APOS案例教學法在高等數學教學中的初探

楊立芬

【摘 要】APOS案例教學法指學生在教師的指導下經過Action（操作或活動階段）、Process（過程階段）、Object （對象階段）、Scheme（模型階段）四個階段對問題進行探討的教學方法。在高等數學教學過程中使用APOS案例教學法，不僅分析了高等數學概念的邏輯結構，又分析了學生在學習過程中的思維過程。這種方法有利于促使學生形成相對穩定的數學概念心理圖式，為學生能夠運用數學解決實際問題奠定了基礎。

【關鍵詞】APOS理論；高等數學教學

目前，多數高職院校“以應用為目的，以必需、夠用為目的”的原則，采取壓縮公共基礎課課時、增大專業課實習實訓的措施。在這種情況下，多數高職教師在高數課堂上弱化基本概念的教學、偏面強調數學的應用，把高等數學的教學變成了講例題、做練習題、答考題的應試教學模式。基本概念的教學是高等數學教學的根本，是提煉數學思想方法，培養學生創新精神的平臺。筆者認為教師采用APOS案例教學法講授數學概念，能夠很好地解決了高職數學教師所面臨的問題，提高學生運用數學的能力。

一、APOS理論概述

APOS理論是個體學習數學的學習理論，該理論闡述了：個體認知數學概念的過程對于數學學習有指導性的作用。活動、過程、對象和圖式是個體對數學概念的認知的四個階段，具體涵義如下：

“活動”（action）是個體對數學“對象”進行變形，這種變形在外部刺激的條件下，通過學習動作指示來獲得，這種獲得有時顯而易見，有時來自記憶。當重復并反省“活動”時，個體能夠形成內部構造，此時“活動”就內化為“過程”（process），具體表現為個體能夠從逆向推到數學概念，同時構造更復雜的“活動”。個體將“過程”（process）看作整體，同時可以對概念進行變形，這時“過程”就凝聚成“對象”（object），進而個體頭腦中形成一個協調的網絡，即數學概念的“圖式”（skema）。這個協調的網絡在某種意義上能明確地或隱含地決定哪些現象是“圖式”的范圍。

二、APOS案例教學法

APOS理論對學生的概念理解作出了分層分析的基礎上，可以預測學生對概念作出的心理建構。筆者在APOS理論的指導下，對案例教學法進行了完善。

1.概念引入

在教學中，針對不同的數學概念以實際生活或專業應用為背景引入概念，讓學生親身體驗、感受概念的直觀背景，并通過組織整理、分析歸納接觸到的實例來直觀地幫助學生形成定義，在引入概念時要充分考慮學生的認知規律，引例要遵循直觀性、可接受性原則。因此，引例的選取非常重要。在高等數學教學中要有些經典引例，例如“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”、劉徽的“割圓術”、變速指點的瞬時速度、曲線的切線斜率、曲邊梯形的面積、變速質點的位移。引例分析能使學生親身體驗數學概念的背景，引導其對背景分析歸納，抽象共性，直觀地幫助學生形成定義，實現從具體到抽象，為概念表述做準備。總之，“活動”階段，有利于激發學生的學習興趣和強烈的求知欲及創造力，還有利于激發學生去構建新理論的信心和內在驅動力。

2.概括表述

概念、方法的概括，是一種邏輯方法，即用已知數學知識、方法明確另一個概念、方法內涵。在教學中要貫徹發現法的教學原則，充分發揮學生的主題能動性，為學生營造一個再造心智活動過程。美國微積分教學的“四原則”為概念、方法的表述提供了借鑒，即在數學對象闡明過程中要盡量使用圖像、數值、符號和語言。用多元表征方式展現概念、方法，不僅符合學生個體認知規律，又有利于其理解。比如在對極限概念的表述過程中不僅要用自然的定性描述語言，也要用數學語言描述，同時還要用數學符號進行描述，最好再用數值化列表作圖逼近的方法，具體形象地體現自變量趨于一個值時，函數值逼近某一具體值得趨近過程。培養學生用標準數學語言來表述概念，對概念表述時特別注重精確性。

3.分析解剖

當概念進入對象狀態時，便呈現出一種靜態結構關系，有利于從整體把握其性質。“對象”狀態是通過前面的活動和抽象，個體認識了概念的本質，并賦予概念定義和符號，令其達到精致，從而成為一個具體的對象，在以后的學習中用此具體對象開展新的活動。在此過程中，對象轉變為即將被操作的“實體”。所以，在教學實踐中要特別注重對數學概念表達形式中的精煉語言和所使用的符號的涵義分析解剖。分析概念所適用的條件和范圍時，要從多角度和多方位來考慮。在教學中對數學概念的含義作更深入的分析解剖，具體表現在對其內涵、外延的進一步說明，比如與其他概念的聯系與比較等，努力揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號后的數學思想方法。一個完整的數學概念真正成型，必須要正確把握概念的內涵和外延。在高等數學教學過程中，教師要有意識地引導學生發現數學思維過程中概念的矛盾運動和發展變化，揭示出數學概念之間的關系。數學教師就是幫助學生發現隱藏在“冰冷的形式”背后的“火熱的思考”。例如講解多元函數微積分時要把該知識與一元函數微積分相應的概念進行歸納比較，突顯出其內在關聯與區別。事實上，在整個高等數學的學習過程中貫穿對數學概念的分析解剖，能夠促使個體對數學概念的強化補充，建立內在統一的概念網絡，同時有利于學生形成并發展主題的數學思維能力。

4.形成穩定的心理圖式

此時的數學概念已經在頭腦中形成總和心理圖式，該圖式含有具體實例、抽象過程、完整定義乃至和其他概念的區別與聯系。教學中要在概念的應用中加深對所學概念的理解和把握，從而形成數學意識以及分析解決實際問題的能力。要努力揭示概念的客觀背景和在解決實際問題中的意義，盡可能給出幾何解釋、物理解釋和其他聯系實際意義的解釋。既要闡釋概念的實際應用又要闡釋數學應用，舉一些和實際生活相關的例子，也要把所講概念運用于解決數學問題。經過長期的學習活動，“模型”階段才能不斷完善。在學習過程中教師應該深刻地揭示數學概念的矛盾運動和辯證發展，長期反復，循序漸進，螺旋上升直至建立和形成較穩定的數學概念心理圖式，個體在心理圖式形成的過程中逐漸具備運用數學解決實際問題的能力。

在高等數學教學過程中運用APOS案例教學，不僅有利于教師有效組織課堂教學，還有利于培養學生的創新精神，提高學生運用數學解決實際問題的能力。

（作者單位：石家莊財經職業學院）