以三視圖為載體，培養學生空間想象能力

黃結偉

摘 要： 立體幾何是數學高考中的重點內容，空間想象力薄弱的文科學生的立體幾何比較差.本文主要探究如何通過三視圖培養學生的空間想象能力，從而強化立體幾何的復習效果.

關鍵詞： 立體幾何 三視圖 空間想象能力

立體幾何是數學高考中的重點內容.作為一線老師，我們應該如何抓好立體幾何的高考復習呢？從2008年開始，高考對于學生空間想象能力的考查有所加強，加大了深度和力度，而空間想象能力正是學生最缺乏的.所以要想復習好立體幾何，就要培養學生的空間想象能力.

由于筆者教文科，因此就文科班的教學談談復習體會與反思.在文科班，立體幾何題的得分率往往較低.經過了解，發現學生三視圖看不懂，更別說識別出它是什么.于是，筆者上第一節立體幾何的復習課，就以最常規的空間幾何體，讓學生熟悉后再展開.天天拿著幾何模型上課，一個星期后，再讓他們想象出相應的幾何體的直觀圖.學生對正三棱柱特別頭疼，正規地放著感覺非常順，但是將它推倒在地上，就完全卡死了，這說明學生的空間想象能力需要加強.在上課的時候，針對他們這個特點，專門設計一些不常規的放置方法，進一步增強學生的空間想象能力。對幾何體進行截割后，讓學生研究其三視圖、體積，以及一些線面的位置關系.針對學生存在的一系列問題，筆者準備了以下內容.

（1）讓學生觀察正方體的三視圖是如何得到的.

（2）在正方體中，用面A■BC■截取得到三棱錐A■-B■C■B的三視圖.

（3）畫出四棱錐D■-ABCD的三視圖.

練習1：畫出被截面截后的兩部分的幾何體的三視圖.

練習2：已知某幾何體的正視圖、側視圖均是以2為邊長的等邊三角形，俯視圖是圓，求出該幾何體的表面積和體積.

重點梳理：圓錐的側面積公式與扇形的面積公式.

練習3：已知正三棱柱的所有棱長都為2，請畫出它的三視圖，以及求出它的表面積和體積.

重點強調：正三棱柱的側視圖的形狀.

變式1：已知A■B■=4，AA■=6，則正三棱柱的表面積和體積分別是？搖？搖？搖 ？搖.

變式2：已知正三棱柱，請畫出它的三視圖，以及求出表面積和體積.

練習4：側棱長都為6，P點的投影落在矩形ABCD的中心上，請畫出三視圖

重點梳理：正視圖、側視圖的形狀.

變式1：已知正四棱錐的高為4，底面邊長為2，則它的側面積是？搖 ？搖？搖？搖，體積是？搖？搖？搖 ？搖.

變式2：已知正四棱錐的側棱長均為4，底面邊長為2，則它的側面積是？搖 ？搖？搖？搖，體積是？搖？搖？搖 ？搖.

綜合練習：

舉一反三：

1.一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示（單位：m）：

（1）試畫出它的直觀圖；

（2）求它的表面積和體積.

解：（1）直觀圖如圖所示.

（2）由三視圖可知，該幾何體是長方體被截去一個角，且該幾何體的體積是以A■A，A■D■，A■B■為棱的長方體體積的■.

在直角梯形AA■B■B中，作BEA■B■，則AA■EB是正方形，EA■=BE=1.

在Rt中，BE=1，EB■=1，BB■=■.

幾何體的表面積S=S■+2S■+S■+S■+S■=1+2×■×（1+2）×1+1×■+1+1×2=7+■（m■）

幾何體的體積V=■×1×2×1=■（m■）.

該幾何體的表面積為（7+■）m■，體積為■m■.

別解：以上是用割補法的思想解題.有的學生想到其實這個幾何體就是一個四棱柱，是以直角梯形AA■B■B為底面的直四棱柱.

這個題目帶給學生的反思是：一個幾何體可以由不同的角度去看的，再復雜的組合體也是由簡單的面組合在一起的.

