高考備考中的“變”與“不變”

徐華

今年是高考數學大綱卷最后一次出現在我區考生面前，其題型、內容、對考生能力的要求等是如何延續往年試題的風格的，又與今年的新課標卷有何異同，是每一位即將步入高三的師生關注的問題。本文將從縱向[追溯往年的大綱卷（理）]及橫向[對比今年的新課標卷I（理）]兩個維度對今年的高考數學大綱卷（理）進行分析，同時對今后備考提出建議。

一、2014年全國高考大綱卷（理）數學試題總體分析

（一）懷舊色彩濃重，題型變化不明顯

本套試題的設計遵循考試大綱，無偏題、怪題，難度適中，每道題都容易找到入手的角度，因此與2013年的高考試題相比，對于中等及中等水平以上的考生而言，試卷整體難度有所下降。作為最后一次出現在考生面前的大綱卷，沒有回避過去大綱卷中的“經典”試題，這一點在第18題及21題體現得尤為明顯。

第18題考查的是等差數列的通項公式、前n項和公式、等差數列性質的應用以及求數列n項和的常用方法（裂項求和法）。解決本題的關鍵是對條件“Sn≤S4”的處理，如果沒有從整體上把握該條件并將其轉化為a4≥0a5≤0？圳10+3d≥010+4d≤0，而是直接利用等差數列n項和公式將Sn≤S4具體化，則會陷入較繁瑣的運算中。本題給出的條件與1992年高考試題第27題的條件如出一轍，需要利用整體思想進行轉化以降低運算量。

第21題第2問要求考生根據“滿足一定條件的兩條直線與拋物線的四個交點共圓”這一條件，確定直線的方程。考生的思路普遍不夠順暢，原因在于對于四點共圓的等價轉化不夠熟悉，辦法不多，相當多考生想到從尋找圓心、利用圓心到四點距離相等的角度入手，這樣處理會因運算量偏大而算不出結果。如何降低運算量是考生解決解析幾何問題的核心問題，一般來說，要降低運算量，可從以下三個途徑考慮：①挖掘圖形的幾何特征；②運用對稱思想，做到設而不求；③通過對條件或結論的歸類，“悟”出一些小結論。本題與2011年大綱卷（理）第21題第2問的題型及解題方法類似，都是涉及兩條直線與橢圓四個交點共圓的問題，可以利用曲線系方程求解。

（二）全面考查知識點，突出考查主干知識的特點不變

無論是與以往的大綱卷相比，還是與新課標卷相比，2014年高考數學大綱卷（理）保持了高考試題全面考查知識點、突出考查主干知識的特點。直接考查的基本概念有反函數（如第12題）、共軛復數（如第1題）、直線與圓的位置關系（如第15題）、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的定義及離心率（如第6、9、21題）、導數及其幾何意義（如第7、16、22題）、球（第8題）、空間角（異面直線所成的角、二面角）（如第11、19題）、概率及數學期望（如第20題）。考查的基本性質、公式、定理有對數運算法則（如第10題）、誘導公式及同角的三角函數關系（如第3、17題）、二倍角公式（如第15題）、三角函數性質（如第3題）、數列（等差、等比數列）的通項公式及前n項和公式（如第10、18題）、組合數公式及基本計數原理（如第5題）、二項式定理（如第12題）、球的表面積公式（如第8題）、棱錐（正四棱錐）的性質（如第8題）、正弦定理及余弦定理（如第9、11、17題）。考查的基本數學思想方法有方程思想（如第4、10題）、函數思想（如第12、16、22題）、數形結合思想（如第2、6、9、12、14、15、21題）、向量法（如第19題）、分類討論思想（如第20、22題）。其中，試題對函數、三角函數、數列、空間幾何圖形中的點線面關系、圓錐曲線、概率等主干知識進行了重點考查，同時對重要的思想方法進行了重點考查。

（三）五大能力及兩種意識均有考查，與新課標卷試題一致

高考考查的五大能力及兩種意識是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識和創新意識，這方面與新課標卷試題的要求相一致。今年的高考數學大綱卷（理）中，考查空間想象能力（包括二維和三維空間）的題目包括第8、11、12、14、15、19、21題；考查抽象概括能力的題目包括第16、18、20、22題；考查推理論證能力的題目包括第3、19、21、22題；對運算求解能力的考查最重，幾乎每題均有涉及，因此對考生運算速度及運算準確度提出了更高的要求；考查數據處理能力的題目包括第3、19、20題；考查應用意識的題目包括第5、20題；考查創新意識的題目包括第21、22題，這兩題對考生思維品質（如靈活性、批判性）和關聯能力均提出了很高的要求。

