導數專題教學反思

江梅

一、本專題新課標與大綱的區別

1.課標不要求學習微分的概念和有關內容；

2.在沒有學習極限的前提下，課標以速度作為背景，從學生的認知水平出發，直觀感知導概念，得出定義，再用曲線的切線加以強化，與以往教材的處理形成鮮明對照；

3.課標對多項式函數單調性的研究明確規定不超過三次，教學中便于操作把握；

4.大綱要求“熟記基本導數公式”，而課標要求“會使用導數公式表”，強調了學生應用知識的能力，不要求死記硬背導數；

5.“導數”教學采用“平均速度→瞬時速度→導數概念”的方法，與物理背景聯系起來，再用曲線的切線印證，與舊教材的“數列→數列極限→函數極限→導數概念”的講法完全不同，要認真體會.

二、新課標導數內容的準確定位

性質：刻畫函數的重要概念、函數性質學習的延續；

工具：研究函數性質的重要工具，研究可導函數性質的通用方法；

載體：是考查函數與方程、分類討論轉化與化歸等數學思想方法的重要載體；

交匯點：是函數與方程、不等式等有關知識的交點，可以考查學生綜合運用所學知識的能力.

三、新課標導數高考綜合題的分析與研究

1.導數高考綜合題題型分類：

（1）利用導數研究具體函數的性質，并求切線方程.

（2）研究一類含字母系數函數的性質， 在特定情況下求字母取值范圍，處理存在性、恒成立問題.

（3）構造新函數，借助導數，研究兩個函數間的關系.

2.導數綜合性問題的處理策略：

（1）分類討論問題.

（2）存在性、恒成立、零點或圖像交點問題，等等，這些問題常常需要構造新函數、將問題等價轉化變成函數的最值、極值或值域問題，最終還是通過函數的單調性解決問題.

重點：通過函數的單調性解決問題.

難點：學生的難點在如何構造函數、等價轉化或分析推理.

四、結合教學實踐例談從新課標導數高考綜合題看課堂教學

例. （2013課標全國Ⅰ文）20（本小題滿分12分）已知函數f（x）=e■（ax+b）-x■-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4.

（1）求a，b的值；

（2）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值.

解：（1）f′（x）=e■（ax+a+b）-2x-4.

由已知得f（0）=4，f′（0）=4.

故b=4，a+b=8.

從而得a=4，b=4.

（2）由（1）知，f（x）=4e■（x+1）-x■-4x

f′（x）=4e■（x+2）-2x-4=4（x+2）（e■-■）

令f′（x）=0得，x=-ln 2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln 2，+∞）時，f′（x）>2；

當x∈（-2，-ln 2）時，f′（x）<0.

故f（x）在（-∞，-2），（-ln 2，+∞）上單調遞增，在（-2，-ln 2）上單調遞減.

當x=-2時，函數f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e-2）.

考題評注：此題是典型的利用導數研究具體函數的性質，并求切線方程的問題.（1）問是與切線方程有關的問題.無論是何種教材，還是文科或理科，都是高考考查的主干知識，高頻考點，數形結合的好材料.雖作為文科壓軸題，但（2）問思維量小，用導數研究函數單調區間學生普遍感到會而不對，對而不全.在實際教學中此題學生真正的難點是如何解不等式，怎樣比較對數大小，這要求教師在平常教學中對教學有深入了解，注意本專題與其他模塊知識的橫向關系，幫助學生總結通性通法，梳理知識脈絡，將導數綜合題分解進行針對性的訓練.

