基于彈性變形的機(jī)床主軸參數(shù)設(shè)計(jì)方法研究

安虎平,張志梅,楊天興,劉昊,王玲

(1.蘭州城市學(xué)院機(jī)械檢測(cè)與故障診斷研究所,甘肅蘭州730070；2.蘭州交通大學(xué)后勤集團(tuán)公司,甘肅蘭州730070)

機(jī)床主軸是實(shí)現(xiàn)切削主運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行部件，在切削系統(tǒng)中起關(guān)鍵作用。在機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)中，主軸設(shè)計(jì)合理性關(guān)系到機(jī)床性價(jià)比優(yōu)劣，主軸精度在很大程度上決定了機(jī)床工作精度。在傳動(dòng)系統(tǒng)確定的情況下，主軸支承結(jié)構(gòu)的配置是影響主軸剛性、工作精度、結(jié)構(gòu)、體積及成本的重要因素。如CW6163系列車床經(jīng)過多年生產(chǎn)、改進(jìn)設(shè)計(jì)，其結(jié)構(gòu)趨于完善，品種規(guī)格日益齊全，生產(chǎn)工藝基本穩(wěn)定。我國生產(chǎn)企業(yè)基于其局部結(jié)構(gòu)和外觀的不足進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)、增加品種規(guī)格，滿足了不同行業(yè)生產(chǎn)需要。然而，該機(jī)床精度還不夠高，其主要原因是生產(chǎn)商對(duì)主軸支承的合理性缺乏理論分析和技術(shù)手段。從實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)獲知，要想進(jìn)一步提高機(jī)床工作精度，難度較大，因?yàn)樵O(shè)計(jì)部門已經(jīng)試用過多種類型主軸支承軸承及其預(yù)緊結(jié)構(gòu)，效果不明顯。此外，該機(jī)床的數(shù)控化改造不夠理想，其中原因之一就是精度與數(shù)控系統(tǒng)匹配度不高，只限于簡(jiǎn)易型數(shù)控。鑒于多年制造裝備設(shè)計(jì)制造經(jīng)驗(yàn)和力學(xué)研究的體會(huì)，作者認(rèn)為有必要對(duì)機(jī)床主軸支承的力學(xué)性能進(jìn)行分析，利用現(xiàn)代數(shù)值分析軟件MATLAB描繪，充分認(rèn)識(shí)影響主軸精度的主要因素，為主軸參數(shù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 主軸技術(shù)要求與標(biāo)注

為保證機(jī)床主軸有足夠精度和良好的工作穩(wěn)定性，在設(shè)計(jì)階段應(yīng)對(duì)主軸結(jié)構(gòu)各部位(特別是軸承、夾具、傳動(dòng)件、連接件與預(yù)緊件的安裝部位)提出適當(dāng)?shù)募夹g(shù)條件，包括尺寸公差、形位公差、表面粗糙度和表面硬度等，并在主軸零件圖上合理標(biāo)注。這些技術(shù)條件應(yīng)滿足下列要求:1)設(shè)計(jì)要求:要滿足機(jī)床工作性能對(duì)主軸精度、噪聲和其他技術(shù)指標(biāo)的規(guī)定；2)工藝要求:在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，須充分考慮制造的可能性和經(jīng)濟(jì)性，使設(shè)計(jì)合理，為此應(yīng)盡量使工藝基準(zhǔn)與設(shè)計(jì)基準(zhǔn)統(tǒng)一；3)檢測(cè)要求:即采用簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確而可靠的測(cè)量手段，盡量做到使檢驗(yàn)基準(zhǔn)與工藝基準(zhǔn)一致；4)標(biāo)注要求:要采用規(guī)范的標(biāo)注代號(hào)完整地標(biāo)注出檢測(cè)位置和檢測(cè)項(xiàng)目要求，如有特殊要求而無法用代號(hào)標(biāo)注時(shí)，要用簡(jiǎn)練準(zhǔn)確的文字在技術(shù)要求或圖上標(biāo)注處說明。如圖1所示，為一主軸公差標(biāo)注示意圖，軸頸A、B處的公共軸心線A-B是保證主軸旋轉(zhuǎn)精度的設(shè)計(jì)基準(zhǔn)，同時(shí)也是法蘭前端面、主軸頭短錐和內(nèi)錐孔的工藝基準(zhǔn)及檢驗(yàn)基準(zhǔn)，因此軸頸精度與表面粗糙度應(yīng)嚴(yán)格控制。軸頸尺寸公差應(yīng)根據(jù)與之相配軸承類型選取，同軸度可通過軸頸表面的徑向圓跳動(dòng)公差來控制，該方法的誤差測(cè)量方便。主軸短錐面是安裝卡盤的定心面，直接影響加工精度，其結(jié)構(gòu)和參數(shù)設(shè)計(jì)須遵循相應(yīng)的主軸頭標(biāo)準(zhǔn)；內(nèi)錐孔是安裝主軸頂尖的基準(zhǔn)面，應(yīng)保證與軸頸中心線同軸度要求，加工時(shí)以軸頸為基準(zhǔn)面精磨錐孔，用標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)棒和千分表按圖樣規(guī)定及相關(guān)機(jī)床標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)，其檢測(cè)結(jié)果須符合相應(yīng)機(jī)床精度標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定；軸頸表面是主軸與齒輪及其他配合件表面位置度的測(cè)量基準(zhǔn)，如圖1中Ⅰ～Ⅳ處。普通機(jī)床的軸頸尺寸取IT5級(jí)精度[1]，形狀公差值取尺寸公差值的1/4～1/3，安裝齒輪配合表面的跳動(dòng)公差可略小于其直徑公差的1/2。

