2014年高考廣東理科數學第21題評析

林偉雄

牽動高三老師和莘莘學子的2014年高考已經落下帷幕，師生高度關注的高考題目是教師深刻反思的良好素材.下面，我們選取廣東高考理科數學最后一題進行評析，以期對高考備考和平時教學有所啟示.作為理科數學的壓軸題，全省平均得分不到1分.如果同學們能熟悉常用的數學思想，就能轉換自己熟悉的題型，從而找到解題的突破口.

題目：設函數 f（x）=，其中k<-2.

（1）求函數的定義域D（用區間表示）；

（2）討論函數f（x）在D上的單調性；

（3）若k<-6，求D上滿足條件f（x）>f（1）的x的集合（用區間表示）.

分析：初看這題，同學們感覺很難，為什么呢？一是分母有根號，二是根號里是一個4次多項式，三是這個多項式還有參數.基于這三個原因，很多同學一看題目就放棄了.當我們看到一道陌生的問題時，首先想一想：我做過這類題目嗎？我能轉化為一個以前做過的題嗎？認真看看，發現根號里的代數式有相同的東西，就是x2+2x+k，如果用一個字母代替這個式子，就是同學們熟悉的一個二次多項式了，很容易對它進行因式分解.就是這個小小的整體代換，我們把一個4次不等式問題轉化為了2次不等式問題，這就是該題的突破口.第二問，直接對函數求導顯然太復雜，我們可以把問題轉化一下，把這個復雜函數的單調性問題化為復合函數：y=，u=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的單調性問題，再用求導的辦法解決就不難了，這樣還是體現了轉化的思想.

第（1）問解析：

這一問考生基本上都可以列出不等式：

（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0.

如何解這個不等式？考生可能會出現如下四種解法：

解法一（換元法）：設u=x2+2x+k，則u2+2u-3>0.

解得：u<-3或u>1.再由x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1，解得：x<-1-或x>-1+或-1-

∴D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

解法二（圖像法）：因式分解能力好的考生可能會想到如下解法：

（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0

?（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0

?x2+2x+k-1>0，

x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1<0，

x2+2x+k+3<0.

畫出函數 g（x）=x2+2x+k+3和h（x）=x2+2x+k-1的草圖： （其中x1=-1-，x2=-1+， x3=-1-， x4=-1+）.

由圖像可得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+， +∞）.

解法三（分析法）：觀察能力和推理能力好的考生可能會想到如下這種很有智慧的解法：

顯然x2+2x+k+3>x2+2x+k-1，

∴（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0

?（x2+2x+k+3）（x2+2x+k-1）>0

?x2+2x+k+3>0或x2+2x+k-1<0.

解不等式得，D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

解法四（根軸法）：

（x2+2x+k-1）（x2+2x+k+3） >0

?[x-（-1-）][x-（-1-）][x-（-1+）][x-（-1+）]>0

?x<-1-或-1--1+，

∴ D=（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.

點評：這一小問考生容易上手，不同水平層次的考生可以找到適合自己的解法，體現轉化途徑的多樣性.其中解法一非常容易想到，體現了通過換元到達降冪的思想，把解四次不等式轉化為解三個二次不等式問題；解法二體現了利用因式分解達到降冪的目的，把解四次不等式轉化為解兩個二次不等式組的問題.體現了整體意識和數形結合思想；解法三是最有智慧的解法，能用這個方法的考生觀察和推理意識必然很強，在緊張的高考中，能冷靜地觀察，利用不等式的特殊結構來尋找最優的解題過程，實屬難得，體現了較高的數學素養；解法四是處理高次多項式方程的一個通法，但是這個方法要求把多項式分解成一次多項式或者是二次無零點的多項式的乘積，對代數式的變形能力要求比較高，由于該題目的特殊結構，這個方法使用的十分順利.

第（2）問解析：

設 g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3，這一小問關鍵是討論該函數的單調性，體現了化歸的思想.這是一個4次多項式，考生很自然會想到用導數來解決單調性問題.于是求導：g′（x）=2（x2+2x+k）（2x+2）+2（2x+2）=4（x+1）（x2+2x+k+1）.

此時，在確定該導函數的正負又面臨一個解高次多項式不等式的問題，有兩種解法：圖像法和根軸法（參見第（1）問解析）.

g′（x）>0?x∈D1=（-1--1）∪（-1++∞）；

g′（x）<0?x∈D2=（-∞，-1-∪（-1，-1+），

D∩D1=（-1-，-1）∪（-1+，+∞）；

D∩D2=（-∞，-1-）∪（-1，-1+）.

由復合函數的單調性知，f（x）在區間（-1-，-1）和（-1+，+∞）遞減；在區間（-∞，-1-）和（-1，-1+）遞增.

點評：這一小問的關鍵是把原函數的單調性問題轉化為g（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3的單調性問題.完成這個轉化并將該函數求導，就可以得到一部分分數.但是解不等式g′（x）>0或g′（x）<0時，第一問的換元法就行不通了，因此這個不等式雖然次數沒有第一問的高，但是實際上把只會用換元法的考生當在正確解答之外.

在求D∩D1和D∩D2時，實際上是求不等式組的解集，一般是利用數軸來求解，參數k對點在數軸的相對位置的確定起了干擾影響，在畫草圖的時候，可以把k具體化，賦予它一個滿足條件（k<-6）的值，突破難點.

