基于漢密爾頓方程的最優消費路徑研究

王順　安偉

摘 要：基于AK理論建立了包含消費、投資、貼現因子和折舊率的效用最大化模型，運用漢密爾頓-貝爾曼方程對模型求解，得到最優消費路徑。通過最優消費路徑我們發現：折舊率與消費和資本負相關，貼現因子與消費負相關，與資本正相關。

關鍵詞：最優消費路徑 ；哈密爾頓；貼現因子

一、引言

社會總產出由消費和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經濟的增長和資本的積累取決于消費和投資之間的比例。那么消費和投資之間的最優比例是什么？資本折舊率和貼現因子對總的社會效用產生什么樣的影響？

本文研究的是經濟增長的最優消費投資路徑，理論框架是持久收入假設和內生增長理論，選擇的模型是資本產出彈性為單位彈性的AK模型，這是因為資本在發展中國家的經濟增長中起到了重要作用，發展中國家可以通過購買外國的先進技術設備來發展本國的經濟，發揮自己的后發優勢。

二、模型

模型假定該國只生產一種產品，該產品既可以消費又可以投資，該產品作為投資品和消費品的時候，兩者之間可以相互轉換。經濟增長由資本決定，消費和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標是通過政策引導消費路徑，使行為人可以獲得最大效用。設生產函數為yt=Akt，其中A反映技術水平，yt、kt和ct分別表示在t時期的生產量、資本量和消費量（ct≥0，kt≥0），k0為初始資本量，得下面模型：

Max■βtln（ct）（1）

s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，

其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行為人追求一生消費效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態變量，本期的商品總供給和消費決定了下期的資本數量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制條件轉化為：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）

因為kt+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函數關系式來表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在約束條件下，找到一個合適路徑使得目標函數的值最大。

為了求值方便，將（2）式轉化為連續形式，定義值函數S（k）。根據漢密爾頓方程，得：

s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）

在上式中，k相當于kt 、kt+1 ，指當期和下期的資本存量，h（k）是進行遞歸迭代的策略函數。S（k）、h（k）連續可微。我們估計

S（k）=M+Nln（k）（4）

對（3）、（4）進行一階求導，并逐期遞歸迭代可得到值函數Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）

因為貼現因子0<β<1，易證：當n→∞時，Sn（k）的極限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的極限值就是序列的解。說明得到的函數方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。

將M和N代入（3）式和（4）式得：

sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）

h（k）=β（A+1-δ）k（10）

（9）式也就是目標函數的唯一解。對于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函數的最優解。因為目標函數是離散型的，對于任意時期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目標函數必然取得最優解。此時，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。

綜上，目標函數中消費和資本的最優解為：

從上式可以看出：當期消費ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負相關。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費的產品就越少。政府可以通過宏觀政策改變折舊率，加強資本的維護可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護現有資本的成本高于購置新資本，資本折舊率提高。

當期消費ct和貼現因子β負相關，下期資本kt+1和β正相關。說明貼現因子越小，當期消費越多，人們更愿意當期消費；貼現因子越大，人們更愿意在將來消費，下期的資本存量增加。政府可以通過調整利率和加強福利保障建設來調節貼現因子，從而引導消費和投資。

三、變量對函數S（k）的影響

S（k）指行為人在給定資本的情況下，一生所能達到的總效用。為了討論的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）

由上式，我們不難發現：

1.當0≤β≤1時，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函數的值越大。由目標函數可知，β值越大，消費的效用越大。

2.■>0，s（β，δ，k）的值是資本存量k的增函數。K的值越大，可用于未來消費的產品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

根據上文的假設，不難發現，行為人的消費越大，獲得的效用越大，但是消費的過大會引起資本的減少，從而使未來的消費減少，所以應合理地安排消費和投資。政府應該通過調節貼現因子和資本折舊率的值，來引導消費和投資之間的比率。endprint

摘 要：基于AK理論建立了包含消費、投資、貼現因子和折舊率的效用最大化模型，運用漢密爾頓-貝爾曼方程對模型求解，得到最優消費路徑。通過最優消費路徑我們發現：折舊率與消費和資本負相關，貼現因子與消費負相關，與資本正相關。

關鍵詞：最優消費路徑 ；哈密爾頓；貼現因子

一、引言

社會總產出由消費和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經濟的增長和資本的積累取決于消費和投資之間的比例。那么消費和投資之間的最優比例是什么？資本折舊率和貼現因子對總的社會效用產生什么樣的影響？

