透析試題本質，用問題驅動提升學習力

劉欣

摘要：對基于圓的基本圖形的試題生成過程進行分析，可以有效尋找解題思路和途徑；教學中把試題變成一個一個問題，并巧妙呈現提問方式，讓學生在不斷生成的問題中展開探究，可以培養數學思維，提升數學學習力.

關鍵詞：試題生成分析；問題驅動；學習力

由圓外一點引圓的兩條切線所構成的圖形是一個軸對稱圖形，具有軸對稱圖形的特殊性質，提煉這個基本圖形及變式圖形所隱含的特殊結論，并運用于解決新問題，是提升數學綜合能力的有效方式.筆者研究武漢市近年來的各類考題，探索含此基本圖形的試題的本質特征，運用這些結論解題都可以讓問題迎刃而解.因此，透析試題本質，尋找問題與基本圖形之間的聯系，可以輕松找到解決問題的途徑.《義務教育數學課程標準（2022年版）》強化了“如何教”的具體指導，要促進學生深度參與教學，必須在精心設計問題的同時，巧妙呈現提出問題的方式，讓學習探究在不斷生成的問題解決中逐步展開，這樣才能有效促進學生數學學習力的提升.

1 試題背景

如圖1，過圓外一點P作⊙O的兩條切線PM，PN，切點分別為A，B.連接OA，OB，則∠APB+∠AOB＝180°.

在圖1的基礎上，連接OP，AB，AB交OP于點Q，如圖2，分別從角與角、線段與線段、三角形與三角形的關系分析，可以得到如下結論：

（1）∠APO＝∠BPO＝∠OAB＝∠OBA.

（2）PA＝PB，AQ＝BQ，PO⊥AB.

（3）△OAP≌△OBP，△APQ≌△BPQ；△OAQ∽△APQ∽△OPA等.

延長AO交⊙O于點C，交PN于點D，連接BC，如圖3，又可以得到以下結論：

（4）∠ACB＝∠AOP＝∠PAB，BC∥PO；

（5）△DBC∽△DAB；

（6）△ABC∽△PAO∽△AQO∽△PQA等.

2 試題演變及解析

上面的三個圖形和相關結論，經常被各地用于命制各類試題，研究近幾年武漢市的調考和中考試題，可以發現它們之間的聯系和變式生成過程.

2.1 取圓上一點，構造圓周角，運用角的關系求角

例1 （2022年武漢元月調考）如圖4，PM，PN分別與⊙O相切于A，B兩點，C為⊙O上異于A，B的一點，連接AC，BC.若∠P＝58°，則∠ACB的大小是[CD#3].

故填答案：61°或119°.

2.2 取圓上一點，添加角和線段，求半徑

分析及解：如圖7，連接OA，OP，AB，作BD⊥AC于點D.

構造直角三角形，把已知線段和角轉移到直角三角形中

例3 （2016年武漢四月調考）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在BC上，以點O為圓心，OC為半徑的⊙O剛好與AB相切，交OB于點D.若BD＝1，tan∠AOC＝2，則⊙O的面積是（）.

分析及解：設⊙O的半徑為r，AB與⊙O相切于點E，連接DE，則DE∥OA.

2.4 已知過圓外一點的一條切線，畫出另外一條切線，再證明判斷并賦值求解新問題

例4 （2011年武漢中考）如圖9，PA為⊙O的切線，A為切點，過點A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B，延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E.

（1）求證：PB為⊙O的切線；

分析及解：（1）如圖10，連接OA.

由△OAP≌△OBP，得∠OBP=∠OAP=90°.

所以PB是⊙O的切線.

2.5 構造等腰直角三角形，運用特殊結構，建立特殊情況下的比值問題

例5 （2020年武漢元月調考）如圖11，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，AC是⊙O的直徑，AC＝AP，連接OP交AB于點D，連接PC交⊙O于點E，連接DE.

（1）求證：△ABC≌△PDA；

分析及解：（1）由∠PDA＝∠ABC＝90°，∠PAD＝∠ACB，PA=AC，得△ABC≌△PDA.

