激發(fā)生成，促成內(nèi)化:線性代數(shù)教學(xué)研究＊

劉金容

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，海南海口 570028)

激發(fā)生成，促成內(nèi)化:線性代數(shù)教學(xué)研究＊

劉金容

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系，海南海口 570028)

分析線性代數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，借鑒國內(nèi)外先進(jìn)的教育理念，開展以“激發(fā)生成，促成內(nèi)化”為目標(biāo)的線性代數(shù)教學(xué)研究。加強(qiáng)背景知識介紹，并根據(jù)專業(yè)線性代數(shù)與其它學(xué)科的聯(lián)系，引入抽象概念;對不同專業(yè)增設(shè)不同應(yīng)用實(shí)例，從解決問題需要，激發(fā)學(xué)生生成知識;教學(xué)中突出比較學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，并促成內(nèi)化知識;鼓勵(lì)學(xué)生探求一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)知識生成;教學(xué)中注重使用反例論證，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，促成知識的內(nèi)化;創(chuàng)設(shè)多樣化的學(xué)習(xí)平臺與評價(jià)方式。

激發(fā)生成;促成內(nèi)化;行列式;矩陣;向量

線性代數(shù)以研究有限空間線性理論為主要內(nèi)容，由于線性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)各個(gè)領(lǐng)域，并且非線性問題也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為線性問題來處理，因而線性代數(shù)已成了許多自然科學(xué)和現(xiàn)代工程技術(shù)的基礎(chǔ)，是解決實(shí)際問題的有力工具，應(yīng)用非常廣泛。對大學(xué)生來說線性代數(shù)是最主要的工科數(shù)學(xué)之一，同時(shí)也是研究生入學(xué)考試必考科目，是科學(xué)與技術(shù)的語言，同時(shí)是后繼課程的基礎(chǔ)，學(xué)好它非常重要。

1 線性代數(shù)教學(xué)的現(xiàn)狀分析

經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，目前高校線性代數(shù)課時(shí)占32～48課時(shí)，而線性代數(shù)概念抽象，理論深刻，內(nèi)容零散，計(jì)算繁雜，與幾何密切相關(guān)的特點(diǎn)，課時(shí)相對偏少，因而現(xiàn)行線性代數(shù)教學(xué)從內(nèi)容層次看，大多數(shù)仍采用傳統(tǒng)的“概念～定理～例題～習(xí)題”的模式，過于強(qiáng)調(diào)理論知識，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和系統(tǒng)性，側(cè)重于學(xué)生對純數(shù)學(xué)方法和技巧的學(xué)習(xí)。由于“大容量”、“高密度”、“滿堂灌”，知識呈現(xiàn)方式“被動(dòng)”，很難有生成性資源的立足之地，學(xué)生課上記筆記，課后模仿筆記、例題作業(yè)，期末考筆記。這種忽視學(xué)生探究品質(zhì)和學(xué)生個(gè)性的自由發(fā)展、忽視知識自然生成和知識的內(nèi)化的邏輯規(guī)則的教學(xué)，抑制了課堂教學(xué)中學(xué)生的能動(dòng)性和內(nèi)發(fā)性，否定了教學(xué)中的動(dòng)態(tài)生成性，導(dǎo)致個(gè)人知識的獲得普遍缺乏個(gè)體思維的深層參與，學(xué)生的變異、批判與創(chuàng)造的品質(zhì)被剔除，探究、建構(gòu)與超越的個(gè)性被削弱。其最終結(jié)果是公共知識不能內(nèi)化為個(gè)體知識，思維不能凝結(jié)成思想，方法不能升華為智慧，學(xué)生的個(gè)人認(rèn)識普遍僵化，很難有效獲得真知與創(chuàng)造性，以至于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性逐步下降。基于上述原因，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)國內(nèi)外先進(jìn)的教學(xué)理念，提出以“激發(fā)生成，促成內(nèi)化”為目標(biāo)的線性代數(shù)教學(xué)進(jìn)行了以下幾方面的思考與探索。