本文研究的是經濟增長的最優消費投資路徑，理論框架是持久收入假設和內生增長理論，選擇的模型是資本產出彈性為單位彈性的AK模型，這是因為資本在發展中國家的經濟增長中起到了重要作用，發展中國家可以通過購買外國的先進技術設備來發展本國的經濟，發揮自己的后發優勢。

二、模型

模型假定該國只生產一種產品，該產品既可以消費又可以投資，該產品作為投資品和消費品的時候，兩者之間可以相互轉換。經濟增長由資本決定，消費和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標是通過政策引導消費路徑，使行為人可以獲得最大效用。設生產函數為yt=Akt，其中A反映技術水平，yt、kt和ct分別表示在t時期的生產量、資本量和消費量（ct≥0，kt≥0），k0為初始資本量，得下面模型：

Max■βtln（ct）（1）

s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，

其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行為人追求一生消費效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態變量，本期的商品總供給和消費決定了下期的資本數量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制條件轉化為：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）

因為kt+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函數關系式來表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在約束條件下，找到一個合適路徑使得目標函數的值最大。

為了求值方便，將（2）式轉化為連續形式，定義值函數S（k）。根據漢密爾頓方程，得：

s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）

在上式中，k相當于kt 、kt+1 ，指當期和下期的資本存量，h（k）是進行遞歸迭代的策略函數。S（k）、h（k）連續可微。我們估計

S（k）=M+Nln（k）（4）

對（3）、（4）進行一階求導，并逐期遞歸迭代可得到值函數Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）

因為貼現因子0<β<1，易證：當n→∞時，Sn（k）的極限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的極限值就是序列的解。說明得到的函數方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。

將M和N代入（3）式和（4）式得：

sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）

h（k）=β（A+1-δ）k（10）

（9）式也就是目標函數的唯一解。對于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函數的最優解。因為目標函數是離散型的，對于任意時期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目標函數必然取得最優解。此時，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。

綜上，目標函數中消費和資本的最優解為：

從上式可以看出：當期消費ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負相關。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費的產品就越少。政府可以通過宏觀政策改變折舊率，加強資本的維護可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護現有資本的成本高于購置新資本，資本折舊率提高。

當期消費ct和貼現因子β負相關，下期資本kt+1和β正相關。說明貼現因子越小，當期消費越多，人們更愿意當期消費；貼現因子越大，人們更愿意在將來消費，下期的資本存量增加。政府可以通過調整利率和加強福利保障建設來調節貼現因子，從而引導消費和投資。

三、變量對函數S（k）的影響

S（k）指行為人在給定資本的情況下，一生所能達到的總效用。為了討論的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）

由上式，我們不難發現：

1.當0≤β≤1時，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函數的值越大。由目標函數可知，β值越大，消費的效用越大。

2.■>0，s（β，δ，k）的值是資本存量k的增函數。K的值越大，可用于未來消費的產品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

根據上文的假設，不難發現，行為人的消費越大，獲得的效用越大，但是消費的過大會引起資本的減少，從而使未來的消費減少，所以應合理地安排消費和投資。政府應該通過調節貼現因子和資本折舊率的值，來引導消費和投資之間的比率。endprint

摘 要：基于AK理論建立了包含消費、投資、貼現因子和折舊率的效用最大化模型，運用漢密爾頓-貝爾曼方程對模型求解，得到最優消費路徑。通過最優消費路徑我們發現：折舊率與消費和資本負相關，貼現因子與消費負相關，與資本正相關。

關鍵詞：最優消費路徑 ；哈密爾頓；貼現因子

一、引言

社會總產出由消費和投資決定，在不考慮折舊的情況下，投資等于資本的變化率。經濟的增長和資本的積累取決于消費和投資之間的比例。那么消費和投資之間的最優比例是什么？資本折舊率和貼現因子對總的社會效用產生什么樣的影響？

本文研究的是經濟增長的最優消費投資路徑，理論框架是持久收入假設和內生增長理論，選擇的模型是資本產出彈性為單位彈性的AK模型，這是因為資本在發展中國家的經濟增長中起到了重要作用，發展中國家可以通過購買外國的先進技術設備來發展本國的經濟，發揮自己的后發優勢。

