例談復(fù)習(xí)課中分類討論思想的有效滲透

陶秋霞

1 在“點(diǎn)與圓”的位置關(guān)系中滲透分類討論思想

例1 若圓O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P與圓O上的點(diǎn)的最大距離是m，最小距離是n（m>n），那么圓O的半徑是[CD#3].

師：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P與一個(gè)圓可能存在哪些位置關(guān)系？問題中的點(diǎn)P與圓O可能存在哪些位置關(guān)系？為什么？

生：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可能有三種——點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外.因?yàn)轭}中并沒有指明點(diǎn)P在圓的哪個(gè)位置，只是點(diǎn)P與圓O同處一個(gè)平面，所以點(diǎn)P與圓O也可能存在點(diǎn)P在圓O內(nèi)、在圓O上、在圓O外三種位置關(guān)系.

師：當(dāng)點(diǎn)P在圓O內(nèi)部時(shí)，如何才能找到點(diǎn)P與圓O上的點(diǎn)的最大距離與最小距離呢？請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形.

師：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上或圓O外部時(shí)，如何才能找到點(diǎn)P與圓O上的點(diǎn)的最大距離與最小距離呢？請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形.

2 在三角形與圓的位置關(guān)系中滲透分類討論思想

例2 已知圓O的內(nèi)接三角形ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3 cm，圓O的半徑為7 cm，求腰長AB.

師：由已知條件“在△ABC中，AB=AC”，可知△ABC是等腰三角形.對(duì)于等腰三角形，可以分為哪幾個(gè)類型？

生：對(duì)于腰與底邊不確定的等腰三角形，以三邊中的任意一邊作底邊，會(huì)出現(xiàn)三種情況.對(duì)于腰與底邊確定的等腰三角形，因?yàn)閮?nèi)角大小不確定，所以也可能存在三種情況，即等腰銳角三角形、等腰直角三角形、等腰鈍角三角形.

師：此題中的等腰三角形ABC可能存在哪些情況呢？為什么？

學(xué)生：此題中的等腰三角形ABC可能存在兩種情況，即等腰銳角三角形ABC和等腰鈍角三角形ABC.因?yàn)樗鼘儆谘c底邊確定，但內(nèi)角大小不確定的三角形.當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，圓心在底邊上，即圓心到底邊BC的距離為0，而題中已知圓心O到BC的距離為3 cm，所以△ABC不可能是等腰直角三角形.

師：請(qǐng)同學(xué)們分別畫出等腰銳角三角形ABC內(nèi)接于圓O和等腰鈍角三角形ABC內(nèi)接于圓O的圖形，并分別解答.

生：如圖4所示，當(dāng)△ABC是等腰銳角三角形時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.因?yàn)锳B=AC，所以弧AB等于弧AC.由垂徑定理的推論，可知AD經(jīng)過點(diǎn)

生：如圖5所示，當(dāng)△ABC是等腰鈍角三角形時(shí)，

連接OA，OB，AO與BC交于點(diǎn)D.因?yàn)锳B=AC，所以弧AB等于弧AC.根據(jù)垂徑定理的推論，得AO⊥BC.由OD＝3 cm，OA＝7 cm，得AD＝4 cm.在直角三角形OBD中，由勾股定理，得BD=

2 在直線與圓的位置關(guān)系中滲透分類討論思想

例2 如圖6所示，已知P是正比例函數(shù)y=2x圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圓P的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）.（1）當(dāng)圓P與直線x=2相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)O在⊙P上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

師：認(rèn)真閱讀題目，找出其中的確定條件與不確定條件，并說明理由.

生：正比例函數(shù)y=2x的圖象是確定的，直線x=2是確定的，因?yàn)樗鼈兊南禂?shù)都是確定的.圓P的大小是確定的，因?yàn)樗陌霃綖?.圓P的位置是不確定的，因?yàn)閳A心P是直線y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圓心可以在直線y=2x上自由運(yùn)動(dòng).

師：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？有哪些判定方法？

生：直線與圓的位置關(guān)系有三種，分別是直線與圓相離、相切、相交.判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法.第一種方法，根據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷，當(dāng)直線與圓有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓分別相離、相切或相交.第二種方法，根據(jù)d與r的關(guān)系判定，當(dāng)d>r，d=r，d

師：當(dāng)圓P在直線y=2x上從下向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓P與直線x=2依次會(huì)出現(xiàn)哪些位置關(guān)系？

生：當(dāng)點(diǎn)P從下向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓P與直線x=2依次會(huì)出現(xiàn)相離、相切、相交，再相切、再相離的位置關(guān)系.

師：也就是說，圓P與直線x=2有兩次相切的機(jī)會(huì)，設(shè)直線y=2x與直線x=2相交于點(diǎn)A，則分別是圓P在點(diǎn)A下方時(shí)和圓P在點(diǎn)A上方時(shí).請(qǐng)同學(xué)們分別畫出這種相切時(shí)的圖形，并解答.

生：如圖7所示，當(dāng)圓P在點(diǎn)A的下方與直線x=2相切時(shí)，因?yàn)橹本€y=2x與直線x=2相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），在直角三角形AOC中，tan∠AOC=2.因?yàn)閳AP與直線x=2相切，若PQ⊥AQ于點(diǎn)Q，所以O(shè)C∥PQ，可知∠AOC=∠APQ，則有tan∠AOC=tan∠APQ.因此在直角三角形APQ中，tan∠APQ=AQ∶PQ=2∶1.因?yàn)閳AP的半徑為3，即PQ=3，所以AQ=6，則CQ=2.因?yàn)辄c(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）.

生：如圖8所示，當(dāng)圓P在點(diǎn)A的上方與直線x=2相切時(shí)，在三角形APQ與三角形AP′Q′中，PQ=P′Q′=3，∠AQP=∠AQ′P′=90°，且∠PAQ=∠P′AQ′，所以△APQ≌△AP′Q′（AAS），可得AP=AP′，也就是說A是線段PP′的中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)P（-1，-2），點(diǎn)A（2，4），設(shè)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可解得a=5，b=10，所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（5，10）.

師：當(dāng)圓P沿著直線y=2x自下向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，原點(diǎn)O與圓P會(huì)出現(xiàn)哪些位置關(guān)系呢？

生：當(dāng)圓P沿首直線y=2x自下向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)依次出現(xiàn)點(diǎn)O在圓P外、在圓P上、在圓P內(nèi)，再在圓P上、在圓P外幾種情形.

師：也就是說圓P在運(yùn)動(dòng)過程中，會(huì)出現(xiàn)兩次點(diǎn)O在圓P上的情形，一種點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，另一種是點(diǎn)P在點(diǎn)O的上方時(shí).請(qǐng)同學(xué)們分別畫出這兩種情形的圖形，并解答.

生：如圖9所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為H，可得tan∠OPH＝2，從而可求出cos∠OPH，

進(jìn)而求出PH，OH，即得P點(diǎn)坐標(biāo);

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，可得點(diǎn)P′的坐標(biāo).

在本課復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)是明線，滲透分類討論思想是暗線，設(shè)置的問題由易到難，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生感悟條件不確定時(shí)分類的好處，積累運(yùn)用分類討論思想解決問題的經(jīng)驗(yàn).