課堂教學：

1.切線方程的教學：我認為這是送分題，屬于比較好處理的思維定勢，題型變化不多的高考題.在平常教學中，我主要采取數形結合，不斷滲透方程的思想，幫助學生總結提煉定勢模型，實踐證明，取得了較好的效果.具體操作如下：與切線方程有關的問題，先讓學生任畫一條曲線代表函數圖像（這里要求畫簡圖輔助找思路，要速度），再在曲線上找一點作出曲線的切線，記為切點（x■，y■），觀察圖像引導學生歸納得出：圍繞切點可建立三個方程①切線的斜率等于切點的導數值（基礎班要強調求切點的導數值的步驟：第一，求原函數的導數f′（x），第二，將切點的橫坐標x■帶入導函數f′（x）得出f′（x■）構建方程k■=f′（x■）；②觀察切點在函數圖像上，將切點（x■，y■）坐標代入函數解析式構建方程y■=f（x■）；③觀察切點在函數圖像上，將切點（x■，y■）坐標代入切線方程成立，如已知沒有給出切線方程要靈活處理；面對三個方程讓學生深刻體會方程的思想，三個方程可解三個待定系數，最多用完三個方程，切線問題迎刃而解.其中，圍繞切點（x■，y■）是教學的關鍵，是高考常設的陷阱，例題的選擇及變式要注意讓學生區別過點作切線，過點處的切線，過（t，f（t））的切線的異同，課后提醒學生整理在錯題本上，考試時謹慎審題.

2.導數研究函數單調區間的教學：教學中的實際情況是學生聽得懂，做不了，有思路，更有障礙；利用導數求函數的單調區間學生易于掌握方法，學生真正的難點是如何解各類不等式（如指數，對數不等式，高次不等式，含參數不等式，等等），無法將本專題與其他模塊知識橫向溝通，形成能力.我在教學中采取的主要方式是將導數綜合題分解進行針對訓練，在高一、高二各個必修模塊的教學中從學科整體高度上把握導數與其他模塊知識的橫向關系，進行小專題針對訓練.具體做法是：在不等式教學中，為提高學生解題能力配合教材作了分解因式（主要是十字相乘法，立方差，立方和公式對三次多項式的分解因式及簡單技巧處理）專題，解二次不等式強化訓練，經常利用晚自習作解含參數二次不等式為什么要分類討論，怎樣分類討論，分類的標準是什么的典題分析，旨在讓學生從高一、高二起不斷體會（注意這里強調的是體會，而不是掌握；否則學生會產生畏難情緒）分類討論的重要數學思想，高三時學生有知識鋪墊，有心理基礎，才能有能力，有信心，輕松解決高考中最大的難題： 分類討論問題.endprint

例. （2013課標全國Ⅱ理）

（21）（本小題滿分12分）已知函數f（x）=e■-ln（x+m），

（Ⅰ）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.

解：（1）f′（x）=e■-■

由x=0是f（x）的極值點得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=e■-ln（x+1），定義域為（-1，+∞），f′（x）=e■-■，

函數f′（x）=e■-■在（-1，+∞）上單調遞增，且f′（0）=0.

因此當x∈（-1，0）時，f′（x）<0；

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，

所以f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

（2）當m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當m=2時，f（x）>0.

當m=2時，函數f′（x）=e■-■在（-2，+∞）上單調遞增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，

故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實根x■，且x■∈（-1，0）.

當x∈（-2，x■）時，f′（x）<0；

當x∈（x■，+∞）時，f′（x）>0，從而當x=x■時，f（x）取得最小值.

由f′（x■）=0得e■=■，ln（x■+2）=-x■，

故f（x）≥f（x■）=■+x■=■>0

綜上，當m≤2時，f（x）>0.

考題評注：此題是2013年課標全國Ⅱ理科第21題，壓軸題，難度明顯高于文科，思維靈活，對知識的遷移和應用知識解決問題的能力要求較高，因此，在本專題理科的教學中對導數與其他模塊知識的綜合尤其是導數在函數中的應用，與不等式的綜合要給予足夠重視，解題教學要以提高學生能力，發散學生思維為核心，讓個性品質優秀、數學成績良好的考生脫穎而出，具有競爭力.