二、模型

模型假定該國只生產一種產品，該產品既可以消費又可以投資，該產品作為投資品和消費品的時候，兩者之間可以相互轉換。經濟增長由資本決定，消費和投資之間的比例是由行為人決定的，政府的目標是通過政策引導消費路徑，使行為人可以獲得最大效用。設生產函數為yt=Akt，其中A反映技術水平，yt、kt和ct分別表示在t時期的生產量、資本量和消費量（ct≥0，kt≥0），k0為初始資本量，得下面模型：

Max■βtln（ct）（1）

s.t. kt+1=yt+（1-δ）kt-ct，yt=Akt，

其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現因子，0<β<1；Max■βtln（ct）表示行為人追求一生消費效用的最大化，其中ct是控制變量，kt為狀態變量，本期的商品總供給和消費決定了下期的資本數量。令f（kt）=Akt+（1-δ）=kt=（A+1-δ）kt，上述限制條件轉化為：s.t. kt+1=f（kt）-ct， f（kt） =（A+1-δ）kt（2）

因為kt+1=f（kt）-ct，所以ct=f（kt）-kt+1，ct可以用kt的函數關系式來表示。求Max∑∞t=0βtln（ct）就是指在約束條件下，找到一個合適路徑使得目標函數的值最大。

為了求值方便，將（2）式轉化為連續形式，定義值函數S（k）。根據漢密爾頓方程，得：

s（k）=max{ln[f（k）-k]+βs（k）}=ln[f（k）-h（k）]+βs[h（k）]（3）

在上式中，k相當于kt 、kt+1 ，指當期和下期的資本存量，h（k）是進行遞歸迭代的策略函數。S（k）、h（k）連續可微。我們估計

S（k）=M+Nln（k）（4）

對（3）、（4）進行一階求導，并逐期遞歸迭代可得到值函數Sn（k）：sn（k）=（■βi-1）ln（■）+βn-1ln（A+1-δ）+（■jβj）ln[■]+（∑ns=1βS-1）ln（k）

因為貼現因子0<β<1，易證：當n→∞時，Sn（k）的極限值存在， S（k）==limn→∞sn（k）的極限值就是序列的解。說明得到的函數方程和（4）式的值完全一致，解出M=■ln[（1-β）（A+1-δ）+■ln[β（A+1-δ）]，N=■。

將M和N代入（3）式和（4）式得：

sn（k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（9）

h（k）=β（A+1-δ）k（10）

（9）式也就是目標函數的唯一解。對于任意k0>0，只要令k=g（k）=β（A+1-δ）k可得值函數的最優解。因為目標函數是離散型的，對于任意時期，只要令kt+1，=β（A+1-δ）k，目標函數必然取得最優解。此時，ct=（1-β）（A+1-δ）kt。

綜上，目標函數中消費和資本的最優解為：

從上式可以看出：當期消費ct和下期資本kt+1與資本折舊率δ負相關。資本折舊率越大，資本消耗的越多，供消費的產品就越少。政府可以通過宏觀政策改變折舊率，加強資本的維護可以降低資本折舊率，比如政府刺激投資，使得維護現有資本的成本高于購置新資本，資本折舊率提高。

當期消費ct和貼現因子β負相關，下期資本kt+1和β正相關。說明貼現因子越小，當期消費越多，人們更愿意當期消費；貼現因子越大，人們更愿意在將來消費，下期的資本存量增加。政府可以通過調整利率和加強福利保障建設來調節貼現因子，從而引導消費和投資。

三、變量對函數S（k）的影響

S（k）指行為人在給定資本的情況下，一生所能達到的總效用。為了討論的方便，令s（β，δ，k）=■ln[（1-β）（A+1-δ）]+■ln[β（A+1-δ）]+■ln（k）（12）

由上式，我們不難發現：

1.當0≤β≤1時，■>0恒成立，即β值越大，s（β，δ，k）函數的值越大。由目標函數可知，β值越大，消費的效用越大。

2.■>0，s（β，δ，k）的值是資本存量k的增函數。K的值越大，可用于未來消費的產品就越多，行為人一生的總效用值就越大。

3.■<0，δ的值越大，s（β，δ，k）的值越小，即資本折舊率越高，行為人一生的總效用就越小。政府提高利率和刺激投資都可以引起δ的值提高。

根據上文的假設，不難發現，行為人的消費越大，獲得的效用越大，但是消費的過大會引起資本的減少，從而使未來的消費減少，所以應合理地安排消費和投資。政府應該通過調節貼現因子和資本折舊率的值，來引導消費和投資之間的比率。endprint