2 教學(xué)改革措施

2.1 加強(qiáng)背景知識介紹

教材第一章就遇到“行列式”這一抽象概念的教學(xué)，講解不好，將影響學(xué)習(xí)的積極性及后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。筆者針對不同專業(yè)做不同處理，對文科專業(yè)的學(xué)生采取加強(qiáng)背景知識的介紹，介紹了行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來，行列式的提出可以追溯到17世紀(jì)，最初的雛形由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲各自獨(dú)立提出，時(shí)間大致相同。它當(dāng)初只作為解方程組的工具出現(xiàn)時(shí)，只是一種速記的表達(dá)式，在很長一段時(shí)間內(nèi)，行列式都只作為解線性方程組的重要工具被使用著，并未形成獨(dú)立的理論體系，首個(gè)把行列式理論與線性方程組求解相分離的人是法國的數(shù)學(xué)家范德蒙德，之后，在行列式理論方面作出突出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家還有柯西、雅可比等等。這些背景知識的介紹幫助充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，使其更加生動(dòng)有趣，學(xué)生對這些數(shù)學(xué)家充滿好奇和崇拜，他們渴望了解這些數(shù)學(xué)家的具體工作，自然在學(xué)習(xí)過程中積極尋找答案。從以教師的教為本位，回歸到以學(xué)生自己主動(dòng)去學(xué)為本位的數(shù)學(xué)教學(xué)觀。

2.2 突出與其它學(xué)科的緊密聯(lián)系

就拿“行列式”這一概念教學(xué)來說，針對學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)不同，筆者對理工科的學(xué)生采取了另一種引入方式，學(xué)生剛學(xué)完高等數(shù)學(xué)，才開設(shè)的線性代數(shù)。行列式在數(shù)學(xué)中，是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)閚×n矩陣A(矩陣概念以后待學(xué)，留下懸念)，取代為一個(gè)標(biāo)量，寫作det(A)或。行列式也可以看作是有向面積或有向體積概念在一般的歐幾得空間中的推廣。或者說在n維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)，多項(xiàng)式理論還是在微積分學(xué)中(比如換元積分法中)行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。接著解釋二階行列式對應(yīng)幾何意義是二維向量的有向平行四邊形的面積。二階行列式為零，當(dāng)且僅當(dāng)2個(gè)向量共線(線性相關(guān)待學(xué)，留下懸念)，這時(shí)平行四邊形退化為一條直線。三階行列式幾何意義對應(yīng)三個(gè)向量為棱的平行六面體的有向體積，也叫做這三個(gè)向量的混合積。同樣可得如下性質(zhì):三階行列式值為零當(dāng)且僅當(dāng)3個(gè)向量共線或共面(三者線性相關(guān))，這時(shí)平行六面體退化為平面圖形，體積為零。再引入n維向量到n階行列式，n元線性方程組，從一開始讓學(xué)生深切感受到線代與解析幾何，高等數(shù)學(xué)等學(xué)科的緊密聯(lián)系，在以后的教學(xué)中也經(jīng)常突出線代與其它課程的聯(lián)系。讓學(xué)生有興趣，有動(dòng)力去建構(gòu)知識。

2.3 對不同專業(yè)應(yīng)用不同實(shí)例，激發(fā)學(xué)生知識生成

針對經(jīng)管類學(xué)生，在講授矩陣乘法公式之前，選取了一個(gè)常用又簡單的實(shí)例。

例1:某工廠生產(chǎn)3種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品每件所需的生產(chǎn)成本以及各個(gè)季度每一產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)見表1和表2。

請給出一張指明各個(gè)季度所需各類成本的明細(xì)表。

又比如對化工專業(yè)講授“線性方程組的解”，給出了下面例子，

例3:一個(gè)化學(xué)方程式:

表1 生產(chǎn)成本(單位元)

表2 生產(chǎn)件數(shù)(單位件)

