一些重要的數學思想在中學教學中的應用

孫立娟

摘要：數學思想是對數學知識和方法的提煉與升華，是學習數學和解決具體問題的思維方式及指導原則，隨著新課程標準的逐步實行，在考查學生基本知識和基本技能的同時，十分注重考查學生的思維能力，因此，思維能力的培養顯得尤為重要，本文將列舉幾個數學思想方法在教學中的逐步滲透。

關鍵詞：數學思想；中學教學；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0086-01

一、數學結合的思想方法

“數”與“形”是對立統一的，在研究數學問題時，常需要將數與形結合起來進行分析，這對于我解決問題，能起到直觀、準確的作用。

七年級在學習絕對值的內容就開始對數與形結合的思想進行了滲透。

例1.已知：a、b、c在數軸上的對應點如圖1所示。

化簡：|a|–|a+b|+|c+a|+|b+c|

解：由圖得b<0 a<0 c>0

|b|>|a|>|c| ∴a+b<0 c–a>0 b+c<0

∴|a|–|a+b|+|c–a|+|b+c|

=–a+（a+b）+c–a–（b+c）

=–a+a+b+c–a–b–c

=–a

簡評，通過所給數軸，觀察出正負數及絕對值的大小是解題中的重要環節之一。在八年級生活中的數據一章中，通過統計圖將繼續滲透數形結合的思想。

例2.小李通過某地區1998年至2000年快餐公司發展情況的調查，制成了該地區快餐公司個數情況的條形統計圖，（如圖2）和快餐公司盒飯年銷量的平均數情況條形圖（如圖3）利用這兩張圖共同提供的信息，解答下列問題：（1）1999年該地區銷售盒飯共多少萬盒？（2）該地區盒飯銷量最大的年份是哪年？這一年的年銷量是多少萬盒？（3）這三年中該地區每年平均銷售盒飯多少萬盒？

解：（1）2.0×59=118（萬盒）（2）因為1.0×50=50（萬盒）2.0×59=118（萬盒）

1.5×80=120（萬盒）所以該地區盒飯銷量最大的年份是2000年，這一年的年銷量是120萬盒。

（3）■=96（萬盒）

所以這三年中該地區每年平均銷售盒飯96萬盒。

簡評：弄清數、形互譯所表示意義，是解決數形結合題的關鍵。

二、分類思想

例3.已知等腰三角形邊長分別為4cm和9cm，求等腰三角形第三邊的長？

解：（1）4cm作為腰時，三角形三邊長分別為9cm、9cm、4cm，∵任意兩邊之和都大于第三邊，所以，能構成三角形，所以第三邊長為9cm。

（2）4cm作為底時，三角形三邊長分別為4cm、4cm、9cm，因為任意兩邊之和小于第三邊，所以不能夠成三角形。

簡評：本題分析出兩種情況，4cm作為腰9cm作底，9cm作腰，4cm作底是本題解題的關鍵。在七年級進行分類思想滲透的基礎上，八年級逐漸學習函數，進一步強化分類思想在數學中的應用。

三、歸納類推思想

抓住事物間的共同特點進行類比推理是由特殊到一般的一種思維方法。

例4：觀察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561用你所發現的規律，寫出32007的末位數字是 ？解：7。

簡評：觀察末位數組成的數列：3，9，7，1發現有循環性，每個循環節為4個數3、9、7、1，觀察規律是本題的關鍵。

四、整體代換的思想

把考慮問題的著眼點放在問題的整體結構上，通過宏觀的處理，解決問題。

例5.已知一組數據XlX2X3X4X5，平均數為2，方差是■，那么另一組數據3x1-2，3X2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均數和方差是（ ）。

解：∵ x=■（x1+x2+…+x5）=2 ∴ x1+x2+x3…+x5=10

故所求數據平均數為X=■[3（x1-2）+3（x2-2）+…+3（x5-2）]=■[3（x1+x2+x3…+x5）-2×5]=4

∵ S2=■[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]=■

∴（x12+x22+x32…+x52）-4（x1+x2+x3…+x5）

=■[（3x1-2-4）2+（3x1-2-4）2+…+（3x1-2-4）2]

=■[9（x12+x22+…+x52）-36（x1+x2+…x5）+5×36]=3

簡評：整體代換思想，在求代數值，根與系數關系及拋物線與直線關系問題中應用較多，常能使計算簡便。

窺一斑而見全豹，以上示例只敘述了部分例子，但相信養成提煉和運用數學思想的自覺行為，一定能在增強解題能力的同時，提高我們對于數學的認識水平。endprint

摘要：數學思想是對數學知識和方法的提煉與升華，是學習數學和解決具體問題的思維方式及指導原則，隨著新課程標準的逐步實行，在考查學生基本知識和基本技能的同時，十分注重考查學生的思維能力，因此，思維能力的培養顯得尤為重要，本文將列舉幾個數學思想方法在教學中的逐步滲透。

