面積法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

姚婉若

所謂面積法就是利用幾何圖形中的邊、角與面積之間的關(guān)系，運用代數(shù)手段完成幾何中的推理過程的方法.用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握.可以用來證明線段的數(shù)量關(guān)系、圖形的分割、求線段的比和面積等.在數(shù)學(xué)解題過程中，面積法有著廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)：①等積定理：兩個全等圖形的面積相等；等底等高的兩個三角形的面積相等；整個圖形的面積等于其各部分面積之和.②面積比定理：兩個三角形面積之比等于它們的底、高之積的比；等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對應(yīng)邊的平方比.

在中學(xué)階段，面積法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點.現(xiàn)分類舉例如下，希望同學(xué)們在今后的做題中有所啟發(fā).

一、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的分割

例：如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有？搖 ？搖條面積等分線，平行四邊形有？搖 ？搖條面積等分線.

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

（3）如圖②所示，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S■

圖① 圖②

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以有3條；對于平行四邊形，只要過它的兩條對角線的交點的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分，所以應(yīng)該有無數(shù)條.

（2）由（1）知，過矩形的兩條對角線的交點的直線都可以把矩形的面積分成2個相等的部分，所以圖①中過兩個矩形的對角線的交點的直線就是該圖形的一條面積等分線.

（3）能.過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高相等”，進(jìn)一步得到S■=S■，然后由“割補法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要畫出四邊形ABCD的面積等分線就轉(zhuǎn)化為畫出△AED的面積等分線.

解答：（1）三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.

（2）如下圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點的直線即把這個圖形分成2個相等的部分，即OO′為這個圖形的一條面積等分線.

（3）如下圖②所示.能，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.

∵BE∥AC

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面積等分線是△AED中DE邊上的中線

∵S■>S■

所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.

圖① 圖②

二、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的計算

例：如圖，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點，點C，D為半圓的三等分點，求陰影部分的面積.

分析：本題關(guān)鍵在于證得CD∥AB后就可根據(jù)“同底等高”得到S■=S■，然后由“割補法”得到S■=S■.

解：連接OC，OD，CD，

∵C、D是半圓三等分點

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

點評：等面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，它所起的往往是解題過程中的過渡作用，這一思想要仔細(xì)體會.

三、利用等面積計算線段的長度

有的幾何問題，雖然沒有直接涉及面積，但若靈活地運用面積知識解答，則往往會出奇制勝，事半功倍.

例：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6、8，AE⊥BC，則AE的長是多少？

解：由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面積的可分性解題

用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體性等于部分之和，建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

例：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E為對角線BD上的一點，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，求出FM+FN的長.

圖（1）

解：如圖（1），過E點作EH⊥BC，垂足為H，連接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求證：等邊三角形內(nèi)任一點到各邊的距離的和是一個定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形內(nèi)任一點，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F(xiàn)，G是垂足.求證：DE+DF+DG是一個定值.

證明：連接DA，DB，DC，設(shè)△ABC的邊長為a，高為h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等邊三角形的高h(yuǎn)是一個定值

∴DE+DF+DG是一個定值

五、利用面積的可比性解題

這里指的是等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的面積比等于其對應(yīng)底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求證：■=■.

分析：這道題看起來很一般，然而證起來卻有點難，

如果用“面積法”就較容易得證.

解：如下圖

∵△ABD與△ACD中，

BD邊上的高與CD邊上的高是同高

∴■=■

過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如圖，已知在△ABC中，點D在BC邊上，BD∶CD=2∶1，E為AD的中點，連接BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

分析：這道題要利用三角形的面積公式或面積關(guān)系，把線段的比轉(zhuǎn)化為面積的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

設(shè)S■=x，則S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E為AD的中點

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

設(shè)S■=x，則S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化簡得x=■y

∴■=■=■

從上面的例題可以看出面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段.靈活運用知識點，巧妙應(yīng)用面積法往往能化難為易，化繁為簡.

所謂面積法就是利用幾何圖形中的邊、角與面積之間的關(guān)系，運用代數(shù)手段完成幾何中的推理過程的方法.用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握.可以用來證明線段的數(shù)量關(guān)系、圖形的分割、求線段的比和面積等.在數(shù)學(xué)解題過程中，面積法有著廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)：①等積定理：兩個全等圖形的面積相等；等底等高的兩個三角形的面積相等；整個圖形的面積等于其各部分面積之和.②面積比定理：兩個三角形面積之比等于它們的底、高之積的比；等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對應(yīng)邊的平方比.

在中學(xué)階段，面積法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點.現(xiàn)分類舉例如下，希望同學(xué)們在今后的做題中有所啟發(fā).

一、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的分割

例：如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有？搖 ？搖條面積等分線，平行四邊形有？搖 ？搖條面積等分線.