圖1 主軸公差標(biāo)注示意圖

2 主軸組件計(jì)算模型

由圖1可知，機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，剛度和精度是主軸技術(shù)要求的主要內(nèi)容。滿足剛度要求的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)首先從受力變形角度進(jìn)行分析計(jì)算來決定其主要結(jié)構(gòu)尺寸，這些尺寸參數(shù)有主軸前后支承軸頸尺寸D1、D2，主軸內(nèi)孔直徑d，主軸支承跨距l(xiāng)和前端懸伸量a等，這些參數(shù)直接影響主軸的剛性和工作精度。

機(jī)床主軸所受的工作載荷為動(dòng)載荷，包括扭矩和切削力。對(duì)于回轉(zhuǎn)類切削機(jī)床，主軸扭轉(zhuǎn)變形小，對(duì)加工精度的影響不大，而由切削力引起的徑向載荷對(duì)主軸系統(tǒng)的剛度和精度影響最大。因此以徑向載荷來分析主軸受力變形，以確定合理的主軸結(jié)構(gòu)參數(shù)。根據(jù)主軸結(jié)構(gòu)和受力特點(diǎn)，用材料力學(xué)理論分析并對(duì)主軸部件支承按靜力狀態(tài)進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立其受力模型，如圖2所示。主軸工作時(shí)帶動(dòng)工件或刀具作主運(yùn)動(dòng)，受切刀具削作用產(chǎn)生切削扭矩和徑向力。扭矩使主軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形；徑向力使主軸發(fā)生彎曲變形，并引起主軸前端變形位移δs；同時(shí)主軸支承件—軸承和箱體等受切削力和部件重力作用也會(huì)發(fā)生彈性變形，從而引起主軸前端發(fā)生位移δz，因此，主軸前端的總位移δ應(yīng)等于這兩種位移的疊加。考慮到主軸和支承件都是變形體，對(duì)雙支承主軸的受力模型可表示為如圖2(a)所示的外伸簡(jiǎn)支梁形式，其中Fc是主軸所受的徑向載荷；RA為前支承反力；RB為后支承反力。為便于分析計(jì)算，圖2(a)可看作彈性主軸-剛性支承與剛性主軸-彈性支承兩種情況的疊加，分別如圖2(b)與圖2(c)所示。

圖2 主軸部件受力變形簡(jiǎn)化模型

2.1 主軸軸頸尺寸的確定

主軸直徑大小與主軸部件的剛度有關(guān)，會(huì)影響機(jī)床加工精度。由材料力學(xué)[2]可知，外伸梁的剛度可表示為:

式中:K—主軸剛度，(N/μm)；

E—主軸材料彈性模量，(GPa)；

I—截面慣性矩，(mm4)；

l—支承跨距，(mm)；

a—懸伸量，(mm)。

由式(1)可知，主軸剛度隨跨距和懸伸量的增大而非線性減小，與主軸材料彈性模量和截面慣性矩成正比，而慣性矩與直徑的四次方成正比，即主軸剛度與直徑的四次方成正比關(guān)系。對(duì)于確定的主軸材料和傳動(dòng)系統(tǒng)來說，增大主軸直徑可提高主軸剛度和系統(tǒng)抗振性，但主軸直徑過大會(huì)帶來一系列問題:1)使安裝于主軸上零部件尺寸增大，造成結(jié)構(gòu)龐大；2)增加制造成本，主軸、傳動(dòng)件、支承件和箱體等尺寸及誤差和變形隨之增大，增加了制造難度，從而使制造成本大幅度增加；3)空載功率增大，傳動(dòng)件質(zhì)量加大意味著空載功率消耗加大；4)軸承速度參數(shù)限制，主軸軸徑大小受軸承允許速度參數(shù)d·nmax的限制。

表1 主軸前軸徑D1的選擇

主軸前軸頸D1可根據(jù)機(jī)床傳遞功率并參考同類機(jī)床軸頸尺寸加以確定，如表1所示，為最典型兩類機(jī)床主軸前軸頸D1的參考值。因裝配工藝需要，主軸直徑自前向后是逐步減少的，主軸后軸頸D2與前軸頸D1的關(guān)系，可按經(jīng)驗(yàn)公式D2=(0.7～0.9)D1初選，再結(jié)合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來最終確定。

2.2 主軸內(nèi)孔直徑的確定

機(jī)床主軸一般具有內(nèi)通孔，可減輕質(zhì)量并用于穿越棒料、安裝刀具和工具。根據(jù)材料力學(xué)理論，在一定范圍內(nèi)主軸內(nèi)孔對(duì)強(qiáng)度和剛度影響很小，但若超過此范圍則會(huì)使主軸強(qiáng)度與剛度急劇下降。從結(jié)構(gòu)和工藝上考慮，主軸內(nèi)孔直徑受后軸頸尺寸限制，其大小應(yīng)從剛度和強(qiáng)度兩個(gè)方面分析決定。

1)內(nèi)孔直徑的剛度確定法 由式(1)可知，軸剛度正K比于截面慣性矩I，空心軸截面形心的慣性矩Ih=π(D4-d4)/64，實(shí)心軸的慣性矩Is=πD4/64，則空心軸與實(shí)心軸剛度比值為:

式中:Kh，Ks—分別為空心和實(shí)心軸的剛度，(N/μm)；

Ih，Is—分別為空心和實(shí)心軸截面慣性矩，(mm4)；

D—主軸平均外徑，(mm)；

d—主軸內(nèi)徑，(mm)；

ε—?jiǎng)偠人p系數(shù)，ε=d/D。

如圖3所示，為用MATLAB軟件得到的空心軸與實(shí)心軸剛度及強(qiáng)度隨ε衰減情況。由式(2)及圖3可知，當(dāng)ε=0.5時(shí)，Kh/Ks=0.937 5；當(dāng)ε=0.7 時(shí)，Kh/Ks=0.759 9。即當(dāng)ε較小時(shí)，空心軸剛度衰減很小；當(dāng)ε較大時(shí)，空心軸剛度衰減較大。因此，為保證主軸足夠的剛度，通常應(yīng)取ε≤0.7。實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，可根據(jù)主軸剛度和精度要求確定剛度衰減系數(shù)，當(dāng)剛度要求較高時(shí)，ε取較小值；反之，可取較大值。當(dāng)確定了剛度衰減系數(shù)后，即可根據(jù)外徑D與ε來確定內(nèi)孔直徑d，然后再按用途來確定主軸前端錐孔的錐度。當(dāng)只用于定心時(shí)，錐孔錐度取較大值；當(dāng)要求定心并能自鎖時(shí)，錐孔錐度應(yīng)取較小值。

圖3 主軸強(qiáng)度和剛度與內(nèi)外徑之比

2)內(nèi)孔直徑的強(qiáng)度確定法 對(duì)于實(shí)心軸，強(qiáng)度為σs=4F/πD2≤[σ]；對(duì)于空心軸，強(qiáng)度為σh=4F/π(D2-d2)≤[σ]，則空心軸與實(shí)心軸強(qiáng)度的關(guān)系為:

式中:σs—實(shí)心軸應(yīng)力，(MPa)；

σh—空心軸應(yīng)力，(MPa)。

由式(3)可知，隨剛度衰減系數(shù)ε增大(即內(nèi)徑增大)，空心軸應(yīng)力增大，主軸強(qiáng)度降低。圖3表明，隨內(nèi)徑增大，主軸強(qiáng)度比剛度衰減更快，當(dāng)ε=0.5時(shí)，空心軸強(qiáng)度是實(shí)心軸的75%。

當(dāng)設(shè)計(jì)主軸時(shí)，應(yīng)兼顧強(qiáng)度和剛度。強(qiáng)度主要根據(jù)傳遞功率和扭矩及轉(zhuǎn)速來確定，通常主軸設(shè)計(jì)強(qiáng)度是足夠的，主要應(yīng)考慮精度問題。在滿足通孔使用要求的前提下，應(yīng)取較小的ε值，這樣可使獲得較高的強(qiáng)度和剛度值，有利于提高精度。

2.3 主軸最佳跨距和懸伸量

主軸跨距是指其前-后或前-中支承反力作用點(diǎn)之間的距離；懸伸量是指主軸頭部安裝夾具的定位基面至前支承徑向反力作用點(diǎn)之間的距離。跨距和懸伸量對(duì)主軸組件剛度有直接影響。由前面主軸力學(xué)模型可知，主軸組件的剛度取決于主軸自身剛度和支承剛度。在彈性限度內(nèi)，可將圖2(a)分解為下列兩種情況來討論。

1)剛性支承與彈性主軸 如圖2(b)所示，不考慮支承點(diǎn)變形位移，僅由主軸彎曲引起的懸臂端撓度為:

式中:δs—彈性主軸懸臂端的撓度，(μm)；

Fc—主軸端部所受的徑向載荷，(N)；

I—主軸截面的平均慣性矩，(mm4)，當(dāng)主軸平均直徑為D，內(nèi)孔直徑為d時(shí)，I=π(D4-d4)/64。由主軸彈性彎曲引起的柔度為:

由式(5)可知，當(dāng)其他條件一定時(shí)，柔度δs/Fc與跨距成線性關(guān)系，如圖4中的直線所示。

圖4 軸端位移與主軸跨距的關(guān)系

2)彈性支承與剛性主軸 如圖2(c)所示，設(shè)前后支承的剛度分別為KA、KB，變形量分別為δA、δB，則有δA=RA/KA，δB=RB/KB。 其中:RA，RB—分別為前、后軸頸的支反力(N)，RA=Fc·(1+a/l)，RB=Fc·a/l。 根據(jù)變形幾何關(guān)系，得(δA+δB)/l=(δz+δB)/(l+a)，則由支承變形引起主軸前端位移為:

式中:δz—由支承變形引起的主軸前端位移，(μm)。第一項(xiàng)表示前支承的影響；第二項(xiàng)表示后支承的影響。則由支承位移引起主軸的柔度為:

式中:δz/Fc—主軸柔度(μm/N)。 由于一般a＜l，由(6)式可知前支承對(duì)主軸端變形的影響比后支承大。所以在主軸部件設(shè)計(jì)時(shí)，前軸承應(yīng)取較大剛度值，后軸承可取較小剛度值；前軸承精度應(yīng)比后軸承高一級(jí)。

3)主軸端部實(shí)際位移 實(shí)際受力后，主軸和支承同時(shí)產(chǎn)生變形，故應(yīng)綜合考慮這兩種變形引起的總位移，按彈性變形考慮，有:

式中:δ—為主軸端部總位移，(μm)。

從式(8)可知，總位移與主軸及前、后支承的變形有關(guān)，后支承影響最小。主軸端部總?cè)岫葹?