（2）連接AE，BE.由△ABC≌△PDA，得BC=DA.

由AC是⊙O的直徑，得AE⊥CP.

又AC＝AP，

所以CE=PE=AE.

又∠BCE＝∠DAE，所以

△BCE≌△DAE.

3 關于“如何教”的思考

對于試題解析教學“怎么教？”的問題，既要分析試題之間的聯系和試題的本質，還要有好的教學呈現方式，把試題化為一個個問題，不斷變式，逐級推進，帶動學生參與到解決問題的過程中，讓學生經歷觀察、思考、表達、概括歸納、遷移運用的學習過程，促進數學素養的形成與發展.

3.1 畫基本圖形，探索一般結論

問題1 過圓外一點P作⊙O

的兩條切線PM，PN，切點分別為點A，B.如圖12，連接OA，OB，你能發現∠APB與∠AOB有什么關系？

問題2 在圖12的基礎上再連接OP，AB，AB交OP于點Q，如圖13，你能發現圖中角與角、線段與線段，三角形與三角形有什么關系？

問題3 在圖13的基礎上延長AO交⊙O于點C，交PN于點D，連BC，如圖14，你又可發現哪些新結論？

教學說明：設置這3個問題，從具體的問題1到開放的問題2、問題3，教學時先不給出圖形，讓學生通過對問題的文字和符號語言的理解自己畫圖，感受圖形生成過程，再研究圖形的幾何特征進而發現結論.

3.2 變換基本圖形，呈現試題生成過程

（Ⅰ）基于問題1，給出∠P的度數，求圓周角.

問題4 在問題1的基礎上，在⊙O上取一點C（異于點A，B），連接AC，BC.若∠P＝58°，能求出∠ACB的度數嗎？

（Ⅱ）基于問題1，給出角和線段的值，求半徑.

問題5 基于問題1，在⊙O上

取一點C，連接AC，BC，如圖15.

若∠P＝60°，∠MAC＝75°，

AC＝3+1，求⊙O的半徑.

（Ⅲ）由問題3演變，設置條件，求⊙O的面積.

問題6 在上述問題3的基礎上，若CD＝1，tan∠AOP＝2，你能求出⊙O的面積嗎？

（Ⅳ）改變問題1的條件，已知圓的一條切線，呈現另外一條切線的作圖過程，再判斷切線，并添加已知條件設置新問題.

問題7 如圖16，PA為⊙O的切線，A為切點，過點A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B，延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E.

（1）求證：PB為⊙O的切線；

（Ⅴ）保留PA，PB與⊙O相切，添加條件構造等腰直角三角形，生成新問題.

問題8 如圖17，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，AC是⊙O的直徑，且AC＝AP，連接OP交AB于點D，連接PC交⊙O于點E，連接DE.

（1）求證：△ABC≌△PDA；

教學說明：用以上問題4～8把前面的5個例題串聯了起來，通過從圓外一點引圓的兩條切線所構成的基本圖形，添加線段，增設條件，形成新問題，讓學生既能感受到試題生成的過程，又能在一個個問題的帶動下參與探究解決問題的過程.教學時注意問題要一個一個呈現，讓學生在解決前一個問題后，再觀察教師添線畫圖、設置條件、生成新問題的過程，讓學生的思維參與到圖形的生成、問題的變式過程中，感受到問題的不斷生長，這樣才能激發學生的學習動力，驅動學生深度參與探究學習，培養數學能力和素養.

4 結語

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求我們要整體把握教學內容之間的關聯，注重情境設計與問題提出，在真實情境中提出引發學生思考的問題，從而促進學生積極探究［1］.因此，在試題解析教學中，不能簡單地呈現試題直接讓學生求解，要注意把試題問題化，在分析試題之間的聯系與本質之后，教學時用問題把試題串起來，通過在基本圖形背景基礎上，添加圖形條件，設計一個個螺旋上升不斷變式的問題，引導學生具體畫圖觀察、自主探究解題途徑、親身經歷試題變式過程，從而透析問題本質，揭示試題之間的聯系，有效提升數學學習力，促進數學核心素養的發展.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.