課堂教學：

1.改善學生思維品質，提高能力：由于我所任教的班級是學校珍珠班，基礎好，學生學習興趣濃厚，在黔南州高二期末統考中數學成績的平均分位居全州第一，高考中能夠期望高分亮點，所以導數與函數的綜合壓軸題雖然難度大，卻是我課堂教學成功與否的關鍵.在導數專題的教學中，我關注學生對導數的深入理解及學生數學素養（具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力）的培養.但如果教學對象是基礎班學生，建議教學時降低難度，從入口低的問題入手，從定勢問題入手，幫助學生提煉解決此類問題的基本途徑，導數綜合題的第（2）問對能力較弱的學生可不要求. 具體做法是：收集本專題歷年高考題，相關雜志上的好題妙題，近三年高中數學聯賽各省預賽題，教學前由教師對題目進行深入分析，做好例題與練習的挑選，每日一題讓學生自由選擇（獨立完成，交流討論合作完成，查閱資料作好筆記）一種形式完成，重在學生思維的參與，過程的體驗，以及教師講解之后學生的頓悟；每周以競賽輔導的形式對學生進行培優拔高，對一周所給題目詳細講解，輔導中注重暴露教師思維的過程，有意識地向學生滲透數形結合、分類討論、函數與方程等思維層次要求較高的數學思想方法，在潛移默化中改善學生思維品質，提高能力.從目前所任班級的實際教學情況來看，學生學得輕松，學得自信，大部分學生對難題不再有畏難情緒，思維活躍，經常自覺與同學交流探討，數學成績明顯提高.這都說明以競賽輔導的形式對基礎好的學生進行培優拔高是必要的，會讓學生具有高分潛力.

2.本專題對教師教學的要求：本專題綜合壓軸題難度大，重點在于與不等式的綜合，出題形式多以存在性、恒成立、零點或圖像交點、不等式的證明問題出現，這些問題常常需要構造新函數、將問題等價轉化變成函數的最值、極值或值域問題，最終還是通過函數的單調性解決問題.實際教學中，我利用策略教學突破難點學生的難點在如何構造函數、等價轉化或分析推理，所以我對本專題各類型題目的解題策略做了歸類整理并寫成論文發表，如構造函數證不等式的策略，用導數處理存在性、恒成立求參數范圍問題的策略，分類討論策略和高考中怎樣避開分類討論策略，通過這種備課、備教材、備學生的創造性活動，我與學生一起成長.我認為，只有教師對教學、對數學有深刻的認識，才會有深入淺出的教學，才會有高效課堂.

例. （2013課標全國Ⅱ文）21 （本小題滿分12分）

已知函數f（x）=x■e■，

（1）求f（x）的極小值和極大值；

（2）當曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍.

考題評注：此題為2013課標全國Ⅱ文科壓軸題，第（1）問為利用導數研究函數單調性，極值，最值問題，屬定勢教學，中檔題，學生易于接受掌握.第（2）問是導數與函數，導數與直線方程的綜合題，對文科學生來說，要求模塊之間知識互相溝通，擁有完整的知識網絡和較強的計算能力.

課堂教學：

導數研究函數單調性，極值，最值問題教學困惑：一直以來，我對教材上利用導數研究函數單調性，極值，最值問題的例題教學頗有疑義.例如教材上強調的求函數極值的一般步驟：

（1）確定函數的定義域；

（2）求導數f′（x）；

（3）求方程f′（x）=0的全部實根；

（4）檢查方程f′（x）=0的根左右兩側f′（x）的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值.為判斷方程f′（x）=0的根左右兩側f′（x）的符號，可用列表的方法：用方程f′（x）=0的根及無意義的點，順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格.根據極值定義找到相應的極值.

教材例題：求函數f（x）=■-2的極值.

解：易知f（x）的定義域為R

f′（x）=■=■

令f′（x）=0，解得x=1或x=-1.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況為：

∴當x=-1時，f（x）有極小值-3；當x=1時，f（x）有極大值-1.

我認為，既然新課標突出學生創新能力培養，注重數學思想方法的滲透，那么在利用導數研究函數單調性、極值、最值問題的教學中，我對此節內容做了如下處理：第一步，求函數f（x）的導數f′（x）；第二步，令f′（x）≥0，解不等式，此不等式的解集在定義域內的部分即為函數f（x）的增區間，此不等式的解集在定義域內的補集即為減區間；第三步，根據以上單調區間畫出函數f（x）的大致圖像（求極值，最值只要求畫出圖像增減波浪）；第四步，觀察圖像數形結合即可快速準確找出極值、最值.這樣處理教學的好處是整個思路流暢自然，數形結合落到實處，為分類討論提供分類的標準，而且能提高解題速度.這里，我希望與大家一起分享，探討教學的成功與困惑.

此教學設計為黔南州州級課題N130025的研究成果。endprint

例. （2013課標全國Ⅱ理）

（21）（本小題滿分12分）已知函數f（x）=e■-ln（x+m），

（Ⅰ）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.