（四）大綱卷和新課標卷試題的運算量與思維量有區別

大綱卷和新課標卷高考試題對于大綱版教材與新課標教材重疊部分內容的考查題型沒有明顯區別，但運算量與思維量有區別。兩卷考查內容如下：

2014年高考大綱卷（理）與新課標卷Ⅰ

（理）考查知識點及分值對照表

由對照表我們可以發現，大綱版教材與新課標教材重疊部分內容的考查題型沒有明顯區別，所占的比重也基本一致，但大綱卷的運算量及思維量等方面不及新課標卷。例如，同樣考查三角函數的性質與圖像，大綱卷第3題在運算量、閱讀量、思維量等方面均不及新課標卷第6題；盡管新課標卷并未出現有關三角函數的解答題，但在選擇題、填空題部分各增加了一題，其中第8題對三角恒等變換要求較高，第16題與大綱卷的第17題都是關于解三角形的問題，新課標卷第16題雖然是小題，但其運算量并未下降，同時還考查了考生的合情推理能力；與大綱卷第14題相比，新課標卷第9題涉及線性規劃和命題兩個知識點，題型新穎，對考生的應變能力提出了要求；大綱卷第18題與新課標卷第17題均考查考生對基本數列（等差、等比）的定義及性質的掌握，但新課標卷的設問較開放，對考生的探究、創新意識提出了要求；同樣考查概率與統計，大綱卷第20題考查的依舊是考生熟悉的求指定事件的概率以及求某一個隨機變量的數學期望，而新課標卷卻以頻率分布直方圖為背景，既要求樣本平均數x和樣本方差s2，還要求考生研究與正態分布的相關問題，這有些出乎人的意料，如果考生復習不完備，將難以完整解答此題。另外，對于向量的考查，大綱卷中僅有一題，而新課標卷中有兩題，由此可見向量的工具性特點得到加強。endprint

（五）文理科試卷相同題（或姊妹題）的數量呈減少趨勢

2014年大綱卷文理科試卷有7道相同題和1道姊妹題，而2013年大綱卷文理科試卷有8道相同題和2道姊妹題，總體呈減少趨勢，這一趨勢與新課標卷文理科試題變化趨勢是一致的。新課標卷文理科試題差異變大，只有5道相同題和1道姊妹題，這一趨勢對今后編制文理科模擬試卷有指導意義。

二、2015年高考備考建議

（一）實施新課程標準后并不意味著新課標卷試題與大綱卷試題就毫無關系，對于大綱卷中的典型題目（尤其是與新課標版教材重疊部分的內容）的剖析仍應成為備考的重要工作，建議教師將一些典型條件的歸類及應對方法作為學生進行學科研究性學習的一項內容。

（二）教師在教學時不能僅憑經驗隨意對教學內容進行增減，今年的新課標卷考查了平時教學中教師不太重視或因為不太熟悉而有意回避的正態分布和線性回歸，便是一次提醒。同時，相比于大綱卷，新課標卷試題的運算量、思維量不降反增，因此，加強學生的運算能力培養應該成為教學的重要內容。

（三）新課標教材新增的內容，如算法與框圖、三視圖、推理與證明、幾何證明選講、坐標系參數方程、不等式選講等在新課標卷中均有涉及，但難度普遍得到控制，因此對于新增內容的教學不宜作過多拓展，也不宜加深難度。但新課標卷的題目在考查方式上與大綱卷的區別是明顯的，其應用性、探究性色彩更濃，這一點在新課標卷I（理）第6、12、14、16、18、24題中體現得尤為明顯。而培養學生的探究意識無法一蹴而就，建議教師在平時的教學中多創設一些讓學生進行探究的機會，以培養學生良好的思維習慣。如引導學生關注教科書中的三個欄目，養成三種習慣：關注“思考”欄目，養成善于思考的習慣；關注“注釋”欄目，養成善于精確把握概念的習慣；關注“探究”欄目，養成善于探究的習慣。平時還可多設計一些開放性的問題，適當布置學生撰寫解題心得或數學小論文等。

