線性時滯系統的穩定性分析

孫 鳳 琪

（吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000）

線性時滯系統的穩定性分析

孫 鳳 琪

（吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000）

利用Lyapunov穩定性理論及矩陣分析方法，對線性時滯控制系統進行穩定性分析，通過范數有界不確定參數矩陣的限制，給出了系統穩定的新的充分性判據.該方法不需要系統分解和降階技術，所得結果均用線性不等式形式給出，可應用于標準和非標準的時滯奇異攝動系統的穩定性分析中.

奇異攝動系統；時滯系統；不確定系統；穩定性分析；線性矩陣不等式；Lyapunov－Krasovskii泛函

考慮非線性時變時滯不確定控制系統模型：

其中f，g∈Rn是滿足f（0，t）＝0，g（0，t）＝0的未知時變非線性函數，表示模型中的參數攝動或不確定性，滿足如下線性限定條件：

其中α，β是已知的正常數界，其他條件與文獻［5］中的相應系統相同.

引理1［6］假設X，Y為定常實矩陣，則

其中Q＞0為對稱正定矩陣.

引理2［6］設X，Y為向量，則式（3）變為

特別地，當Q＝ε時，矩陣不等式2XTY≤ε－1XTX＋εYTY成立.

1 主要結果

取f（x（t），t）＝（A＋DFE1）x（t），g（x（t－d（t）），t）＝（Ad＋DFEd）x（t－d（t）），＝0，＝0，則系統（1）變為如下線性系統：

其中P＞0，Q＞0，P1＞0，P2＞0是適當維數的正定矩陣.則V（xt）即為正定的Lyapunov－Krasovskii泛函.將V（xt）沿系統（5）的軌跡微分，得

“＊”表示對角位置處矩陣的轉置，

為消除不確定性，將式（9）進行如下變換：

其中：Π＝P（A＋Ad）＋（A＋Ad）TP＋Q＋τ（λ1α＋λ2β）I；Σ＝P（DFE1＋DFEd）＋（DFE1＋DFEd）TP.

由文獻［5］中引理4.1知，存在η＞0，使得矩陣不等式M＜0，等價于

式（10）對于變量P，Q，λ1，λ2和是線性的，即為式（7）.證畢.

在系統（5）中，令E1＝0，Ed＝0，得：

推論1 系統（5）是漸近穩定的當且僅當存在對稱正定矩陣Q＞0，P＞0及常數λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，使其滿足矩陣不等式：

此即為正常系統的穩定性條件［8－9］.

此外，在條件（8）中，令P1＝0，P2＝0，即得相應的時滯獨立穩定性判據：

定理2 如果存在對稱正定矩陣Q＞0，P＞0及常數λ1＞0，λ2＞0和~η＞0，滿足下列矩陣不等式：

則系統（5）是漸近穩定的，其中：“＊”表示對角位置處矩陣的轉置；

綜上所述，本文研究了一類帶有時變時滯不確定線性系統的魯棒穩定性問題.采用Newton－Leibniz公式［8］，將離散時滯轉變為分布時滯.通過構造一種新的Lyapunov泛函，應用引理2的放大方法，得到一種新的時滯依賴和時滯獨立穩定性判據.該方法對系統不確定性的限制結構更具體，對加權矩陣的特殊選取使得魯棒穩定性判據描述為線性矩陣不等式形式.與文獻［6，9］相比，具有一定的優越性和可行性.該方法不需要系統分解和降階技術，所得結果均用線性矩陣不等式形式給出，可利用現有優化方法對求解相關問題［9－12］提供理論參考，該方法也適用于標準和非標準情形下時滯系統的穩定性研究.

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（責任編輯：趙立芹）

Stability Analysis of Linear Time－Delay Control System

SUN Fengqi
（College of Mathematics，Jilin Normal University，Siping136000，Jilin Province，China）

The author considered the stability problem of linear singularly perturbed systems with time－delay.Under the norm bounded uncertain matrix constraints，a new sufficient stability criterion was proposed by Lyapunov stability theory and matrix analysis method.This method is expressed in terms of linear matrix inequalities that does not require the system decomposition and reduction technique.Thus，the method is simple and feasible，which can be applied to both standard and nonstandard singularly perturbed systems with time－delay.

singularly perturbed systems；time－delay system；uncertain system；stability analysis；linear matrix inequality（LMI）；Lyapunov－Krasovskii functional

O232

A

1671－5489（2014）04－0709－06

0 引言與預備知識

隨著被控制對象復雜性程度的逐步提高及控制技術的不斷發展，對控制精確性的要求也越來越高.系統能否正常運轉取決于系統的穩定性狀態，而各種方法推導出的穩定性判據，其優越性程度是決定系統穩定的重要因素.

對于線性時滯系統控制問題的研究目前主要有兩種方法：頻域法和時域法.頻域法需要系統分解和降階技術，或采用較復雜的Riccati方程去近似求解，只能解決定常系統的魯棒性問題，而對于不確定系統的穩定性研究具有很大的局限性.時域法也稱為狀態空間法，即用Lyapunov穩定性理論研究系統的絕對穩定性［1－3］，由于對不同Lyapunov泛函的選取決定最終穩定性條件的保守性大小，所以如何尋找新的穩定性判據、改善穩定性條件及降低系統保守性是本領域研究的重點.文獻［3］給出了時滯系統的保性能魯棒穩定性問題，但未涉及到時變時滯的情形；文獻［4］給出了一類具有多個時變時滯的非線性系統的保性能魯棒穩定性問題，但未同時考慮系統的不確定性.本文采用矩陣分析方法，利用Lyapunov穩定性理論，給出一種新的魯棒穩定性判據，所得結果均可轉化為線性矩陣不等式（LMI）的形式.

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.04.13

2013－12－20.

孫鳳琪（1968—），女，漢族，博士，教授，從事時滯奇異攝動控制系統穩定性的研究，E－mail：jlsdsfq＠163.com.

高校基本科研項目基金（批準號：N100406010）.