解：（1）f′（x）=e■-■

由x=0是f（x）的極值點得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=e■-ln（x+1），定義域為（-1，+∞），f′（x）=e■-■，

函數f′（x）=e■-■在（-1，+∞）上單調遞增，且f′（0）=0.

因此當x∈（-1，0）時，f′（x）<0；

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，

所以f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

（2）當m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當m=2時，f（x）>0.

當m=2時，函數f′（x）=e■-■在（-2，+∞）上單調遞增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，

故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實根x■，且x■∈（-1，0）.

當x∈（-2，x■）時，f′（x）<0；

當x∈（x■，+∞）時，f′（x）>0，從而當x=x■時，f（x）取得最小值.

由f′（x■）=0得e■=■，ln（x■+2）=-x■，

故f（x）≥f（x■）=■+x■=■>0

綜上，當m≤2時，f（x）>0.

考題評注：此題是2013年課標全國Ⅱ理科第21題，壓軸題，難度明顯高于文科，思維靈活，對知識的遷移和應用知識解決問題的能力要求較高，因此，在本專題理科的教學中對導數與其他模塊知識的綜合尤其是導數在函數中的應用，與不等式的綜合要給予足夠重視，解題教學要以提高學生能力，發散學生思維為核心，讓個性品質優秀、數學成績良好的考生脫穎而出，具有競爭力.

課堂教學：

1.改善學生思維品質，提高能力：由于我所任教的班級是學校珍珠班，基礎好，學生學習興趣濃厚，在黔南州高二期末統考中數學成績的平均分位居全州第一，高考中能夠期望高分亮點，所以導數與函數的綜合壓軸題雖然難度大，卻是我課堂教學成功與否的關鍵.在導數專題的教學中，我關注學生對導數的深入理解及學生數學素養（具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力）的培養.但如果教學對象是基礎班學生，建議教學時降低難度，從入口低的問題入手，從定勢問題入手，幫助學生提煉解決此類問題的基本途徑，導數綜合題的第（2）問對能力較弱的學生可不要求. 具體做法是：收集本專題歷年高考題，相關雜志上的好題妙題，近三年高中數學聯賽各省預賽題，教學前由教師對題目進行深入分析，做好例題與練習的挑選，每日一題讓學生自由選擇（獨立完成，交流討論合作完成，查閱資料作好筆記）一種形式完成，重在學生思維的參與，過程的體驗，以及教師講解之后學生的頓悟；每周以競賽輔導的形式對學生進行培優拔高，對一周所給題目詳細講解，輔導中注重暴露教師思維的過程，有意識地向學生滲透數形結合、分類討論、函數與方程等思維層次要求較高的數學思想方法，在潛移默化中改善學生思維品質，提高能力.從目前所任班級的實際教學情況來看，學生學得輕松，學得自信，大部分學生對難題不再有畏難情緒，思維活躍，經常自覺與同學交流探討，數學成績明顯提高.這都說明以競賽輔導的形式對基礎好的學生進行培優拔高是必要的，會讓學生具有高分潛力.

2.本專題對教師教學的要求：本專題綜合壓軸題難度大，重點在于與不等式的綜合，出題形式多以存在性、恒成立、零點或圖像交點、不等式的證明問題出現，這些問題常常需要構造新函數、將問題等價轉化變成函數的最值、極值或值域問題，最終還是通過函數的單調性解決問題.實際教學中，我利用策略教學突破難點學生的難點在如何構造函數、等價轉化或分析推理，所以我對本專題各類型題目的解題策略做了歸類整理并寫成論文發表，如構造函數證不等式的策略，用導數處理存在性、恒成立求參數范圍問題的策略，分類討論策略和高考中怎樣避開分類討論策略，通過這種備課、備教材、備學生的創造性活動，我與學生一起成長.我認為，只有教師對教學、對數學有深刻的認識，才會有深入淺出的教學，才會有高效課堂.

例. （2013課標全國Ⅱ文）21 （本小題滿分12分）

已知函數f（x）=x■e■，

（1）求f（x）的極小值和極大值；

（2）當曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍.

考題評注：此題為2013課標全國Ⅱ文科壓軸題，第（1）問為利用導數研究函數單調性，極值，最值問題，屬定勢教學，中檔題，學生易于接受掌握.第（2）問是導數與函數，導數與直線方程的綜合題，對文科學生來說，要求模塊之間知識互相溝通，擁有完整的知識網絡和較強的計算能力.