關鍵詞：數學思想；中學教學；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0086-01

一、數學結合的思想方法

“數”與“形”是對立統一的，在研究數學問題時，常需要將數與形結合起來進行分析，這對于我解決問題，能起到直觀、準確的作用。

七年級在學習絕對值的內容就開始對數與形結合的思想進行了滲透。

例1.已知：a、b、c在數軸上的對應點如圖1所示。

化簡：|a|–|a+b|+|c+a|+|b+c|

解：由圖得b<0 a<0 c>0

|b|>|a|>|c| ∴a+b<0 c–a>0 b+c<0

∴|a|–|a+b|+|c–a|+|b+c|

=–a+（a+b）+c–a–（b+c）

=–a+a+b+c–a–b–c

=–a

簡評，通過所給數軸，觀察出正負數及絕對值的大小是解題中的重要環節之一。在八年級生活中的數據一章中，通過統計圖將繼續滲透數形結合的思想。

例2.小李通過某地區1998年至2000年快餐公司發展情況的調查，制成了該地區快餐公司個數情況的條形統計圖，（如圖2）和快餐公司盒飯年銷量的平均數情況條形圖（如圖3）利用這兩張圖共同提供的信息，解答下列問題：（1）1999年該地區銷售盒飯共多少萬盒？（2）該地區盒飯銷量最大的年份是哪年？這一年的年銷量是多少萬盒？（3）這三年中該地區每年平均銷售盒飯多少萬盒？

解：（1）2.0×59=118（萬盒）（2）因為1.0×50=50（萬盒）2.0×59=118（萬盒）

1.5×80=120（萬盒）所以該地區盒飯銷量最大的年份是2000年，這一年的年銷量是120萬盒。

（3）■=96（萬盒）

所以這三年中該地區每年平均銷售盒飯96萬盒。

簡評：弄清數、形互譯所表示意義，是解決數形結合題的關鍵。

二、分類思想

例3.已知等腰三角形邊長分別為4cm和9cm，求等腰三角形第三邊的長？

解：（1）4cm作為腰時，三角形三邊長分別為9cm、9cm、4cm，∵任意兩邊之和都大于第三邊，所以，能構成三角形，所以第三邊長為9cm。

（2）4cm作為底時，三角形三邊長分別為4cm、4cm、9cm，因為任意兩邊之和小于第三邊，所以不能夠成三角形。

簡評：本題分析出兩種情況，4cm作為腰9cm作底，9cm作腰，4cm作底是本題解題的關鍵。在七年級進行分類思想滲透的基礎上，八年級逐漸學習函數，進一步強化分類思想在數學中的應用。

三、歸納類推思想

抓住事物間的共同特點進行類比推理是由特殊到一般的一種思維方法。

例4：觀察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561用你所發現的規律，寫出32007的末位數字是 ？解：7。

簡評：觀察末位數組成的數列：3，9，7，1發現有循環性，每個循環節為4個數3、9、7、1，觀察規律是本題的關鍵。

四、整體代換的思想

把考慮問題的著眼點放在問題的整體結構上，通過宏觀的處理，解決問題。

例5.已知一組數據XlX2X3X4X5，平均數為2，方差是■，那么另一組數據3x1-2，3X2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均數和方差是（ ）。

解：∵ x=■（x1+x2+…+x5）=2 ∴ x1+x2+x3…+x5=10

故所求數據平均數為X=■[3（x1-2）+3（x2-2）+…+3（x5-2）]=■[3（x1+x2+x3…+x5）-2×5]=4

∵ S2=■[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]=■

∴（x12+x22+x32…+x52）-4（x1+x2+x3…+x5）

=■[（3x1-2-4）2+（3x1-2-4）2+…+（3x1-2-4）2]

=■[9（x12+x22+…+x52）-36（x1+x2+…x5）+5×36]=3

簡評：整體代換思想，在求代數值，根與系數關系及拋物線與直線關系問題中應用較多，常能使計算簡便。

窺一斑而見全豹，以上示例只敘述了部分例子，但相信養成提煉和運用數學思想的自覺行為，一定能在增強解題能力的同時，提高我們對于數學的認識水平。endprint

摘要：數學思想是對數學知識和方法的提煉與升華，是學習數學和解決具體問題的思維方式及指導原則，隨著新課程標準的逐步實行，在考查學生基本知識和基本技能的同時，十分注重考查學生的思維能力，因此，思維能力的培養顯得尤為重要，本文將列舉幾個數學思想方法在教學中的逐步滲透。