為了配平這個(gè)化學(xué)方程式，需找到x1，x2，x3，x4使方程式左右兩端的碳原子數(shù)(C)、氫原子(H)和氧原子(O)的總數(shù)相等。建立在反應(yīng)過程中每種原子數(shù)目的數(shù)學(xué)模型:

利用矩陣的初等行變換，可得方程組的通解為

由于化學(xué)方程式中的系數(shù)必須為整數(shù)，(般用最小整數(shù))可取x4=4，此時(shí)配平后的化學(xué)方程式為:C3H8+5O2→3CO2+4H2O.［1］

又如信息學(xué)院學(xué)生講解逆矩陣時(shí)，引入密碼問題等等不一一例舉，總之針對學(xué)生專業(yè)，也就是對學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)不同的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)建線性代數(shù)知識，是建構(gòu)主義教學(xué)觀的體現(xiàn)，一方面讓學(xué)生主動(dòng)去構(gòu)建新知識，另一方面，讓學(xué)生明白線性代數(shù)在專業(yè)課程中的實(shí)用性。

2.4 教學(xué)中突出比較學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維，并促成內(nèi)化知識

比如講授余子式和代數(shù)余子式，讓學(xué)生自己對比得出了以下結(jié)論:

(1)對于給定的n階行列式D=det(aij)元(i，j)的余子式Mij和代數(shù)余子式Aij僅對位置(i，j)有關(guān)，而與D的(i，j)元的數(shù)值無關(guān)。

(2)它們間的聯(lián)系是Aij=(-1)i+jMij，因而當(dāng)i+j為偶數(shù)時(shí)，二者相同，當(dāng)i+j為奇數(shù)時(shí)，二者符號相反，它們之間的關(guān)系也可用圖示來表示，

其中，符號“+”表示對應(yīng)位置上Aij=Mij;符號“-”表示對應(yīng)位置上Aij=-Mij，上圖概括為:對角線上為正，正的“鄰居”為負(fù)，負(fù)的“鄰居”為正。

學(xué)生自己歸納對比得出結(jié)論，學(xué)生內(nèi)化成了個(gè)體知識，在考試中就很少出現(xiàn)Aij符號錯(cuò)誤現(xiàn)象。在教學(xué)中經(jīng)常對一些既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念，定理讓學(xué)生自己去對比分析其區(qū)別與聯(lián)系。不僅有利類比思維的培養(yǎng)，還利于促成知識的內(nèi)化。比如行列式與矩陣的聯(lián)系與區(qū)別;矩陣的等價(jià)與向量組的等價(jià)的區(qū)別與聯(lián)系，行階梯形矩陣與行最簡形矩陣，矩陣的秩與向量組的秩等等，線代中這種易混概念好多。基本方法的總結(jié)，如行列式的計(jì)算探討，矩陣初等變換的應(yīng)用，逆矩陣的求法探討;用小課題或開放式作業(yè)方式要求學(xué)生課外完成。能滿足不同專業(yè)不同層次的學(xué)生的需求。學(xué)生通過對這些開放性作業(yè)的完成，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分利用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，加深對基本概念的理解，對基本方法與基本技能的掌握。

2.5 鼓勵(lì)學(xué)生探求一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

一題多解是由同一問題在解法上引起發(fā)散思維，對某一問題的一種新的解法，很可能意味著一次新的突破。所以在教學(xué)中經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生探求一題多解，有利如知識的生成。如教材［2］課后題很多題是有多種解法的，P27:8(1)題。

解:(方法一)an-2(a2-1)方法二做完第一步后得Dn=aDn-1于是遞推可得結(jié)論。

(方法三)

看似簡單的一道行列式計(jì)算，確是一個(gè)引起發(fā)散思維的很好素材，可以借此在習(xí)題課中總結(jié)行列式計(jì)算常用的方法。課后很多習(xí)題都是有多種方法求解的，鼓勵(lì)學(xué)生探求一題多解，能幫助學(xué)生知識的內(nèi)化與生成。

