小學數學教學中“循環論證”邏輯錯誤案例及分析

陳曉燕

邏輯錯誤是指思維過程中違反形式邏輯規律的要求和邏輯規則而產生的錯誤，如“偷換概念”、“偷換論題”、“自相矛盾”、“循環論證”等。小學數學教學中，由于部分教師邏輯學知識比較欠缺，教學中往往犯了典型邏輯錯誤，自己卻毫無認識。筆者曾就聽課過程中遇到的循環論證現象，與所有參與聽課的教師進行探討，結果是：能發現執教教師犯了循環論證謬誤的老師非常少。這不得不令人對小學數學教學質量甚感擔憂。

循環論證是指用來證明論題的論據本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤，簡單說，就是用假設證假設。本文通過兩個典型課例，探討小學數學教學中循環論證的不妥之處，期望引起廣大小學數學教師的重視，教學中避免此類現象的發生。

課例一： 乘法分配律

小學數學教學中，運算定律這一類課的教學一共有以下內容：加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律以及整數運算定律推廣到小數、分數。

從教材編排（人教版）可以看出，這一類課教學的思路基本一致，即：情境引出具體算式——計算得出兩組算式結果相等——觀察算式，初步感知規律——學生自己舉例并分別計算——觀察所有算式，發現規律——表述規律——應用規律。

在實際教學中，教師往往在“計算得出兩組算式結果相等”以及“學生自己舉例并分別計算”兩個環節中出現邏輯錯誤。下面以乘法分配律（圖1）為例具體說明。

一位教師的教學過程如下：

1. 通過情境，分別引出算式：（4+2）×25、 4×25+2×25

2. 分別計算，發現結果相等，板書（4+2）×25？塋 4×25+2×25

3. 引導學生觀察等號兩邊的算式有什么相同點和不同點，初步感知乘法分配律的形式及結構。

4. 學生自由舉例。

……

進行到此環節，乘法分配律還沒有形成，要求學生舉例，無非是兩個目的：一是讓學生對乘法分配律的含義及數學結構表達式有更清楚的了解和認識，以便下一環節學生能初步總結出乘法分配律的含義及正確表達；二是增加更多的實例，讓規律的得出更合理、更有說服力（至少對于學生而言更有說服力）。在此，需要特別說明一下，在小學數學教學中，發現規律這類課（包括找規律、運算律）的教學，所采用的基本都是不完全歸納法。所謂不完全歸納法，即以某類對象中個別的或特殊的部分對象具有（或不具有）某種屬性為前提，推出該類事物具有（或不具有）該屬性的一般結論的推理方法。在乘法分配律這一課中，（4+2）×25 = 4×25+2×25以及學生所舉的例子（算式）都是個別對象，一般結論是指（a+b）×c = a×c+b×c。由于不完全歸納法沒有窮舉考察對象的全體，因此它的結論屬于似真推理，嚴格來說，其結論的正確性需要進一步證明。但是考慮小學階段學生的接受能力和認知水平有限，教材并沒有作此要求。只是用不同形式表達了讓學生舉出更多實例的要求（圖2），因為運用不完全歸納法時，一類對象被考察的個別對象越多，范圍越廣，結論的可靠性就越大。在乘法分配律一課中，教材沒有安排讓學生舉例，但是《教師教學用書》卻特別說明：學生完成“想一想”后，可以讓他們再舉出一些類似的例子。

回到剛才所說的讓學生舉例的環節，通過以上分析，我們應該明白：讓學生舉例是為了得到更多的具體算式（個別對象），讓學生能從較多的算式中找到共同點（某種屬性），即乘法分配律。也就是說，在此環節，乘法分配律并沒有得出（還只是一個假設），更不能運用。更具體地說，學生舉例的時候，思維順序應該是：分別寫出（a+b）×c和a×c+b×c這樣結構的兩道算式，然后通過計算，得出兩個算式結果相等，才能在兩道算式中間添上“=”；或者先寫上“=”，然后分別計算，確認其結果相等，或者用其他方式說明其結果相等，例如：用乘法的意義。與此同時，教師在聽學生匯報并板書學生的例子時，也應該按以上思維順序進行。但是，在實際教學中，筆者多次聽這節課，多次都發現以下現象。

現象一：學生“用結論證結論”

舉例環節，部分學生所寫算式通常從左寫到右，如：（6+8）×9 = 6×9+8×9 ……。學生之所以這樣寫，說明他們已經把“（a+b）×c = a×c+b×c”當成正確的結論，即已經默認它是正確的，是可以運用的。也就是說，學生這樣做，其實質已不是舉例來進一步證明結論，而是在運用結論，已經犯了循環論證的邏輯錯誤。筆者每次聽這一類課，到此環節，一定會走到學生中去，了解學生最真實的思維過程，每次都會發現班上有部分孩子不計算，直接從左寫到右。

