一個分式不等式的簡證

陳葉

摘 要： 本文通過切線法，采用構造函數，利用一階導數較流暢地證明了文獻[1]中作者給出的一個n元分式不等式，并作合理的猜想推廣.

關鍵詞： 切線法 構造函數 n元分式不等式 猜想推廣

《數學通報》2011第6期陳遠新，王勇[1]對《中學數學》2007.7，P41的一個定理：若a，b，c，d∈R■，a+b+c+d=1，則■+■+■+■≤■，給出了一個類似的n元不等式：

命題：若x■，x■，…，x■是非負實數，■x■=1，n≥3，求證：■■≤■.這是一個相當優美的n元分式不等式，但對它的證明有較大的難度.文獻[1]通過兩個引理，

引理1：若n≥4，且0≤x≤1或n=3，且0≤x≤0.7，則■≤■[（n■+5）-4nx].

引理2：若0.7≤x≤1，則f（x）=■+■<■.

再利用凸函數理論（琴生不等式）證明了這一命題，但證法冗長復雜且不自然流暢.本文采用構造函數利用一階導數，利用切線法[2]給出它的簡證并作猜想推廣，供參考.

證明：設f（x）=■（0≤x≤1），f′（x）=-■，

x=■時，f（■）=■=■，k=f′（■）=■=-■，

y-■=-■（x-■），y=-■x+■+■=-■x+■

記g（x）=■+■x-■（x∈[0，1]），g′（x）=■+■=■

設h（x）=n■（1+x■）■-x（n■+1）■，0≤x≤1，h′（x）=3n■（1+x■）■·2x-（n■+1）■

又h′（■）=3n■（1+■）■·■-（bn■+1）■=（n■+1）■（5-n■）

當n≥3時，h′（■）<0，又∵h′（x）在[0，1]上單調遞增，∴x∈（0，■）時，h′（x）<0，h（x）在（0，■）上單調遞減.∵h（■）=0，∴x∈（0，■）時，h（x）>0，g′（x）>0.

（1）當h′（1）=24n■-（n■+1）■≤0時，h′（x）在（■，1）上為負.

∴h（x）在（■，1）上也單調遞減，∵h（■）=0，∴h（x）<0，則x∈（■，1）時，g′（x）<0，從而可知g（x）在（0，■）上遞增，在（■，1）上遞減，當且僅當x=■時，g（x）■=g（■）=0.

（2）當h′（1）>0時，令h′（α）=0，則h′（x）在（■，α）上為負，在（α，1）上為正，從而h（x）在（■，α）上遞減，在（α，1）上遞增.令h（β）=0，則h（x）的圖像如圖1，從而可知，g（x）的圖像如圖2.

圖1 圖2

又∵g（■）=0，g（1）=■+■-■=■<0（n≥4），

∴當且僅當x=■時，g（x）■=g（■）=0，綜合①②，當0≤x≤1時，■+■x-■≤0，

即■≤-■+■.

∵x■∈[0，1]且■x■=1，∴■■≤-■■x■+■=■=■.

由以上證明過程可知，當且僅當x■=x■=…=x■=■時，取“=”，同時只有在n≥4時不等式成立，又n=3時，易證不等式成立，∴命題成立.由此，將這一命題作進一步猜想推廣.

命題1：若x■，x■…x■是非負實數，■x■=1，n≥3，則■■≤■（k≥2）.

命題2：若x■，x■…x■是非負實數，■x■=1，n≥3，則■■≤■（k≥2）.

命題3：若x■，x■…x■是非負實數，■x■=1，n≥3，則■■≤■（k≥2，t≥1）.

參考文獻：

[1]陳遠新，王勇.一個n元分式不等式.數學通報，2011.6.

[2]周斌.構造切線證明一類對稱不等式.中學數學研究，2011.1.