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

（3）如圖②所示，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S■

圖① 圖②

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以有3條；對于平行四邊形，只要過它的兩條對角線的交點的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分，所以應(yīng)該有無數(shù)條.

（2）由（1）知，過矩形的兩條對角線的交點的直線都可以把矩形的面積分成2個相等的部分，所以圖①中過兩個矩形的對角線的交點的直線就是該圖形的一條面積等分線.

（3）能.過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高相等”，進(jìn)一步得到S■=S■，然后由“割補法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要畫出四邊形ABCD的面積等分線就轉(zhuǎn)化為畫出△AED的面積等分線.

解答：（1）三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.

（2）如下圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點的直線即把這個圖形分成2個相等的部分，即OO′為這個圖形的一條面積等分線.

（3）如下圖②所示.能，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.

∵BE∥AC

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面積等分線是△AED中DE邊上的中線

∵S■>S■

所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.

圖① 圖②

二、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的計算

例：如圖，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點，點C，D為半圓的三等分點，求陰影部分的面積.

分析：本題關(guān)鍵在于證得CD∥AB后就可根據(jù)“同底等高”得到S■=S■，然后由“割補法”得到S■=S■.

解：連接OC，OD，CD，

∵C、D是半圓三等分點

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

點評：等面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，它所起的往往是解題過程中的過渡作用，這一思想要仔細(xì)體會.

三、利用等面積計算線段的長度

有的幾何問題，雖然沒有直接涉及面積，但若靈活地運用面積知識解答，則往往會出奇制勝，事半功倍.

例：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6、8，AE⊥BC，則AE的長是多少？

解：由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面積的可分性解題

用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體性等于部分之和，建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

例：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E為對角線BD上的一點，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，求出FM+FN的長.

圖（1）

解：如圖（1），過E點作EH⊥BC，垂足為H，連接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求證：等邊三角形內(nèi)任一點到各邊的距離的和是一個定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形內(nèi)任一點，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F(xiàn)，G是垂足.求證：DE+DF+DG是一個定值.

證明：連接DA，DB，DC，設(shè)△ABC的邊長為a，高為h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等邊三角形的高h(yuǎn)是一個定值

∴DE+DF+DG是一個定值

五、利用面積的可比性解題

這里指的是等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的面積比等于其對應(yīng)底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求證：■=■.

分析：這道題看起來很一般，然而證起來卻有點難，

如果用“面積法”就較容易得證.

解：如下圖

∵△ABD與△ACD中，

BD邊上的高與CD邊上的高是同高

∴■=■

過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如圖，已知在△ABC中，點D在BC邊上，BD∶CD=2∶1，E為AD的中點，連接BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

分析：這道題要利用三角形的面積公式或面積關(guān)系，把線段的比轉(zhuǎn)化為面積的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

設(shè)S■=x，則S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E為AD的中點

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

設(shè)S■=x，則S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化簡得x=■y

∴■=■=■

從上面的例題可以看出面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段.靈活運用知識點，巧妙應(yīng)用面積法往往能化難為易，化繁為簡.

所謂面積法就是利用幾何圖形中的邊、角與面積之間的關(guān)系，運用代數(shù)手段完成幾何中的推理過程的方法.用面積法一般可不添或少添輔助線，證法簡潔，易于接受和掌握.可以用來證明線段的數(shù)量關(guān)系、圖形的分割、求線段的比和面積等.在數(shù)學(xué)解題過程中，面積法有著廣泛的應(yīng)用.

應(yīng)用面積法解題的理論依據(jù)：①等積定理：兩個全等圖形的面積相等；等底等高的兩個三角形的面積相等；整個圖形的面積等于其各部分面積之和.②面積比定理：兩個三角形面積之比等于它們的底、高之積的比；等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；相似三角形（多邊形）面積之比等于它們對應(yīng)邊的平方比.

在中學(xué)階段，面積法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的解題方法，并且具有解題便捷快速、簡單易懂等特點.現(xiàn)分類舉例如下，希望同學(xué)們在今后的做題中有所啟發(fā).

一、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的分割

例：如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.

（1）三角形有？搖 ？搖條面積等分線，平行四邊形有？搖 ？搖條面積等分線.

（2）如圖①所示，在矩形中剪去一個小正方形，請畫出這個圖形的一條面積等分線.

（3）如圖②所示，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S■

圖① 圖②

分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以有3條；對于平行四邊形，只要過它的兩條對角線的交點的直線都可以把平行四邊形的面積分成2個相等的部分，所以應(yīng)該有無數(shù)條.

（2）由（1）知，過矩形的兩條對角線的交點的直線都可以把矩形的面積分成2個相等的部分，所以圖①中過兩個矩形的對角線的交點的直線就是該圖形的一條面積等分線.

