“次數”，解題中的一個重要抓手

王宏平

摘 要： 本文通過三角、代數、立幾等方面的幾個例題，較深刻地闡述了“次數”在解題中的重要性，不僅對培養學生分析問題、解決問題的能力有所幫助，對提高學生的思維能力也有很大的促進作用.

關鍵詞： 次數 解題 合情推理

合情推理是指根據已有的事實、正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程.雖然合情推理得到的結論不一定正確，但若是一個問題都不能合乎情理，那么其正確的可能性恐怕就微乎其微了.因此，我們在研究問題時，可以先對解決問題思路和方法的合情合理程度進行思考，通過對問題進行合情猜測與推理，幫助我們有效地尋找到解決問題的途徑和方法.分析問題和解決問題是有一個思維過程的，解題者一般需要經歷宏觀決策、微觀處理和反饋修正三個階段.其中宏觀決策包含了分析、猜想和決策及實踐操作的過程，當實踐證明決策是正確時，就可以轉入微觀處理階段，將問題具體地給予解決，而當實踐證明決策有誤之時，就需要進行反饋修正，重新進行分析、猜想，做出新的決策，直至問題解決為止.

“次數”在分析問題和解決問題的宏觀階段就是眾多的考慮因素之一.“次數”是學生在初中學習單項式時就已了解的概念，學生對它的認識是有一定基礎的.從一元一次方程，一元二次方程，到一次函數，二次函數，再到指數函數、冪函數，學生在中學數學學習的過程中一直在和“次數”打交道，但學生對次數的理解和認識往往只停留在一個較淺顯的層面上，殊不知“次數”在解決某些數學問題時卻起到很大的作用.有時“次數”可以幫助我們理清解決問題的頭緒，幫助我們找到解決問題的途徑和方法，還可以幫助我們判斷對問題所進行的變形或轉化是否合理，從而幫助我們對于問題的解決做出更好的決策.

分析說明：此題對剛學習了兩角和與差的正、余弦的學生而言不會感覺有太大的困難.因為他們這時對三角公式的理解和掌握僅限于兩角和與差的正、余弦，所以他們很容易就想到把其中的10°角寫成30°-20°，然后利用公式展開、化簡，即可得到結果.但是，當學生學習了二倍角公式或是所有三角變換的公式之后，反而會感覺到有一定的難度.具有一定解題經驗的學生，首先想到的就是題目中出現了兩個非特殊角，而這兩個特殊角之間有著一定的關系，所以可以考慮減少非特殊角的個數（消去其中的一個），達到解決問題的目的.但他們解決問題的起步往往是二倍角公式，因為他們更多看到的是20°角是10°角的兩倍，但很快就會發現用了二倍角公式之后，此題幾乎陷入了一個死胡同，無法繼續進行下去.這時，就需要學生學會分析，找出問題的癥結，然后才能對癥下藥.“次數”在此時就起到了很好的判斷作用.站在理性的角度分析，不難看出，如果用二倍角公式將20°角展開成10°角的正、余弦，那么分子中就是一個關于10°角余弦的一次式與一個10°角正、余弦的二次式的差，而分母則是一個關于10°角正、余弦的二次齊次式，這樣的兩個式子相除得到一個常數，既不合情，又不合理.很顯然，這種變形的方向不對——決策不對，需要重新分析，重新決策.從“次數”的角度進行分析，不難發現將10°角寫成30°-20°的合理性.當我們把10°角寫成30°-20°，再利用兩角差的余弦展開后，分子就變成了一個關于20°角的正、余弦的一次齊次式，而分母也是一個關于20°角余弦的一次式，這樣的兩個式子相除得到一個常數是完全合乎情理的.按照這樣的思路，將題目中的20°角寫成30°-10°，也同樣可以使問題得到解決.這樣的分析，留給學生的就不僅僅是單純的這一問題的解決方法，更多的應該是思維層次上的變化.

例2.在△ABC中，已知a-b=ccosB-ccosA，判斷△ABC的形狀.

分析說明：解決此類問題的方法通常有兩種，一種是將條件中的角利用正、余弦定理全部轉化為邊，然后通過代數變換，得出結論；另一種是將條件中的邊全部轉化為角，然后通過三角變換，得出結論.一般情況下，兩條路都行得通，此題也不例外.若學生采用第一種解法，將角化為邊后，面對的是一個繁瑣的代數恒等式，沒有一定的運算功底是很難得到結果的.但若能指導學生在解題之初先不急于動筆運算，而是很好地觀察和分析題目中的條件，進行合情猜想，就不難發現a=b顯然是符合題意的.因此將角化為邊后，雖然代數運算量大、要求高，但最后的結果中一定包含（a-b）這個因式，因此因式分解的過程只要圍繞著（a-b）做文章就可以了.若是學生的思維能達到這個程度，即便是初中因式分解基礎稍弱的學生，也可以解決這個問題.否則，學生將會感到困難重重.若學生采用第二種解法，將條件中的邊都轉化為角，條件就被轉化為sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA，接下去的路就很難走下去了，很多學生就此作罷，實在可惜.教師應如何引導？應該說，此刻學生需要的不是解題技巧，而是一種方法上的點撥和指導.“次數”就可以很好地解決這個問題，我們只需引導學生觀察等式左、右兩邊的次數，就不難發現其不對稱性.等式的左邊是一個關于三角形內角的一次齊次式，而等式的右邊則是一個關于三角形內角的二次齊次式，解題的思路必然被引導至“能不能通過已有的知識和方法，將兩邊的次數變為一致呢？”，換句話說，能否將等式兩邊都轉化為關于三角形內角的同一次數的表達式？順著這樣的思路下去，可以發現，等式右邊的二次式要化為關于角A、B、C的一次表達式難度很大，而等式左邊則可以通過三角形三個內角之間的關系，將sinA和sinB分別改寫成sin（B+C）和sin（A+C）再展開，問題就很容易得到解決.

分析說明：臺體的體積公式，并不是教材的重點內容，公式不需要記憶.正因為如此，很多教師在教學這部分內容時，都將它一帶而過.實際上，該公式的教學時可以做點小文章，從而讓學生在分析問題和解決問題時思維能力得到提高.

在學習臺體的體積公式之前，學生已經學習了柱、錐、臺三種幾何體的側面積公式，以及柱體和錐體的體積公式.由于柱、錐、臺三種幾何體之間有著一定的聯系，即若將臺體的上底拉伸至與下底成全等圖形，則臺體將變成柱體；而若將臺的上底縮成一個點，則臺體就變成了錐體.因此，在側面積公式中，這種關系得到了充分體現.

如今，教師常感嘆于學生越來越不會想問題，解題能力也越來越弱，果真如此嗎？非也.如果教師能夠經常反思自己的教學，在教學中，能夠有意識地站在一個較高的層面上對問題加以分析，抓住一切機會對學生進行思維的訓練，那么學生在后繼學習中所面臨的困難可能就會小一些，解決問題的方法有可能就會多一些，思考問題的角度就有可能更多樣化，思維的層面也將會更高，進而成長為一個勇于思考并善于思考的智者.