課堂教學：

導數研究函數單調性，極值，最值問題教學困惑：一直以來，我對教材上利用導數研究函數單調性，極值，最值問題的例題教學頗有疑義.例如教材上強調的求函數極值的一般步驟：

（1）確定函數的定義域；

（2）求導數f′（x）；

（3）求方程f′（x）=0的全部實根；

（4）檢查方程f′（x）=0的根左右兩側f′（x）的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值.為判斷方程f′（x）=0的根左右兩側f′（x）的符號，可用列表的方法：用方程f′（x）=0的根及無意義的點，順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格.根據極值定義找到相應的極值.

教材例題：求函數f（x）=■-2的極值.

解：易知f（x）的定義域為R

f′（x）=■=■

令f′（x）=0，解得x=1或x=-1.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況為：

∴當x=-1時，f（x）有極小值-3；當x=1時，f（x）有極大值-1.

我認為，既然新課標突出學生創新能力培養，注重數學思想方法的滲透，那么在利用導數研究函數單調性、極值、最值問題的教學中，我對此節內容做了如下處理：第一步，求函數f（x）的導數f′（x）；第二步，令f′（x）≥0，解不等式，此不等式的解集在定義域內的部分即為函數f（x）的增區間，此不等式的解集在定義域內的補集即為減區間；第三步，根據以上單調區間畫出函數f（x）的大致圖像（求極值，最值只要求畫出圖像增減波浪）；第四步，觀察圖像數形結合即可快速準確找出極值、最值.這樣處理教學的好處是整個思路流暢自然，數形結合落到實處，為分類討論提供分類的標準，而且能提高解題速度.這里，我希望與大家一起分享，探討教學的成功與困惑.

此教學設計為黔南州州級課題N130025的研究成果。endprint

例. （2013課標全國Ⅱ理）

（21）（本小題滿分12分）已知函數f（x）=e■-ln（x+m），

（Ⅰ）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明f（x）>0.

解：（1）f′（x）=e■-■

由x=0是f（x）的極值點得f′（0）=0，所以m=1.

于是f（x）=e■-ln（x+1），定義域為（-1，+∞），f′（x）=e■-■，

函數f′（x）=e■-■在（-1，+∞）上單調遞增，且f′（0）=0.

因此當x∈（-1，0）時，f′（x）<0；

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，

所以f（x）在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

（2）當m≤2，x∈（-m，+∞）時，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當m=2時，f（x）>0.

當m=2時，函數f′（x）=e■-■在（-2，+∞）上單調遞增.

又f′（-1）<0，f′（0）>0，

故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實根x■，且x■∈（-1，0）.

當x∈（-2，x■）時，f′（x）<0；

當x∈（x■，+∞）時，f′（x）>0，從而當x=x■時，f（x）取得最小值.

由f′（x■）=0得e■=■，ln（x■+2）=-x■，

故f（x）≥f（x■）=■+x■=■>0

綜上，當m≤2時，f（x）>0.

考題評注：此題是2013年課標全國Ⅱ理科第21題，壓軸題，難度明顯高于文科，思維靈活，對知識的遷移和應用知識解決問題的能力要求較高，因此，在本專題理科的教學中對導數與其他模塊知識的綜合尤其是導數在函數中的應用，與不等式的綜合要給予足夠重視，解題教學要以提高學生能力，發散學生思維為核心，讓個性品質優秀、數學成績良好的考生脫穎而出，具有競爭力.