式中:δ/Fc—主軸前端總?cè)岫?μm/N)。

以CW6163車床主軸為例，有關(guān)參數(shù)如表2所示。主軸前端柔度與跨距關(guān)系如圖4所示，在主軸前端懸伸量a一定時(shí)，隨前后支承跨距l(xiāng)增大，主軸前端位移δ先減小；大約在l/a=0.8時(shí)，達(dá)到最小，爾后近似成直線增大。

表2 主軸組件有關(guān)參數(shù)

4)主軸最佳跨距的確定 主軸最佳跨距是指使主軸柔度最小(剛度最大)的跨距。在式(8)中，令dδ/dl=0，得a2/(3EI)-2a2(1/KA-1/KB)/l3-2a/(KAl2)=0。整理，得到關(guān)于l的一元三次方程:

取綜合變量η=EI/(KAa3)，代入式(10)，得:

式(11)中，無量綱量η是l/a和KA/KB的函數(shù)，以KA/KB為參變量，以l/a為變量，利用 MATLAB計(jì)算軟件編程[3-4]，做η的計(jì)算線圖，如圖5所示。

圖5中分別給出了主軸前后支承剛度比KA/KB取值為1、2、3、4、5時(shí)，綜合變量η的五條曲線。 顯然該圖更精確地給出了主軸最佳跨距的計(jì)算線圖曲線。當(dāng)a值給定時(shí)，存在一最佳跨距l(xiāng)0，通常取l0/a=2～3.5。

圖5 主軸最佳跨距計(jì)算線圖

3 計(jì)算示例

某一回轉(zhuǎn)直徑400 mm的普通車床，電機(jī)功率為7.5 kW，主軸內(nèi)孔直徑為52 mm，主軸前后支承均為NN 3 000 K系列雙列圓柱滾子軸承，主軸計(jì)算轉(zhuǎn)速為50 r/min。試初選主軸軸頸跨距。

根據(jù)表 1，取前軸頸為 110～145 mm，初定D1=120 mm，后軸頸D2=0.75D1=90 mm。按結(jié)構(gòu)，定懸伸長a=120 mm。

1)軸承剛度計(jì)算 主軸最大輸出轉(zhuǎn)矩:

床身上最大加工直徑約為最大回轉(zhuǎn)直徑的60%，即240 mm，最大加工半徑為120 mm。主切削力和切深抗力分別為:

總切削力

估算時(shí)，先取初值l/a=3，即l=3a=360 mm。假設(shè)切削力是作用于前后兩頂尖之間工件上，主軸和尾座各承擔(dān)一半，則前、后支反力分別為:

根據(jù)軸承剛度驗(yàn)算公式可求得前后軸承的剛度為:

2)求最佳跨距，取主軸的當(dāng)量外徑為前后軸頸的平均值，即×(120+90)=105 mm，故慣性矩I=(0.1054-0.0524)/64=178.4×10-8m4，則:

查圖5，得l0/a=1.6，這一值與假設(shè)值不符，可根據(jù)l0/a=1.6重新計(jì)算支反力和支承剛度，再求最佳跨距，如此反復(fù)迭代，直到與假設(shè)值接近為止，可求得合理的跨距。

4 結(jié)語

針對(duì)機(jī)床主軸組件設(shè)計(jì)的難點(diǎn)問題進(jìn)行研究，內(nèi)容有:1)給出主軸設(shè)計(jì)的主要技術(shù)要求和標(biāo)注方法；2)提供決定主軸前、后軸頸和內(nèi)孔尺寸的剛度條件，可根據(jù)機(jī)床精度條件和剛度衰減系數(shù)曲線求解；3)建立了主軸組件受力變形模型和彈性力學(xué)條件；4)討論了剛性支承與彈性軸和彈性支承與剛性軸兩種情況下主軸端的撓度和柔度，用數(shù)值分析法得到柔度與跨距的關(guān)系曲線；5)運(yùn)用數(shù)值分析法獲得主軸最佳跨距線圖，并用示例說明其迭代算法。可方便地確定主軸軸頸尺寸、內(nèi)孔直徑及主軸最佳支承跨距。

[1]杜君文.機(jī)械制造技術(shù)裝備及設(shè)計(jì)[M].天津:天津大學(xué)出版社，1998.

[2]徐鵬.簡(jiǎn)明材料力學(xué)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2011.

[3]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社，2006.

[4]宋葉志.賈東永.MATLAB數(shù)值分析與應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009.