考慮固液界面作用的表觀滲透率分形模型

婁 鈺，朱維耀，宋洪慶，黃小荷，王小鋒，張雪齡

（北京科技大學 土木與環境工程學院，北京 100083）

0 引言

低滲透和致密油氣藏特點是孔喉尺寸很小，孔隙中流體受到固體壁面的強烈影響，大比表面和狹窄孔喉導致固體表面附近流體性質發生改變［1-3］，因此研究固液界面作用下的滲流機理對低滲透和致密油氣藏開發具有重要意義.考慮固液界面分子間作用下的液體微管流動的研究結果表明，微流動的表觀黏度與流體黏性系數有差別，并且表觀黏度與微管的形態和微管直徑有密切關系［4-10］.多孔介質具有復雜的孔隙結構和表面特征，研究證實多孔介質的孔隙空間具有良好分形特征，因此分形幾何學被廣泛應用到多孔介質的表征，進而研究多孔介質中流體的輸運特性和規律［11-15］.

筆者考慮固液界面作用對微流動影響，推導流體在固液界面作用影響下的流速分布表達式及流量方程；然后基于具有分形特征的多孔介質，推導在固液界面作用影響下流體在多孔介質中的運動方程，得到考慮固液界面作用影響的表觀滲透率表達式.該表達式參數意義明確，并綜合考慮固液作用和多孔介質結構特征的影響.

1 微流動流量方程

固液分子間的作用力影響液體黏性，固液界面作用對壁面附近流體黏性系數的影響很大，其大小取決于壁面材料和流體的分子間作用力，并且隨著離開壁面距離增加，表觀黏度迅速衰減［9-10］.假設流體在半徑為R的微納米尺度圓管內流動，y表示距離軸心的徑向距離，考慮固液界面作用的表觀黏度［16］可表示為

式中：μ、μ0分別為固液界面作用下液體表觀黏度及流體黏度；γ、n分別為表征固液界面作用變化參數，與固體材料性質和流體性質有關.其中參數γ表征固液界面作用對表觀黏度的影響程度，參數n表征表觀黏度隨壁面距離增加的衰減速度，可通過微流動實驗確定2個參數.

基于Navier-Stokes運動方程，在圓管中柱坐標下的運動方程為

積分求解得到考慮界面作用的圓管中流速分布為

對流速分布積分，并利用分部積分法化簡，可得微管內平均流速為

將平均流速乘以截面積，得到考慮固液界面作用的流量q表達式為

式中：λ為微管直徑；L為微管長度；Δp為微管兩端壓差.當z＝y／R時，有

定義函數G（λ，γ，n）為固液界面作用對微管內流體流動影響的界面因子.由式（5）可知，界面因子G越大，即固液界面作用影響越大，流量越小.由微管管徑及固液界面作用參數決定界面因子.當固液界面作用參數γ＝0時，G＝0，流量q方程退化為

即泊肅葉定律.

2 分形滲流模型

設Le為彎曲毛細管有效長度，假設彎曲毛細管曲線是分形［17］的，則

式中：δ為迂曲分維.

考慮迂曲度，流量方程式（5）可改寫［18］為

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設最大孔喉直徑和最小孔喉直徑分別為λa和λi，根據分形特征可得直徑大于λ的毛管累計數為

式（10-11）中：D為管徑分維.

根據滲流速度定義，流速v是通過多孔介質單位橫截面的體積流量，則

將式（9）和式（11）代入式（12），可得考慮固液界面作用的運動方程為

式（13）可簡化為

式中：H為表征固液界面作用對滲流影響大小的系數，其值依賴于多孔介質分形特征和式（6）界面因子G，

K0為不受固液界面作用影響的滲透率，

定義固液界面作用影響下表觀滲透率K為

由孔隙結構和固液界面作用綜合決定H.當界面因子G＝0時，可得H＝0，K＝K0，即不考慮固液界面作用的滲透率.

分形多孔介質中的參數計算：

（1）單元橫截面積A及長度L計算表達式［17］分別為

式（20-21）中：rp為多孔介質顆粒的平均粒徑；φ為孔隙度.

（2）最大孔喉直徑表達式［17］為

3 結果與分析

可以通過微管流動實驗獲得固液界面作用參數γ和n.固液界面作用大小與流體的分子性質和壁面的自由能有關［16］.選用水作為流體介質，利用式（5-6）對去離子水微流動實驗數據［6］進行擬合獲取參數，分析固液界面作用的影響.固液界面作用參數取為n＝1，γ＝10-7.可利用掃描電鏡測量或壓汞法獲得多孔介質分形特征參數.多孔介質分形參數取為：孔徑分布的分形維度D為1.8，迂曲度δ為1.1，顆粒粒徑為0.01mm，最小孔喉直徑為0.1μm.

固液界面作用影響下微管中流速隨壓力梯度變化關系見圖1，微管半徑為10μm.參數γ＝0時，為泊肅葉方程計算結果.由圖1可知，考慮固液界面作用影響時，流速低于泊肅葉方程預測值；參數γ越大，流速越小，表明固液界面作用對流速影響越大.

單管中固液作用影響下界面因子G隨微管直徑λ變化見圖2，界面因子G由式（6）定義，表征固液界面作用對流速的影響程度.由圖2可知，固液界面作用影響的大小與微管直徑λ有密切聯系.隨著微管直徑λ減小，界面因子G逐漸增加，當微管直徑小于某個臨界值時，界面因子G呈非線性迅速增加.臨界微管直徑與固液界面作用大小有關，參數越小，臨界微管直徑越小.

固液界面作用影響下分形多孔介質的表觀滲透率K隨著孔隙度φ變化見圖3.由圖3可知，參數γ＝0時，固液界面作用沒有影響，表觀滲透率最大；考慮固液界面作用影響，表觀滲透率明顯下降，參數γ越大，表觀滲透率越低，表明固液界面作用對滲流影響越大.隨著孔隙度增加，表觀滲透率增大.

不同孔隙度下表觀滲透率隨著固液作用參數γ變化見圖4.由圖4可知，在相同孔隙度下，隨著參數γ增加，固液界面作用增大，而表觀滲透率K下降.當參數γ＜0.5×10-6時，表觀滲透率K隨著固液界面作用的增大呈非線性迅速下降，隨著參數γ的進一步增大，K的下降速度減緩.這說明固液界面作用的微小變化對流體滲流有顯著影響.

4 結論

（1）考慮固液界面作用力對微流動的影響，引入界面因子，建立綜合考慮微流動固液界面作用和復雜孔隙結構特征的滲流數學模型，通過數值計算分析固液界面作用對流體在微圓管和多孔介質中流動的影響.

（2）考慮固液界面作用，流速低于泊肅葉方程的預測值，固液界面作用越大，偏離越明顯.

（3）微管直徑越小，界面因子越大，說明固液界面作用影響增大；當微管直徑小于臨界管徑時，界面因子呈非線性迅速增加.

（4）考慮固液界面作用，表觀滲透率下降.當固液作用參數γ≤0.5×10-6時，表觀滲透率呈非線性迅速下降；當固液作用參數γ≥0.5×10-6時，表觀滲透率下降趨于平緩.固液界面作用的變化對滲流有顯著影響.

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