我的肯定，喚回了學生的自信

廖支斌

那是一次令人難忘的學生解題板演，雖然已過去好多年，但至今仍記憶猶新，情景歷歷在目.題目是：已知雙曲線的方程為x■-■=1，以B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由.

甲同學的解法：假設以B（1，1）為中點的弦存在，設該弦所在的直線方程為：y=k（x-1）+1，聯(lián)立方程組y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因為直線與雙曲線相交于不同兩點，設兩點為A（x■，y■），B（x■，y■），

則3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中點，則■=■=1？圯k=3但不滿足（*），故以B（1，1）為中點的弦不存在.

乙同學的解法：假設以B（1，1）為中點的弦存在，設弦為AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），則x■■-■=1，x■■-■=1，兩式相減，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由題設知x■≠x■，又∵B（1，1）為弦AB的中點，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程為3x-y-2=0.

板演結束，我與同學們進行了對話：

教師：兩種答案擺在了同學們面前，哪位同學的解答正確呢？

學生（異口同聲地）說：甲（這時，我看到乙同學的頭慢慢低了下去）.我及時調節(jié)課堂氣氛，將問題拋給學生.

教師：哪位同學的解法簡捷呢？

學生：面面相覷，但仍然肯定了乙同學的解法（這時乙同學的頭又抬起來了），但不知所以然；有的在揣摩老師的意圖，但也是一臉茫然；有的在嘀咕，錯了還講什么簡捷？

教師：是啊，錯了，還談什么簡捷！學生嘩然哄笑.

教師：乙同學的解法的確簡捷，但錯在哪里呢？將問題再次拋給學生.學生分小組研究討論……

過了一會，丙同學站起來說：我按乙同學得的k■=3可得直線方程3x-y-2=0，聯(lián)立方程組得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直線3x-y-2=0與雙曲線x■-■=1無交點，故以點B（1，1）為中點的弦不存在.（一片掌聲）但有的學生還是不太理解.

教師：能給出直觀解釋嗎？這時丁同學上講臺一邊畫圖，一邊進行了解釋：直線與雙曲線沒有交點，當然就不存在以B（1，1）為中點的弦.這時，我就抓住難得鍛煉學生思維的契機，提出：將點改為A（2，1），以A為中點的弦存在嗎？請同學們用乙同學的解法并結合丙同學的補充嘗試一下.很快，大家都得到了正確答案，以A為中點的弦存在，為6x-y-11=0.

教師：一般對于點在曲線開口內時，以此點為中點的弦存在，但對于點在雙曲線的外部（不含焦點的區(qū)域）時的弦有可能不存在，因此，對于求得的直線要進行檢驗.

教師：看來，乙同學的解法是個妙極的方法.他給了我們一個很好的啟示，若檢驗一下直線是否與曲線相交，其解法就是一個“設點而不求”的簡潔明快的好方法.全班同學對乙投向了贊許的目光（這時我發(fā)現(xiàn)乙同學會心地笑了）.接著，我又大加肯定，乙同學不因循陳規(guī)，不因襲前人，是自己思維的真實展示.這種解法獨辟蹊徑，獨創(chuàng)新穎.他雖錯猶“榮”，給了我們解決與”中點”有關的問題解法的有益補充.（當我的目光再次觸及他時，我發(fā)現(xiàn)他臉上洋溢著得意的自信.）

從這以后，乙同學上數學課都是抬頭挺胸，信心十足，課余對數學也是“情有獨鐘”，上課更是大膽發(fā)言，“顯揚”自我，對有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨到之處.他的數學成績逐步提高，還積極報名參加了數學興趣小組，通過努力拼搏、鉆研學習，參加全國數學奧賽獲得了全國一等獎，免試進入了華中科技大學.他工作后的第一個春節(jié)來看望我時，仍然談到了那次板演評價，給他拾回了面子，喚回了他的自信，從此改變了他的學習狀況，令他永生難忘.