現象二：教師“默認”“用結論證結論”

如果說，學生犯循環論證的錯誤是“情有可原”——想偷懶（不計算）、邏輯思維不成熟等。那么，教師會怎樣處理呢？部分教師是這樣處理的：

1. 選擇有代表性的例子，讓學生板書在黑板上（或學生說，教師板書）；

2. 學生從左至右依次板書（或教師按照學生說的過程從左至右依次板書）；

3. 觀察所有算式，找相同點；

4. 總結規律，形成結論。

不難看出，以上教學，教師默認了學生的思維錯誤。課后，本人找執教教師訪談，或者與所有聽課教師交流，發現造成這一現象的原因主要有兩方面：一是教師自身根本沒有意識到邏輯錯誤所在，即自身本體性知識的缺失；二是部分教師只重知識的教學，忽略思維方法的引導。部分教師表示，當時感覺似乎有點不妥，但是急于想得出結論，也就沒太在意，一帶而過了。

也許以上教師沒有意識到：培養學生嚴謹、科學的研究態度以及符合邏輯的思維方式，遠比得到一個結論、記住一個知識點重要。不說長遠，僅就小學數學而言，此類課占有一定課時數和學習量，其學習方式和思路也基本一致，因此，筆者建議：教師應該在這一類課的起始課，即加法交換律的教學時，做好充分的研究和設計，注意思維方法和學習方式的滲透和培養，為學生學習這一類課打好基礎。

課例二：平行四邊形的面積

“平行四邊形的面積”一課的教學，通常都會安排數方格（圖3）環節。

數方格計算面積，其作用有以下幾點：一是可以直觀計量，且基于學生原有認知和經驗（學生在學習長方形、正方形的面積計算時已經使用過）；二是暗示了長方形和平行四邊形兩者之間的聯系；三是通過數據，可以為學生猜想平行四邊形面積計算公式提供依據（或者為證明猜想提供例證）。基于以上分析，我們可以知道，數方格的教學，是為探索平行四邊面積計算公式所進行的必要的鋪墊，但無論如何：此環節沒有得出公式，更不可能運用公式。然而，聽課中，筆者多次在此環節遇到以下問題：

教師布置數方格任務，學生開始獨立或小組合作數方格，完成表格填寫。

此時，筆者觀察到：學生填寫表格時，通常只數“底（長）”和“高（寬）”的數據，面積的數據則通過計算得出。以下是筆者和學生的對話：

筆者：××同學，平行四邊形的面積是24平方厘米，你怎么知道的？

生：算的，6×4=24。

筆者：為什么用6×4呢？

生：6是底，4是高，底乘高。

筆者：你認為用底乘高就可以算出平行四邊形的面積？

生：嗯！

以上是學生在認知上存在的思維邏輯。形成這種認知有以下幾種情況：一是學生已經先學，明確知道平行四邊形的面積計算公式是底乘高；二是受前面環節“猜想”的影響，把“猜想”當成了結論；三是受長方形面積計算的影響，直接進行遷移！不管是哪種情況，在這里，學生始終沒有明白的思維邏輯是：平行四邊形的面積計算公式需要通過自我探索、證明才能形成結論。對于學生的這一思維邏輯，教師又是如何處理的呢？以下是匯報環節的教學片斷（學生數方格之后，教師組織匯報交流）：

師：誰來說說數的結果？

生：我發現平行四邊形的底是6厘米，高是4厘米，面積是24平方厘米。

師：長方形呢？

生：長方形的長是6厘米，寬是4厘米，面積是24平方厘米。

師：同學們，你們數的和他一樣嗎？

生：一樣。

師：對的，非常好！那你們觀察一下表格中的數據，有什么發現？

生：我發現：平行四邊形的面積等于底乘高。

……

很顯然，以上片段教師并沒有糾正學生的思維過程。那么，教學中該如何處理比較妥當呢？筆者建議：一是學生匯報后，教師要強調并確認面積是數出來的。可以在學生匯報的基礎上，問學生：大家都數了吧？我們一起數一數。然后帶著學生，通過課件演示，重數一次。第二，糾正個別學生的邏輯錯誤。利用課堂生成資源（如果怕傷害學生自尊，也可以虛擬一個人物），將采用計算得到面積的思維暴露給學生，讓學生自己辨析，在辨析中明確問題所在，最后得到正確思維方法。

以上兩個課例中提到的邏輯錯誤，是筆者在多年聽課中經常遇到的問題，期望通過以上分析，能讓教師建立正確的認識，避免此類問題重復發生。在教學中，其他邏輯錯誤同樣存在，如以偏概全、偷換概念等。在此，也呼吁教師多了解和學習邏輯學知識，提高自身素養，在教學中注意遵循教學的序、知識的序、思維的序，幫助學生建立正確的思維方式和邏輯結構。

責任編輯 羅 峰