淺析數(shù)學與音樂的微妙聯(lián)系

郭亞慶

摘 要：本文從四方面淺析了音樂中的數(shù)學形式，并提出了技校數(shù)學教師在教學中利用數(shù)學與音樂的微妙聯(lián)系提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學素養(yǎng) 音樂 數(shù)學 聯(lián)系

數(shù)學與音樂之間有怎樣的微妙聯(lián)系？為何西方音樂學院中作曲專業(yè)的學生一定要學習十分深奧的高等數(shù)學？若干世紀以來，數(shù)學與音樂兩個看似毫不相關(guān)的學科，一直被聯(lián)系在一起。

2500年前，哲學家畢達哥拉斯偶然發(fā)現(xiàn)：音響是否和諧與發(fā)聲體的體積有一定的比例關(guān)系，于是他從數(shù)學和聲學的角度去研究音樂節(jié)奏的和諧，發(fā)現(xiàn)聲音的質(zhì)的差別（如長短，高低，輕重等）都是由發(fā)音體方面數(shù)量的差別所決定的。例如發(fā)音體（如琴弦）長，聲音就長；震動速度快，聲音就高；震動速度慢，聲音就低。因此，音樂的基本原則在數(shù)量關(guān)系，音樂節(jié)奏的和諧是由高低長短輕重各種不同的音調(diào)，按照一定數(shù)量上的比例所組成的。畢達哥拉斯是用數(shù)的比例來表示不同音程的創(chuàng)始人，例如第八音程是1：2，第四音程是3：4，第五音程是2：3。之后，開普勒、歐拉、傅里葉等科學家都研究過音樂與數(shù)學的關(guān)系。

音樂雖然千姿百態(tài)，但都是由7個音符（音名）組成的，數(shù)字1～7在音樂中是神奇的數(shù)字。

一、樂譜書寫中有數(shù)學

在當今，中國漢字記譜主要是用宮、商、角、清角（和）、徵、羽、變宮（變）分別來表示do、re、mi、fa、sol、la、si。

目前世界上通用的記譜法——五線譜是用五條橫線來記載音樂的一種記譜法，它的誕生至今已有1000 多年的歷史。五線譜是在五根等距離的平行線上，標以不同時值的音符及其他記號來記錄音的高低、長短的一種記譜方法。五線譜的五條線和五條線所形成的間，都是自下而上計算的。

簡譜是記譜法的一種。由于它簡單明了、通俗易懂，因此在我國廣泛流傳，有字母簡譜和數(shù)字簡譜兩種。數(shù)字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個基本音級，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。

二、鋼琴鍵盤上有數(shù)學

常見的鋼琴共有88個鍵，在鋼琴鍵盤上任何兩個相鄰的、具有相同名稱的音都稱為八度，共包括13個鍵，其中8個白鍵和5個黑鍵。5個黑鍵分成兩組，一組有2個黑鍵，一組有3個黑鍵，2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個數(shù)。（n≧2）

用文字來說，就是費波那契數(shù)列由0和1開始，之后的費波那契系數(shù)就由之前的兩數(shù)相加。開普勒發(fā)現(xiàn)數(shù)列前、后兩項之比1/2，2/3，3/5，5/8 ，8/13，13/21，21/34，……也組成了一個數(shù)列，趨近黃金分割0.618。

除了鋼琴外，笛子，吉他等都與數(shù)學有關(guān)聯(lián)，因為每種聲音的發(fā)出都與曲線的頻率、振幅和周期函數(shù)的形狀有關(guān)。

三、樂曲中有數(shù)學

談到樂曲的編寫，就一定要提到數(shù)學家傅里葉以及他的傅里葉變換與級數(shù)理論。正是這些偉大的發(fā)現(xiàn)讓我們知道了，每種聲音的發(fā)出與曲線的頻率、振幅和周期函數(shù)（正弦和余弦函數(shù)）的形狀都有關(guān)。只有將這些元素巧妙地融合起來，才能組成美妙悅耳的樂曲。通過對貝多芬的《月光》第一到第三樂章的分析得出：第一樂章69小節(jié)，主題從43小節(jié)開始再現(xiàn)，43/69=0.62；第二樂章96小節(jié)，主題從61小節(jié)開始再現(xiàn)，61/96=0.63。計算結(jié)果顯示，樂曲非常接近黃金分割。

在樂曲的編寫中，常常采用平移和對稱的方法。平移實際上就是音樂中的反復。如我們熟悉的《國家》《歡樂頌》中的章節(jié)就是用了樂曲的平移來表達的。

四、大自然的音樂中有數(shù)學

在自然界中，有些昆蟲的鳴叫聲也與數(shù)學息息相關(guān)。例如，溫度會影響蚱蜢和蟋蟀鳴叫的頻率。雪白的樹蟋蟀被稱為“溫度計”，因為把這種蟋蟀在15秒之內(nèi)鳴叫的次數(shù)加上40，大約就是當時的華氏溫度。用數(shù)學表達式轉(zhuǎn)換為攝氏溫度為：t=（N+8）×（N為蟋蟀鳴叫的次數(shù)）。

另外，數(shù)學和音樂在其他方面也有聯(lián)系：二者都離不開靈感。樂曲創(chuàng)作和數(shù)學家們的發(fā)現(xiàn)及數(shù)學問題的解答都離不開靈感。法國數(shù)學家笛卡兒就是連做了數(shù)日夢之后，醒來進行整理，最終創(chuàng)立了解析幾何學。音樂家的靈感就是將當時的心情覺受化作音樂的形式存現(xiàn)于世，有了靈感，就有了創(chuàng)作激情，就能創(chuàng)作出優(yōu)秀的音樂作品。

既然數(shù)學與音樂有如此美妙的聯(lián)系，為何我們不沉浸在《梁?！穬?yōu)美動聽的旋律中，或置身于昆蟲鳴叫的田野里，靜下心來思考數(shù)學與音樂的微妙的內(nèi)在聯(lián)系呢？

把素質(zhì)教育貫徹于數(shù)學教學之中，將這方面的素材經(jīng)過加工滲透到數(shù)學教學中，以提高學生的整體素質(zhì)，將是擺在廣大技校數(shù)學教師面前的一項重要的任務。

參考文獻：

[1]劉衛(wèi)峰，王尚古.數(shù)學與音樂[J].數(shù)學通報，2005（4）.

（作者單位：江西省輕工業(yè)高級技工學校）endprint