關鍵詞：數學思想；中學教學；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0086-01

一、數學結合的思想方法

“數”與“形”是對立統一的，在研究數學問題時，常需要將數與形結合起來進行分析，這對于我解決問題，能起到直觀、準確的作用。

七年級在學習絕對值的內容就開始對數與形結合的思想進行了滲透。

例1.已知：a、b、c在數軸上的對應點如圖1所示。

化簡：|a|–|a+b|+|c+a|+|b+c|

解：由圖得b<0 a<0 c>0

|b|>|a|>|c| ∴a+b<0 c–a>0 b+c<0

∴|a|–|a+b|+|c–a|+|b+c|

=–a+（a+b）+c–a–（b+c）

=–a+a+b+c–a–b–c

=–a

簡評，通過所給數軸，觀察出正負數及絕對值的大小是解題中的重要環節之一。在八年級生活中的數據一章中，通過統計圖將繼續滲透數形結合的思想。

例2.小李通過某地區1998年至2000年快餐公司發展情況的調查，制成了該地區快餐公司個數情況的條形統計圖，（如圖2）和快餐公司盒飯年銷量的平均數情況條形圖（如圖3）利用這兩張圖共同提供的信息，解答下列問題：（1）1999年該地區銷售盒飯共多少萬盒？（2）該地區盒飯銷量最大的年份是哪年？這一年的年銷量是多少萬盒？（3）這三年中該地區每年平均銷售盒飯多少萬盒？

解：（1）2.0×59=118（萬盒）（2）因為1.0×50=50（萬盒）2.0×59=118（萬盒）

1.5×80=120（萬盒）所以該地區盒飯銷量最大的年份是2000年，這一年的年銷量是120萬盒。

（3）■=96（萬盒）

所以這三年中該地區每年平均銷售盒飯96萬盒。

簡評：弄清數、形互譯所表示意義，是解決數形結合題的關鍵。

二、分類思想

例3.已知等腰三角形邊長分別為4cm和9cm，求等腰三角形第三邊的長？

解：（1）4cm作為腰時，三角形三邊長分別為9cm、9cm、4cm，∵任意兩邊之和都大于第三邊，所以，能構成三角形，所以第三邊長為9cm。

（2）4cm作為底時，三角形三邊長分別為4cm、4cm、9cm，因為任意兩邊之和小于第三邊，所以不能夠成三角形。

簡評：本題分析出兩種情況，4cm作為腰9cm作底，9cm作腰，4cm作底是本題解題的關鍵。在七年級進行分類思想滲透的基礎上，八年級逐漸學習函數，進一步強化分類思想在數學中的應用。

三、歸納類推思想

抓住事物間的共同特點進行類比推理是由特殊到一般的一種思維方法。

例4：觀察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561用你所發現的規律，寫出32007的末位數字是 ？解：7。

簡評：觀察末位數組成的數列：3，9，7，1發現有循環性，每個循環節為4個數3、9、7、1，觀察規律是本題的關鍵。

四、整體代換的思想

把考慮問題的著眼點放在問題的整體結構上，通過宏觀的處理，解決問題。

例5.已知一組數據XlX2X3X4X5，平均數為2，方差是■，那么另一組數據3x1-2，3X2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2，的平均數和方差是（ ）。

解：∵ x=■（x1+x2+…+x5）=2 ∴ x1+x2+x3…+x5=10

故所求數據平均數為X=■[3（x1-2）+3（x2-2）+…+3（x5-2）]=■[3（x1+x2+x3…+x5）-2×5]=4

∵ S2=■[（x1-2）2+（x2-2）2+…+（x5-2）2]=■

∴（x12+x22+x32…+x52）-4（x1+x2+x3…+x5）

=■[（3x1-2-4）2+（3x1-2-4）2+…+（3x1-2-4）2]

=■[9（x12+x22+…+x52）-36（x1+x2+…x5）+5×36]=3

簡評：整體代換思想，在求代數值，根與系數關系及拋物線與直線關系問題中應用較多，常能使計算簡便。

窺一斑而見全豹，以上示例只敘述了部分例子，但相信養成提煉和運用數學思想的自覺行為，一定能在增強解題能力的同時，提高我們對于數學的認識水平。endprint