（四）由于文理科試卷相同題（或姊妹題）數量呈減少趨勢，故在編制模擬試題時應遵循這一變化，以提高模擬試題的針對性。

（五）培養高考真題與課本內容的關聯能力，減少備考盲目性。高考數學試題的大部分題目與教材中的題目都存在一定的關聯，如果教師在備考指導中能夠針對此特點，培養學生研究題目的能力，則可以達到事半功倍的效果。例如，新課標卷Ⅰ第1題涉及集合的交集，一元二次不等式解法，此題可與數學必修1中P12習題1.1A組第10題和數學必修5中P78例2兩題關聯起來；第2題考查復數的除法，與數學選修2-2中P112習題3.2A組第5題類似；第6題利用三角函數線研究函數的圖像，與數學必修4中P41《探究與發現》欄目類似；第8題考查三角函數恒等變換，可與數學必修4中P22習題1.2B組第4題和P143習題3.2第1題第（8）小題建立關聯；第12題考查三視圖，可視為數學必修2中P29習題1.3B組第1題的變式，可引導學生去作一個三棱錐的三視圖；第24題為不等式選講題，與數學選修4-5中P10習題1.1第15題有異曲同工之處。

（六）培養學生的審題及心算能力，提高解題速度。在短短的兩個小時里，要求考生完成整份試題，對考生解題速度的要求非常高。我們不難發現，無論哪一年的高考試題，均有相當數量的題目可以通過心算來完成，如果教師在平時教學中能通過有意識地組織題組并限定學生“口答”來培養學生的心算習慣，這對學生提高解常規題的速度將大有幫助。

（責編 周翠如）endprint

（五）文理科試卷相同題（或姊妹題）的數量呈減少趨勢

2014年大綱卷文理科試卷有7道相同題和1道姊妹題，而2013年大綱卷文理科試卷有8道相同題和2道姊妹題，總體呈減少趨勢，這一趨勢與新課標卷文理科試題變化趨勢是一致的。新課標卷文理科試題差異變大，只有5道相同題和1道姊妹題，這一趨勢對今后編制文理科模擬試卷有指導意義。

二、2015年高考備考建議

（一）實施新課程標準后并不意味著新課標卷試題與大綱卷試題就毫無關系，對于大綱卷中的典型題目（尤其是與新課標版教材重疊部分的內容）的剖析仍應成為備考的重要工作，建議教師將一些典型條件的歸類及應對方法作為學生進行學科研究性學習的一項內容。

（二）教師在教學時不能僅憑經驗隨意對教學內容進行增減，今年的新課標卷考查了平時教學中教師不太重視或因為不太熟悉而有意回避的正態分布和線性回歸，便是一次提醒。同時，相比于大綱卷，新課標卷試題的運算量、思維量不降反增，因此，加強學生的運算能力培養應該成為教學的重要內容。

（三）新課標教材新增的內容，如算法與框圖、三視圖、推理與證明、幾何證明選講、坐標系參數方程、不等式選講等在新課標卷中均有涉及，但難度普遍得到控制，因此對于新增內容的教學不宜作過多拓展，也不宜加深難度。但新課標卷的題目在考查方式上與大綱卷的區別是明顯的，其應用性、探究性色彩更濃，這一點在新課標卷I（理）第6、12、14、16、18、24題中體現得尤為明顯。而培養學生的探究意識無法一蹴而就，建議教師在平時的教學中多創設一些讓學生進行探究的機會，以培養學生良好的思維習慣。如引導學生關注教科書中的三個欄目，養成三種習慣：關注“思考”欄目，養成善于思考的習慣；關注“注釋”欄目，養成善于精確把握概念的習慣；關注“探究”欄目，養成善于探究的習慣。平時還可多設計一些開放性的問題，適當布置學生撰寫解題心得或數學小論文等。

（四）由于文理科試卷相同題（或姊妹題）數量呈減少趨勢，故在編制模擬試題時應遵循這一變化，以提高模擬試題的針對性。

（五）培養高考真題與課本內容的關聯能力，減少備考盲目性。高考數學試題的大部分題目與教材中的題目都存在一定的關聯，如果教師在備考指導中能夠針對此特點，培養學生研究題目的能力，則可以達到事半功倍的效果。例如，新課標卷Ⅰ第1題涉及集合的交集，一元二次不等式解法，此題可與數學必修1中P12習題1.1A組第10題和數學必修5中P78例2兩題關聯起來；第2題考查復數的除法，與數學選修2-2中P112習題3.2A組第5題類似；第6題利用三角函數線研究函數的圖像，與數學必修4中P41《探究與發現》欄目類似；第8題考查三角函數恒等變換，可與數學必修4中P22習題1.2B組第4題和P143習題3.2第1題第（8）小題建立關聯；第12題考查三視圖，可視為數學必修2中P29習題1.3B組第1題的變式，可引導學生去作一個三棱錐的三視圖；第24題為不等式選講題，與數學選修4-5中P10習題1.1第15題有異曲同工之處。

