分析錯因，糾正錯誤，尋找方法

趙玉蘭

在初中幾何教學中，我們經常看到學生有一些似是而非的證法：有的是沒有完全理解題意，有的是理由不充分，有的是以偏概全、以局部代替整體，有的是誤解或誤用了性質、定義、定理、公式，有的是作圖誤導，還有循環論證、偷換概念、推理步驟不規范等多種錯誤.教師如果能夠弄清學生產生這些錯誤的原因，及時給予糾正或作為典型例題進行講解，就能幫助學生在今后的學習中盡量避免或減少這些錯誤的發生.下面筆者列舉了一些證明三角形全等的錯例，側重錯因分析與正確證明的比較，供學生學習時借鑒、參考.

例1 如圖1，已知點A，E，F，D在同一直線上，且AE=DF，CE=BF，CE∥BF.求證：AB=CD.

錯證：在△ABF和△DCE中，CE=BF，AE=DF.

∵CE∥BF.

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE（SAS）.

∴AB=CD.

錯因分析：錯證犯了“以局部代替整體”的錯誤.在AE=DF中，AE是AF的局部，DF是DE的局部，絕不能因為AF，DE有公共部分EF，就以局部相等來代替整體相等.

正確證明：∵AE=DF，EF=FE，

∴AE+EF=DF+FE，即AF=DE.

又∵CE∥BF，

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE（SAS）.

∴AB=CD.

例2 已知AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′.

求證：△ABC≌△A′B′C′.

錯證：如圖2，

∴BD=B′D′.

在△ABD和△A′B′D′中，AB=A′B′，BD=B′D′，AD=A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）.

同理，△ADC≌△A′D′C′.

∴△ABD+△ADC≌△A′B′D′+△A′D′C′.

即△ABC≌△A′B′C′.

錯因分析：錯證犯了兩個錯誤.第一是用了不合理的“同理”，△ADC≌△A′D′C′與△ABD≌△A′B′D′的理由不相同，要證△ADC≌△A′D′C′，須證∠ADC=∠A′D′C′，根據“SAS”來證;第二是由兩對全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′的理由不充分，倘若兩對三角形不具備對應位置相同的條件則不全等，例如圖2（1）與圖3中，雖有△ABD≌△A″B″D″，△ADC≌△C″B″D″，但△ABC與△A″B″C″并不全等.

正確證明：

∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，

∴BD=DC，B′D′=D′C′.

∵BC=B′C′，

∴BD=B′D′.

又∵AB=A′B′，AD=A′D′，

∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）.

∴∠BAD=∠B′A′D′，

∠B=∠B′.

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.

例3 如圖4，AC與BD相交于點E，AD=BC，∠C=∠D.求證：AC=BD.

錯證：連接AB.

∵AD=BC，∠C=∠D，AB=AB，

∴△ABD≌△BAC（SSA）.

∴AC=BD.

錯因分析：錯證的原因是應用了“邊邊角（SSA）”這個假定理.為什么說它是假定理呢？請看圖5，將等腰三角形ABC的底邊BC延長線上的任一點D和頂點A相連，在△DAB和△DAC中，

滿足AB=AC，AD=AD，∠D=∠D，但這兩個三角形顯然不全等.

正確證明：在△AED和△BEC中，∠AED=∠BEC，∠D=∠C，AD=BC，

∴△AED≌△BEC（AAS）.

∴AE=BE，DE=CE.

∴AE+EC=BE+ED，即AC=BD.

例4 有兩角和一邊分別相等的兩個三角形全等嗎？若全等，則給出證明；否則，請舉出反例.

錯證：如圖6，在△ABC和△A′B′C′中，根據條件不同可分為兩種情況進行證明.

（1）∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.

（2）∵∠B=∠B′，∠C=∠C′，BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.

綜上，有兩角和一邊分別相等的兩個三角形全等.

錯因分析：本題的證明過程看似無懈可擊，而且把兩種情況（AAS，ASA）都考慮到了.但仔細分析后發現仍然錯誤，其原因是把命題中的“分別相等”當成了“對應相等”.實際上，如圖7，在△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″中，雖然∠A=∠A′=∠A″，∠C=∠C′=∠C″，BC=A′C′=A″B″，但它們卻不全等.因此，結論應是不一定全等.

例5 有兩邊和一條高對應相等的兩個三角形全等嗎？若全等，則給出證明；否則，請舉出反例.

錯證：全等.證明如下.

當高是對應相等的兩邊中一邊上的高時，如圖8，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，CD和C′D′分別是邊AB和A′B′上的高，且CD=C′D′.

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，AC=A′C′，CD=C′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠A=∠A′.

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

當高是第三邊上的高時，如圖9，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD和A′D′分別是BC和B′C′邊上的高，且AD=A′D′.

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，AC=A′C′，AD=A′D′，

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠CAD=∠C′A′D′.

同理可證∠BAD=∠B′A′D′.

∴∠BAC=∠B′A′C′.

又在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′，AC=A′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

錯因分析：本題的證明過程看似把兩種情況都考慮到了，但忽視了“三角形的高不一定在形內”這種可能性.例如，若兩個三角形一個為銳角三角形，另一個為鈍角三角形，如圖10中的△ABC與△ABC′，雖然AB=AB，AC=AC′，且它們第三邊上的高都是AD，但顯然這兩個三角形并不全等.因此，結論是不一定全等.

綜上可知，學生在證明過程中會出現各種各樣的錯誤，這是一種正常現象，是學生思維過程的真實反映.在實際教學中，教師要幫助學生找到錯誤并分析產生錯誤的原因，并將學生的這種錯誤作為一種資源，因勢利導，正確、巧妙地加以利用，糾正錯誤，使學生盡可能地減少錯誤，最終找到正確的方法，提高學習效率.