2.（2007年高考海南卷）已知某幾何體三視圖如下所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm）可得這個幾何體的體積是？搖？搖？搖？搖.

學生在做這題時，非常容易得出底面是正方形，也知道是四棱錐，但該棱錐頂點的位置就不容易確定了，這也是這道高考題的難點.把幾何體還原后，找到高，答案就出來了.有學生就覺得好像不用還原，也可以把答案做出來.首先這是四棱錐，底面是正方形，邊長是20.由于正視圖和側視圖的高反映的就是幾何體的高度，因此高就是20，這樣很快就可以得出答案.完全正確，于是，筆者把這種方法加以推廣，學生覺得很容易上手.有些時候學生的想法是要挖掘的，更需要得到老師的肯定和表揚.

經過這樣的梳理，學生就會對自己存在的問題一目了然，然后對癥下藥.筆者要求他們對越熟悉的幾何體，就越應該從不同角度研究它們.從對2009年全國各地高考試題分析，立體幾何的題型一般都是1個解答題，1～2個填空或選擇題，考查的分數基本上都在17～23分.立體幾何選擇題與填空題的難度設計均為容易題或中檔題，解答題通常也在前三題，大多數以中檔題給出。筆者給學生分析立體幾何的重要性，鼓勵他們努力解出這些近20分的題.讓學生做到考點心中有數，要掌握幾何體的中心投影、平行投影，由幾何體得正視圖、俯視圖和側視圖，以及依據三視圖還原幾何體等，學會讀圖、用圖、作圖.讓學生剖析自身所存在的理解問題，把它們一一突破.三視圖中，學生最容易錯的就是側視圖.筆者告訴他們，看到的不一定是真實的，要讓自己的眼睛有穿透力.只有想通這點，三視圖才能有所突破，空間想象能力才能提高.

空間想象力的培養不是一朝一夕的事，在教學過程中，可通過“講練結合”，以循序漸進的方式進行培養，使每個學生頭腦中建立起一座“空間骨架”，會看圖、想圖、畫圖，逐步增強學生的空間想象能力.多與學生進行交流，關注學生的學習與心理，提高學生的學習積極性，讓更多的學生樂于學數學，培養他們學好數學的自信心.

在2010年廣州一模的文科試卷中，立體幾何考查了一道小題、一道大題，分別是第5和第17題，筆者所教的班級第5題的得分是3.55，第17題的得分是6.925.全市的第5題的平均分是3.01，第17題的平均分是6.83.在筆者和學生的共同努力下，學生的立體幾何成績取得了進步，這是來之不易的，我們都特別珍惜，同時特別受鼓舞.空間想象能力的培養，仍然是立體幾何復習的一大難題，但只要愿意花時間探究復習的方法，不斷地完善，就會獲益無窮.endprint

摘 要： 立體幾何是數學高考中的重點內容，空間想象力薄弱的文科學生的立體幾何比較差.本文主要探究如何通過三視圖培養學生的空間想象能力，從而強化立體幾何的復習效果.

關鍵詞： 立體幾何 三視圖 空間想象能力

立體幾何是數學高考中的重點內容.作為一線老師，我們應該如何抓好立體幾何的高考復習呢？從2008年開始，高考對于學生空間想象能力的考查有所加強，加大了深度和力度，而空間想象能力正是學生最缺乏的.所以要想復習好立體幾何，就要培養學生的空間想象能力.

由于筆者教文科，因此就文科班的教學談談復習體會與反思.在文科班，立體幾何題的得分率往往較低.經過了解，發現學生三視圖看不懂，更別說識別出它是什么.于是，筆者上第一節立體幾何的復習課，就以最常規的空間幾何體，讓學生熟悉后再展開.天天拿著幾何模型上課，一個星期后，再讓他們想象出相應的幾何體的直觀圖.學生對正三棱柱特別頭疼，正規地放著感覺非常順，但是將它推倒在地上，就完全卡死了，這說明學生的空間想象能力需要加強.在上課的時候，針對他們這個特點，專門設計一些不常規的放置方法，進一步增強學生的空間想象能力。對幾何體進行截割后，讓學生研究其三視圖、體積，以及一些線面的位置關系.針對學生存在的一系列問題，筆者準備了以下內容.