（六）培養學生的審題及心算能力，提高解題速度。在短短的兩個小時里，要求考生完成整份試題，對考生解題速度的要求非常高。我們不難發現，無論哪一年的高考試題，均有相當數量的題目可以通過心算來完成，如果教師在平時教學中能通過有意識地組織題組并限定學生“口答”來培養學生的心算習慣，這對學生提高解常規題的速度將大有幫助。

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（五）文理科試卷相同題（或姊妹題）的數量呈減少趨勢

2014年大綱卷文理科試卷有7道相同題和1道姊妹題，而2013年大綱卷文理科試卷有8道相同題和2道姊妹題，總體呈減少趨勢，這一趨勢與新課標卷文理科試題變化趨勢是一致的。新課標卷文理科試題差異變大，只有5道相同題和1道姊妹題，這一趨勢對今后編制文理科模擬試卷有指導意義。

二、2015年高考備考建議

（一）實施新課程標準后并不意味著新課標卷試題與大綱卷試題就毫無關系，對于大綱卷中的典型題目（尤其是與新課標版教材重疊部分的內容）的剖析仍應成為備考的重要工作，建議教師將一些典型條件的歸類及應對方法作為學生進行學科研究性學習的一項內容。

（二）教師在教學時不能僅憑經驗隨意對教學內容進行增減，今年的新課標卷考查了平時教學中教師不太重視或因為不太熟悉而有意回避的正態分布和線性回歸，便是一次提醒。同時，相比于大綱卷，新課標卷試題的運算量、思維量不降反增，因此，加強學生的運算能力培養應該成為教學的重要內容。

（三）新課標教材新增的內容，如算法與框圖、三視圖、推理與證明、幾何證明選講、坐標系參數方程、不等式選講等在新課標卷中均有涉及，但難度普遍得到控制，因此對于新增內容的教學不宜作過多拓展，也不宜加深難度。但新課標卷的題目在考查方式上與大綱卷的區別是明顯的，其應用性、探究性色彩更濃，這一點在新課標卷I（理）第6、12、14、16、18、24題中體現得尤為明顯。而培養學生的探究意識無法一蹴而就，建議教師在平時的教學中多創設一些讓學生進行探究的機會，以培養學生良好的思維習慣。如引導學生關注教科書中的三個欄目，養成三種習慣：關注“思考”欄目，養成善于思考的習慣；關注“注釋”欄目，養成善于精確把握概念的習慣；關注“探究”欄目，養成善于探究的習慣。平時還可多設計一些開放性的問題，適當布置學生撰寫解題心得或數學小論文等。

（四）由于文理科試卷相同題（或姊妹題）數量呈減少趨勢，故在編制模擬試題時應遵循這一變化，以提高模擬試題的針對性。

（五）培養高考真題與課本內容的關聯能力，減少備考盲目性。高考數學試題的大部分題目與教材中的題目都存在一定的關聯，如果教師在備考指導中能夠針對此特點，培養學生研究題目的能力，則可以達到事半功倍的效果。例如，新課標卷Ⅰ第1題涉及集合的交集，一元二次不等式解法，此題可與數學必修1中P12習題1.1A組第10題和數學必修5中P78例2兩題關聯起來；第2題考查復數的除法，與數學選修2-2中P112習題3.2A組第5題類似；第6題利用三角函數線研究函數的圖像，與數學必修4中P41《探究與發現》欄目類似；第8題考查三角函數恒等變換，可與數學必修4中P22習題1.2B組第4題和P143習題3.2第1題第（8）小題建立關聯；第12題考查三視圖，可視為數學必修2中P29習題1.3B組第1題的變式，可引導學生去作一個三棱錐的三視圖；第24題為不等式選講題，與數學選修4-5中P10習題1.1第15題有異曲同工之處。

（六）培養學生的審題及心算能力，提高解題速度。在短短的兩個小時里，要求考生完成整份試題，對考生解題速度的要求非常高。我們不難發現，無論哪一年的高考試題，均有相當數量的題目可以通過心算來完成，如果教師在平時教學中能通過有意識地組織題組并限定學生“口答”來培養學生的心算習慣，這對學生提高解常規題的速度將大有幫助。

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