第（3）問解析：

解法一（不等式觀點）：把f（x）>f（1）看成是純粹解不等式的問題：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集為： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函數觀點）：把f（x）>f（1）看成是函數值大小比較問題.這個解法需要第（2）小問的結論作為基礎，根據函數的單調性，畫出函數f（x）的草圖

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+當k<-6時，f（x）圖像大致如下：

由圖像可得f（x）>f（1）的解集為：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

點評：解法一從不等式觀點來解決這個小問，對這個題目來說是有可取之處的，理由是解決了第一小問之后，如果第二小問沒有做出來，仍然可以作出第三小問.把問題轉化為不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小問的四種方法都可以使用.

解法二我想應該是體現了命題者的意圖.該題的三個小問環環相扣，正是研究函數的一種方法：確定定義域→討論函數的單調性→畫出函數的草圖→利用函數及其圖像解決問題.這個解法非常直觀，是中學解不等式的常用方法，體現了函數，方程，不等式的內在聯系.

從今年的高考壓軸題可以看出，高考趨向于考查數學思想方法，單純靠記常規題型的解題步驟，利用題海戰術來提高成績是不可取的.因此，同學們在高三的復習中，要多問一些為什么，多思考如何把一些復雜的，陌生的的問題轉化為簡單的，熟悉的問題.學會了轉換和化歸等思想方法，同學們方能以不變應萬變，真正提高解題能力.

（作者單位：華南師大附中汕尾學校）

責任編校 徐國堅endprint

在求D∩D1和D∩D2時，實際上是求不等式組的解集，一般是利用數軸來求解，參數k對點在數軸的相對位置的確定起了干擾影響，在畫草圖的時候，可以把k具體化，賦予它一個滿足條件（k<-6）的值，突破難點.

第（3）問解析：

解法一（不等式觀點）：把f（x）>f（1）看成是純粹解不等式的問題：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集為： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函數觀點）：把f（x）>f（1）看成是函數值大小比較問題.這個解法需要第（2）小問的結論作為基礎，根據函數的單調性，畫出函數f（x）的草圖

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+當k<-6時，f（x）圖像大致如下：

由圖像可得f（x）>f（1）的解集為：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

點評：解法一從不等式觀點來解決這個小問，對這個題目來說是有可取之處的，理由是解決了第一小問之后，如果第二小問沒有做出來，仍然可以作出第三小問.把問題轉化為不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小問的四種方法都可以使用.

解法二我想應該是體現了命題者的意圖.該題的三個小問環環相扣，正是研究函數的一種方法：確定定義域→討論函數的單調性→畫出函數的草圖→利用函數及其圖像解決問題.這個解法非常直觀，是中學解不等式的常用方法，體現了函數，方程，不等式的內在聯系.

從今年的高考壓軸題可以看出，高考趨向于考查數學思想方法，單純靠記常規題型的解題步驟，利用題海戰術來提高成績是不可取的.因此，同學們在高三的復習中，要多問一些為什么，多思考如何把一些復雜的，陌生的的問題轉化為簡單的，熟悉的問題.學會了轉換和化歸等思想方法，同學們方能以不變應萬變，真正提高解題能力.

（作者單位：華南師大附中汕尾學校）

責任編校 徐國堅endprint

在求D∩D1和D∩D2時，實際上是求不等式組的解集，一般是利用數軸來求解，參數k對點在數軸的相對位置的確定起了干擾影響，在畫草圖的時候，可以把k具體化，賦予它一個滿足條件（k<-6）的值，突破難點.

第（3）問解析：

解法一（不等式觀點）：把f（x）>f（1）看成是純粹解不等式的問題：

f（x）>f（1）?（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3<（5+k）2+2（5+k）-3

?（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0（∵k<-6，∴x2+2x-3>x2+2x+2k+3

?x2+2x-3>0，

x2+2x+2k+3<0

?x∈D3=（-1-，-3）∪（1，-1+）.

f（x）>f（1）的解集為： D∩D3，即：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

解法二（函數觀點）：把f（x）>f（1）看成是函數值大小比較問題.這個解法需要第（2）小問的結論作為基礎，根據函數的單調性，畫出函數f（x）的草圖

（3）令f（x）=f（1）解得x=-1-或-3或1或-1+當k<-6時，f（x）圖像大致如下：

由圖像可得f（x）>f（1）的解集為：

（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.

點評：解法一從不等式觀點來解決這個小問，對這個題目來說是有可取之處的，理由是解決了第一小問之后，如果第二小問沒有做出來，仍然可以作出第三小問.把問題轉化為不等式（x2+2x-3）（x2+2x+2k+3）<0后，第一小問的四種方法都可以使用.

解法二我想應該是體現了命題者的意圖.該題的三個小問環環相扣，正是研究函數的一種方法：確定定義域→討論函數的單調性→畫出函數的草圖→利用函數及其圖像解決問題.這個解法非常直觀，是中學解不等式的常用方法，體現了函數，方程，不等式的內在聯系.

從今年的高考壓軸題可以看出，高考趨向于考查數學思想方法，單純靠記常規題型的解題步驟，利用題海戰術來提高成績是不可取的.因此，同學們在高三的復習中，要多問一些為什么，多思考如何把一些復雜的，陌生的的問題轉化為簡單的，熟悉的問題.學會了轉換和化歸等思想方法，同學們方能以不變應萬變，真正提高解題能力.

（作者單位：華南師大附中汕尾學校）

責任編校 徐國堅endprint