（1）讓學生觀察正方體的三視圖是如何得到的.

（2）在正方體中，用面A■BC■截取得到三棱錐A■-B■C■B的三視圖.

（3）畫出四棱錐D■-ABCD的三視圖.

練習1：畫出被截面截后的兩部分的幾何體的三視圖.

練習2：已知某幾何體的正視圖、側視圖均是以2為邊長的等邊三角形，俯視圖是圓，求出該幾何體的表面積和體積.

重點梳理：圓錐的側面積公式與扇形的面積公式.

練習3：已知正三棱柱的所有棱長都為2，請畫出它的三視圖，以及求出它的表面積和體積.

重點強調：正三棱柱的側視圖的形狀.

變式1：已知A■B■=4，AA■=6，則正三棱柱的表面積和體積分別是？搖？搖？搖 ？搖.

變式2：已知正三棱柱，請畫出它的三視圖，以及求出表面積和體積.

練習4：側棱長都為6，P點的投影落在矩形ABCD的中心上，請畫出三視圖

重點梳理：正視圖、側視圖的形狀.

變式1：已知正四棱錐的高為4，底面邊長為2，則它的側面積是？搖 ？搖？搖？搖，體積是？搖？搖？搖 ？搖.

變式2：已知正四棱錐的側棱長均為4，底面邊長為2，則它的側面積是？搖 ？搖？搖？搖，體積是？搖？搖？搖 ？搖.

綜合練習：

舉一反三：

1.一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示（單位：m）：

（1）試畫出它的直觀圖；

（2）求它的表面積和體積.

解：（1）直觀圖如圖所示.

（2）由三視圖可知，該幾何體是長方體被截去一個角，且該幾何體的體積是以A■A，A■D■，A■B■為棱的長方體體積的■.

在直角梯形AA■B■B中，作BEA■B■，則AA■EB是正方形，EA■=BE=1.

在Rt中，BE=1，EB■=1，BB■=■.

幾何體的表面積S=S■+2S■+S■+S■+S■=1+2×■×（1+2）×1+1×■+1+1×2=7+■（m■）

幾何體的體積V=■×1×2×1=■（m■）.

該幾何體的表面積為（7+■）m■，體積為■m■.

別解：以上是用割補法的思想解題.有的學生想到其實這個幾何體就是一個四棱柱，是以直角梯形AA■B■B為底面的直四棱柱.

這個題目帶給學生的反思是：一個幾何體可以由不同的角度去看的，再復雜的組合體也是由簡單的面組合在一起的.

2.（2007年高考海南卷）已知某幾何體三視圖如下所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm）可得這個幾何體的體積是？搖？搖？搖？搖.

學生在做這題時，非常容易得出底面是正方形，也知道是四棱錐，但該棱錐頂點的位置就不容易確定了，這也是這道高考題的難點.把幾何體還原后，找到高，答案就出來了.有學生就覺得好像不用還原，也可以把答案做出來.首先這是四棱錐，底面是正方形，邊長是20.由于正視圖和側視圖的高反映的就是幾何體的高度，因此高就是20，這樣很快就可以得出答案.完全正確，于是，筆者把這種方法加以推廣，學生覺得很容易上手.有些時候學生的想法是要挖掘的，更需要得到老師的肯定和表揚.

經過這樣的梳理，學生就會對自己存在的問題一目了然，然后對癥下藥.筆者要求他們對越熟悉的幾何體，就越應該從不同角度研究它們.從對2009年全國各地高考試題分析，立體幾何的題型一般都是1個解答題，1～2個填空或選擇題，考查的分數基本上都在17～23分.立體幾何選擇題與填空題的難度設計均為容易題或中檔題，解答題通常也在前三題，大多數以中檔題給出。筆者給學生分析立體幾何的重要性，鼓勵他們努力解出這些近20分的題.讓學生做到考點心中有數，要掌握幾何體的中心投影、平行投影，由幾何體得正視圖、俯視圖和側視圖，以及依據三視圖還原幾何體等，學會讀圖、用圖、作圖.讓學生剖析自身所存在的理解問題，把它們一一突破.三視圖中，學生最容易錯的就是側視圖.筆者告訴他們，看到的不一定是真實的，要讓自己的眼睛有穿透力.只有想通這點，三視圖才能有所突破，空間想象能力才能提高.