（3）能.過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.那么可以得到“△ABC和△AEC的公共邊AC上的高相等”，進(jìn)一步得到S■=S■，然后由“割補法”可以求得S■=S■+S■=S■+S■=S■，所以要畫出四邊形ABCD的面積等分線就轉(zhuǎn)化為畫出△AED的面積等分線.

解答：（1）三角形有3條面積等分線，平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.

（2）如下圖①所示：連接2個矩形的對角線的交點的直線即把這個圖形分成2個相等的部分，即OO′為這個圖形的一條面積等分線.

（3）如下圖②所示.能，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.

∵BE∥AC

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■+S■=S■+S■=S■

∴面積等分線是△AED中DE邊上的中線

∵S■>S■

所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.

圖① 圖②

二、利用等面積解決有關(guān)圖形面積的計算

例：如圖，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點，點C，D為半圓的三等分點，求陰影部分的面積.

分析：本題關(guān)鍵在于證得CD∥AB后就可根據(jù)“同底等高”得到S■=S■，然后由“割補法”得到S■=S■.

解：連接OC，OD，CD，

∵C、D是半圓三等分點

∴∠AOC=∠DOB=∠COD=60°

又OC=OD

∴△OCD是等邊三角形，

∴∠CDO=60°

∴∠CDO=∠DOB=60°

∴CD∥AB

∴根據(jù)同底等高可得S■=S■

∴S■=S■=■=■

∴S■=S■

點評：等面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，它所起的往往是解題過程中的過渡作用，這一思想要仔細(xì)體會.

三、利用等面積計算線段的長度

有的幾何問題，雖然沒有直接涉及面積，但若靈活地運用面積知識解答，則往往會出奇制勝，事半功倍.

例：如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6、8，AE⊥BC，則AE的長是多少？

解：由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=■AC=3，OB=■BD=4

在Rt△AOB中，AB=■=■=5

∴BC=AB=5

S■=■·BC·AE=■·AC·OB

∴5AE=6×4

∴AE=■

四、利用面積的可分性解題

用面積的可分性解題，一般要將圖形分成若干個小三角形，利用其整體性等于部分之和，建立關(guān)于條件和結(jié)論的關(guān)系式，從而方便快捷地解決問題.

例：如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E為對角線BD上的一點，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，求出FM+FN的長.

圖（1）

解：如圖（1），過E點作EH⊥BC，垂足為H，連接BF

∵在Rt△BEH中BE=BC=3，∠EBH=45°

∴EH=■

∵S■+S■=S■

∴■BE×FN+■BC×FM=■BC×EH

∵BE=BC

∴FN+FM=EH=■

例：求證：等邊三角形內(nèi)任一點到各邊的距離的和是一個定值.

已知：△ABC中，AB=BC=AC，D是形內(nèi)任一點，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E，F(xiàn)，G是垂足.求證：DE+DF+DG是一個定值.

證明：連接DA，DB，DC，設(shè)△ABC的邊長為a，高為h

∵S■=S■+S■+S■

∴■ah=■a（DE+DF+DG）

∴DE+DF+DG=h

∵等邊三角形的高h(yuǎn)是一個定值

∴DE+DF+DG是一個定值

五、利用面積的可比性解題

這里指的是等底不等高的兩三角形面積的比等于其對應(yīng)高的比，等高而不等底的面積比等于其對應(yīng)底的比.

例：在△ABC中，已知AD平分∠BAC，

求證：■=■.

分析：這道題看起來很一般，然而證起來卻有點難，

如果用“面積法”就較容易得證.

解：如下圖

∵△ABD與△ACD中，

BD邊上的高與CD邊上的高是同高

∴■=■

過D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F

又∵AD平分∠BAC

∴DE=DF

∴■=■=■

∴■=■

例：如圖，已知在△ABC中，點D在BC邊上，BD∶CD=2∶1，E為AD的中點，連接BE并延長交AC于F，求AF∶FC.

分析：這道題要利用三角形的面積公式或面積關(guān)系，把線段的比轉(zhuǎn)化為面積的比.

解：∵△EDC和△BED是等高三角形

∴■=■=2

設(shè)S■=x，則S■=2x

∵△EDC和△BED是等高三角形

E為AD的中點

∴S■=S■=2x

同理可得S■=S■=x

設(shè)S■=x，則S■=x-y，S■=2x+（x-y）=3x-y

S■=2x+x+y=3x+y

∵△ABF和△CBF是等高三角形

∴■=■=■

同理可得■=■=■

∴■=■

化簡得x=■y

∴■=■=■

從上面的例題可以看出面積法是數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛的一種重要方法，面積與面積、面積與線段的互相轉(zhuǎn)化是面積法解題的重要手段.靈活運用知識點，巧妙應(yīng)用面積法往往能化難為易，化繁為簡.