課堂教學：

1.改善學生思維品質，提高能力：由于我所任教的班級是學校珍珠班，基礎好，學生學習興趣濃厚，在黔南州高二期末統考中數學成績的平均分位居全州第一，高考中能夠期望高分亮點，所以導數與函數的綜合壓軸題雖然難度大，卻是我課堂教學成功與否的關鍵.在導數專題的教學中，我關注學生對導數的深入理解及學生數學素養（具備扎實的數學基礎和解決數學問題的能力）的培養.但如果教學對象是基礎班學生，建議教學時降低難度，從入口低的問題入手，從定勢問題入手，幫助學生提煉解決此類問題的基本途徑，導數綜合題的第（2）問對能力較弱的學生可不要求. 具體做法是：收集本專題歷年高考題，相關雜志上的好題妙題，近三年高中數學聯賽各省預賽題，教學前由教師對題目進行深入分析，做好例題與練習的挑選，每日一題讓學生自由選擇（獨立完成，交流討論合作完成，查閱資料作好筆記）一種形式完成，重在學生思維的參與，過程的體驗，以及教師講解之后學生的頓悟；每周以競賽輔導的形式對學生進行培優拔高，對一周所給題目詳細講解，輔導中注重暴露教師思維的過程，有意識地向學生滲透數形結合、分類討論、函數與方程等思維層次要求較高的數學思想方法，在潛移默化中改善學生思維品質，提高能力.從目前所任班級的實際教學情況來看，學生學得輕松，學得自信，大部分學生對難題不再有畏難情緒，思維活躍，經常自覺與同學交流探討，數學成績明顯提高.這都說明以競賽輔導的形式對基礎好的學生進行培優拔高是必要的，會讓學生具有高分潛力.

2.本專題對教師教學的要求：本專題綜合壓軸題難度大，重點在于與不等式的綜合，出題形式多以存在性、恒成立、零點或圖像交點、不等式的證明問題出現，這些問題常常需要構造新函數、將問題等價轉化變成函數的最值、極值或值域問題，最終還是通過函數的單調性解決問題.實際教學中，我利用策略教學突破難點學生的難點在如何構造函數、等價轉化或分析推理，所以我對本專題各類型題目的解題策略做了歸類整理并寫成論文發表，如構造函數證不等式的策略，用導數處理存在性、恒成立求參數范圍問題的策略，分類討論策略和高考中怎樣避開分類討論策略，通過這種備課、備教材、備學生的創造性活動，我與學生一起成長.我認為，只有教師對教學、對數學有深刻的認識，才會有深入淺出的教學，才會有高效課堂.

例. （2013課標全國Ⅱ文）21 （本小題滿分12分）

已知函數f（x）=x■e■，

（1）求f（x）的極小值和極大值；

（2）當曲線y=f（x）的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍.

考題評注：此題為2013課標全國Ⅱ文科壓軸題，第（1）問為利用導數研究函數單調性，極值，最值問題，屬定勢教學，中檔題，學生易于接受掌握.第（2）問是導數與函數，導數與直線方程的綜合題，對文科學生來說，要求模塊之間知識互相溝通，擁有完整的知識網絡和較強的計算能力.

課堂教學：

導數研究函數單調性，極值，最值問題教學困惑：一直以來，我對教材上利用導數研究函數單調性，極值，最值問題的例題教學頗有疑義.例如教材上強調的求函數極值的一般步驟：

（1）確定函數的定義域；

（2）求導數f′（x）；

（3）求方程f′（x）=0的全部實根；

（4）檢查方程f′（x）=0的根左右兩側f′（x）的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值.為判斷方程f′（x）=0的根左右兩側f′（x）的符號，可用列表的方法：用方程f′（x）=0的根及無意義的點，順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格.根據極值定義找到相應的極值.

教材例題：求函數f（x）=■-2的極值.

解：易知f（x）的定義域為R

f′（x）=■=■

令f′（x）=0，解得x=1或x=-1.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況為：

∴當x=-1時，f（x）有極小值-3；當x=1時，f（x）有極大值-1.

我認為，既然新課標突出學生創新能力培養，注重數學思想方法的滲透，那么在利用導數研究函數單調性、極值、最值問題的教學中，我對此節內容做了如下處理：第一步，求函數f（x）的導數f′（x）；第二步，令f′（x）≥0，解不等式，此不等式的解集在定義域內的部分即為函數f（x）的增區間，此不等式的解集在定義域內的補集即為減區間；第三步，根據以上單調區間畫出函數f（x）的大致圖像（求極值，最值只要求畫出圖像增減波浪）；第四步，觀察圖像數形結合即可快速準確找出極值、最值.這樣處理教學的好處是整個思路流暢自然，數形結合落到實處，為分類討論提供分類的標準，而且能提高解題速度.這里，我希望與大家一起分享，探討教學的成功與困惑.

此教學設計為黔南州州級課題N130025的研究成果。endprint