空間想象力的培養不是一朝一夕的事，在教學過程中，可通過“講練結合”，以循序漸進的方式進行培養，使每個學生頭腦中建立起一座“空間骨架”，會看圖、想圖、畫圖，逐步增強學生的空間想象能力.多與學生進行交流，關注學生的學習與心理，提高學生的學習積極性，讓更多的學生樂于學數學，培養他們學好數學的自信心.

在2010年廣州一模的文科試卷中，立體幾何考查了一道小題、一道大題，分別是第5和第17題，筆者所教的班級第5題的得分是3.55，第17題的得分是6.925.全市的第5題的平均分是3.01，第17題的平均分是6.83.在筆者和學生的共同努力下，學生的立體幾何成績取得了進步，這是來之不易的，我們都特別珍惜，同時特別受鼓舞.空間想象能力的培養，仍然是立體幾何復習的一大難題，但只要愿意花時間探究復習的方法，不斷地完善，就會獲益無窮.endprint

摘 要： 立體幾何是數學高考中的重點內容，空間想象力薄弱的文科學生的立體幾何比較差.本文主要探究如何通過三視圖培養學生的空間想象能力，從而強化立體幾何的復習效果.

關鍵詞： 立體幾何 三視圖 空間想象能力

立體幾何是數學高考中的重點內容.作為一線老師，我們應該如何抓好立體幾何的高考復習呢？從2008年開始，高考對于學生空間想象能力的考查有所加強，加大了深度和力度，而空間想象能力正是學生最缺乏的.所以要想復習好立體幾何，就要培養學生的空間想象能力.

由于筆者教文科，因此就文科班的教學談談復習體會與反思.在文科班，立體幾何題的得分率往往較低.經過了解，發現學生三視圖看不懂，更別說識別出它是什么.于是，筆者上第一節立體幾何的復習課，就以最常規的空間幾何體，讓學生熟悉后再展開.天天拿著幾何模型上課，一個星期后，再讓他們想象出相應的幾何體的直觀圖.學生對正三棱柱特別頭疼，正規地放著感覺非常順，但是將它推倒在地上，就完全卡死了，這說明學生的空間想象能力需要加強.在上課的時候，針對他們這個特點，專門設計一些不常規的放置方法，進一步增強學生的空間想象能力。對幾何體進行截割后，讓學生研究其三視圖、體積，以及一些線面的位置關系.針對學生存在的一系列問題，筆者準備了以下內容.

（1）讓學生觀察正方體的三視圖是如何得到的.

（2）在正方體中，用面A■BC■截取得到三棱錐A■-B■C■B的三視圖.

（3）畫出四棱錐D■-ABCD的三視圖.

練習1：畫出被截面截后的兩部分的幾何體的三視圖.

練習2：已知某幾何體的正視圖、側視圖均是以2為邊長的等邊三角形，俯視圖是圓，求出該幾何體的表面積和體積.

重點梳理：圓錐的側面積公式與扇形的面積公式.

練習3：已知正三棱柱的所有棱長都為2，請畫出它的三視圖，以及求出它的表面積和體積.

重點強調：正三棱柱的側視圖的形狀.

變式1：已知A■B■=4，AA■=6，則正三棱柱的表面積和體積分別是？搖？搖？搖 ？搖.

變式2：已知正三棱柱，請畫出它的三視圖，以及求出表面積和體積.

練習4：側棱長都為6，P點的投影落在矩形ABCD的中心上，請畫出三視圖

重點梳理：正視圖、側視圖的形狀.

變式1：已知正四棱錐的高為4，底面邊長為2，則它的側面積是？搖 ？搖？搖？搖，體積是？搖？搖？搖 ？搖.

