆分14厘米長的小棒時，分成“1+13”厘米不能圍成三角形，就變成一條重疊的線段了，因為1+12=13（厘米）；（3）假如只考慮整數，就有6種可能，（12，2）、（11，3）、（10，4）、（9，5）、（8，6）、（7，7）；（4）如果考慮小數，就有若干種可能。

回家后，我進一步思考：可以用一根12厘米長的小木棍和一條14厘米長的軟繩子來做模擬實驗。

先把繩子兩頭固定在木棍兩端（A與B），然后用筆圈住繩子畫曲線，這條曲線上的每個點C到木棍兩端的距離之和就是AC+BC=14（厘米）。所以說，這條曲線上所有的點都是我們要尋找的答案。

如果把整條曲線完整地畫出來，我驚奇地發現是一個橢圓！

在此基礎上，本題的解題方法可以用圖形來很直觀地解答：可以以A點為圓心，畫直徑不同的圓，圓和橢圓的交點就是我們要找的目標點。如上圖所示：畫半徑為4厘米的圓，和橢圓在C點相交。將C點分別與A、B兩點連線，AC=4厘米，BC=10厘米。圖中實線所示，就是我們要尋找的三角形。

是不是很神奇啊？

我完全被許諾同學奇特的想法驚呆了！

第二天，我把這則日記在班上介紹后，引來了陣陣嘖嘖的贊嘆聲。我趁熱打鐵：“同學們，一般情況下，我們只是滿足于一般的結論，很少有人再往前跨一步。許諾同學能從一般的內容里找到不一般的發現，能從看上去已經解決了的問題中找到解決問題的新思路，這種學習就好比‘在石頭里看到了風景，真難得呀！”

隨后，學生表達了強烈的興趣，他們紛紛發言：“老師，我們以后也要學會從石頭里看風景！”“老師，以后如果我們在石頭里看到了風景，也能在班上介紹嗎？”“老師，我建議把班上所有從石頭里看到的風景都匯編起來！”……

我的興奮難以抑制；“同學們，你們的建議太好了！以后就按大家的建議來做，讓我們共同努力，行嗎？”

其實，我沒告訴學生，這種內容就是一種“微型課程”雛形。

…………

一年過去了，屬于我們四（6）班的“微型課程”已經編撰完成，而且有一個形象的名字——“石頭里看風景”。里面收錄著《最強大腦誕生記》《解決生活小難題：倒油》《巧算紅薯體積》《6的倍數的特征》《3的倍數再認識》等五十多篇小文章。

翻看著這本裝幀并不精美、內容還很幼稚的“書本”，學生愛不釋手，因為他們知道：這是屬于他們自己的“課本”。

是的，基于普通的教學內容，基于常態的教學過程，引導學生把他們非常規的思維、獨特的思路、具有創造性的想法、個性化的設計、不一般的發現、不尋常的數學探索經歷等內容訴諸文字（體裁不限），定期加以整理并形成序列，可以用來復習鞏固、拓展延伸、思維訓練，也可以作為數學閱讀的素材。這樣的內容，正是一種實用的、鮮活的數學“微型課程”。這種“課程”，問題發端于學生，內容整理于學生，最終服務于學生。這種“課程”，才是真正意義上源于學生、為了學生、學生自己的課程。

（作者單位：南京師范大學附屬小學）