2.6 培養(yǎng)學(xué)生批判性思維，促成知識內(nèi)化

反例在線性代數(shù)教學(xué)中有其特殊作用，尋求反例的過程，是加深理解、鞏固知識的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維與辯證思維過程，通過引導(dǎo)學(xué)生如何尋求反例，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，從而使教學(xué)收到事半功倍的效果。

如:從群的角度，零矩陣和實(shí)數(shù)0都是群的單位元。但是在實(shí)數(shù)中0是一個(gè)數(shù)，而在矩陣中，零矩陣并不是一個(gè)矩陣，而是一類矩陣的統(tǒng)稱。實(shí)數(shù)0=0成立，而矩陣0=矩陣0未必成立。

又如:在小學(xué)接觸乘法時(shí)，定義是加法的簡便運(yùn)算，在矩陣運(yùn)算中由于數(shù)乘是通過數(shù)作用于每一個(gè)元素上來實(shí)現(xiàn)，因在在矩陣運(yùn)算中，數(shù)乘是矩陣加法的簡便運(yùn)算，而矩陣乘法與數(shù)乘法有著截然不同的性質(zhì)。

(1)數(shù)的乘法滿足交換律，而矩陣乘法不具備，即在矩陣乘法中AB≠BA未必成立。

這里反例的構(gòu)造，利用了初等矩陣的性質(zhì)，左乘一個(gè)初等矩陣相當(dāng)于對初等矩陣作初等行變換，而右乘一個(gè)初等矩陣相當(dāng)于對矩陣做初等列變換，因此只要A矩陣不是對稱矩陣，AB≠BA。

(2)數(shù)乘法有消去律，而矩陣乘法中消去律也未必成立，即AB=0未必A=0或B=0.

此外向量的線性表示，線性相關(guān)性等是線性代數(shù)課程教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)問題，這部分內(nèi)容十分抽象，必須結(jié)合實(shí)例與反例講述其中一些概念。

2.7 創(chuàng)設(shè)多樣化的學(xué)習(xí)平臺與評價(jià)方式

為了在學(xué)時(shí)不斷減少的情況下保證教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，在加強(qiáng)和提高有效的傳統(tǒng)教學(xué)方法與手段的基礎(chǔ)上，注重了現(xiàn)代教學(xué)手段的建設(shè)和合理應(yīng)用，除實(shí)施多媒體教學(xué)大大提高教學(xué)效率外，還積極創(chuàng)造條件，建立網(wǎng)絡(luò)課外自主學(xué)習(xí)系統(tǒng)，提供課堂教學(xué)內(nèi)容的輔助學(xué)習(xí)資源:線代視頻課件，線性代數(shù)PPT、網(wǎng)上答疑，線性代數(shù)習(xí)題庫等，實(shí)現(xiàn)多媒體與網(wǎng)絡(luò)化，從而使課堂教學(xué)與課外學(xué)習(xí)有機(jī)結(jié)合。評價(jià)方式采取綜合評定，平時(shí)考勤、普通作業(yè)15%，開放作業(yè)15%，期末考試占70%。為了增加考試的信度，在考題中采取了彈性設(shè)計(jì)，比如可以從150分的考題中選取100分考題做，加大了考題的覆蓋面。

3 總結(jié)

數(shù)學(xué)教師的使命不僅僅是傳授，知識的更重要的是將數(shù)學(xué)方法這一工具服務(wù)于社會各行各業(yè)，要讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，最終也要回歸到實(shí)踐中去解決實(shí)際問題。通過以“激發(fā)生成，促成內(nèi)化”為目標(biāo)的線性代數(shù)教學(xué)改革，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，為今后的學(xué)習(xí)和工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［1］謝國瑞.線性代數(shù)及應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］陳懷深.線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［3］孫 兵.線性代數(shù)教學(xué)中的反例構(gòu)造［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2011(6):39-40.

G642.0

A

1674-5884(2014)02-0101-03

2013-11-25

劉金容(1979-)，女，湖南婁底人，講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。

(責(zé)任校對 謝宜辰)