變式2：已知正四棱錐的側棱長均為4，底面邊長為2，則它的側面積是？搖 ？搖？搖？搖，體積是？搖？搖？搖 ？搖.

綜合練習：

舉一反三：

1.一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示（單位：m）：

（1）試畫出它的直觀圖；

（2）求它的表面積和體積.

解：（1）直觀圖如圖所示.

（2）由三視圖可知，該幾何體是長方體被截去一個角，且該幾何體的體積是以A■A，A■D■，A■B■為棱的長方體體積的■.

在直角梯形AA■B■B中，作BEA■B■，則AA■EB是正方形，EA■=BE=1.

在Rt中，BE=1，EB■=1，BB■=■.

幾何體的表面積S=S■+2S■+S■+S■+S■=1+2×■×（1+2）×1+1×■+1+1×2=7+■（m■）

幾何體的體積V=■×1×2×1=■（m■）.

該幾何體的表面積為（7+■）m■，體積為■m■.

別解：以上是用割補法的思想解題.有的學生想到其實這個幾何體就是一個四棱柱，是以直角梯形AA■B■B為底面的直四棱柱.

這個題目帶給學生的反思是：一個幾何體可以由不同的角度去看的，再復雜的組合體也是由簡單的面組合在一起的.

2.（2007年高考海南卷）已知某幾何體三視圖如下所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm）可得這個幾何體的體積是？搖？搖？搖？搖.

學生在做這題時，非常容易得出底面是正方形，也知道是四棱錐，但該棱錐頂點的位置就不容易確定了，這也是這道高考題的難點.把幾何體還原后，找到高，答案就出來了.有學生就覺得好像不用還原，也可以把答案做出來.首先這是四棱錐，底面是正方形，邊長是20.由于正視圖和側視圖的高反映的就是幾何體的高度，因此高就是20，這樣很快就可以得出答案.完全正確，于是，筆者把這種方法加以推廣，學生覺得很容易上手.有些時候學生的想法是要挖掘的，更需要得到老師的肯定和表揚.

經過這樣的梳理，學生就會對自己存在的問題一目了然，然后對癥下藥.筆者要求他們對越熟悉的幾何體，就越應該從不同角度研究它們.從對2009年全國各地高考試題分析，立體幾何的題型一般都是1個解答題，1～2個填空或選擇題，考查的分數基本上都在17～23分.立體幾何選擇題與填空題的難度設計均為容易題或中檔題，解答題通常也在前三題，大多數以中檔題給出。筆者給學生分析立體幾何的重要性，鼓勵他們努力解出這些近20分的題.讓學生做到考點心中有數，要掌握幾何體的中心投影、平行投影，由幾何體得正視圖、俯視圖和側視圖，以及依據三視圖還原幾何體等，學會讀圖、用圖、作圖.讓學生剖析自身所存在的理解問題，把它們一一突破.三視圖中，學生最容易錯的就是側視圖.筆者告訴他們，看到的不一定是真實的，要讓自己的眼睛有穿透力.只有想通這點，三視圖才能有所突破，空間想象能力才能提高.

空間想象力的培養不是一朝一夕的事，在教學過程中，可通過“講練結合”，以循序漸進的方式進行培養，使每個學生頭腦中建立起一座“空間骨架”，會看圖、想圖、畫圖，逐步增強學生的空間想象能力.多與學生進行交流，關注學生的學習與心理，提高學生的學習積極性，讓更多的學生樂于學數學，培養他們學好數學的自信心.

在2010年廣州一模的文科試卷中，立體幾何考查了一道小題、一道大題，分別是第5和第17題，筆者所教的班級第5題的得分是3.55，第17題的得分是6.925.全市的第5題的平均分是3.01，第17題的平均分是6.83.在筆者和學生的共同努力下，學生的立體幾何成績取得了進步，這是來之不易的，我們都特別珍惜，同時特別受鼓舞.空間想象能力的培養，仍然是立體幾何復習的一大難題，但只要愿意花時間探究復習的方法，不斷地完善，就會獲益無窮.endprint