反思：走進我們的課堂，學生“越雷池一步”的想法是異常多見的，但我們的教師常常有意無意地把此納入自己的思維模式而加以扼殺，挫傷學生的獨創(chuàng)精神.也有的教師常常對學生的種種創(chuàng)新（當然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而視為“另類”，這就不得不讓人深思了.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”.學生學習中產生的錯誤，是一種來源于學生學習活動本身，具有特殊教育作用的學習材料.

1.及時捕捉“錯誤”，建構正確的認知結構.

心理學家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”因此，教師要獨具慧眼，善于捕捉稍縱即逝的錯誤，引導他們分析掌握其錯誤思想的運行軌跡，摸清其錯誤源頭，對“癥”下藥，找到解決問題的辦法，建構起正確的認知結構.

2.認真剖析“錯誤”，尋找思維的合理成分.

誠然，學生解題錯誤的原因是多方面的，但學生的“錯解”往往就是他真實思維的流露，而也只有這種真實的思維才是學生自己的東西，才是學生能保持長久的東西.教師一定要認真剖析學生“錯解”中合理的成分，哪怕只是一小點，也要予以充分肯定和贊賞，以保護學生的自尊、樹立學生的自信.對學生勇于展示錯誤的態(tài)度給予充分的欣賞，對錯誤給其他學生帶來的經驗或提示表示感謝，讓本以為錯誤的信息表現(xiàn)出它的價值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基礎上做些補救，讓其在“跌到處”爬起來.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“錯誤”，激活學生的創(chuàng)新思維.

要讓學生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，舍得花時間讓學生暴露思維過程，及時挖掘其中的價值.創(chuàng)新思維是指一個人在已有經驗和一般思維的邏輯規(guī)律的基礎上，用一種靈活、新穎的思維方式解決問題.合理利用學生的錯誤，挖掘錯誤中蘊含的創(chuàng)新因素，適時適度地給予點撥和鼓勵，能幫助學生突破眼前的思維障礙，進入創(chuàng)新求異的新境界，讓學生體驗思維的價值、享受思維的快樂.

4.借鑒案例“錯誤”，提高學生探索的興趣.

作為教師，我們要讓學生真正參與到知識的探索中，不能以教師的教代替學生的學，要讓學生親身體驗學習的成功與失敗；也要尊重學生的思維選擇，不要讓學生思維成為老師思維的奴隸，盡量沿著學生的思維軌跡，拓展學生的思維，特別是學生提出有別于標準答案的獨特想法時，要尊重學生的選擇，沿著學生的思路前進，而不是一味地摒棄，毫無道理地強行納入自己的思維軌道.

總之，學生在知識建構過程中，總會有一些認識上的偏差，對于學生生成的錯誤資源，教師大可不必藏著、捂著，而是要站在數學的角度上重新審視，挖掘其內在的“閃光點”，靈活地運用于數學教學中，最大限度地發(fā)揮學生錯誤的作用，為學生創(chuàng)造新的學習機會，為學生的成長與發(fā)展提供新的教育契機，給我們的數學課堂注入新的生命力.endprint

那是一次令人難忘的學生解題板演，雖然已過去好多年，但至今仍記憶猶新，情景歷歷在目.題目是：已知雙曲線的方程為x■-■=1，以B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由.

甲同學的解法：假設以B（1，1）為中點的弦存在，設該弦所在的直線方程為：y=k（x-1）+1，聯(lián)立方程組y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因為直線與雙曲線相交于不同兩點，設兩點為A（x■，y■），B（x■，y■），

則3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中點，則■=■=1？圯k=3但不滿足（*），故以B（1，1）為中點的弦不存在.

乙同學的解法：假設以B（1，1）為中點的弦存在，設弦為AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），則x■■-■=1，x■■-■=1，兩式相減，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由題設知x■≠x■，又∵B（1，1）為弦AB的中點，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程為3x-y-2=0.

板演結束，我與同學們進行了對話：

教師：兩種答案擺在了同學們面前，哪位同學的解答正確呢？

學生（異口同聲地）說：甲（這時，我看到乙同學的頭慢慢低了下去）.我及時調節(jié)課堂氣氛，將問題拋給學生.

教師：哪位同學的解法簡捷呢？

學生：面面相覷，但仍然肯定了乙同學的解法（這時乙同學的頭又抬起來了），但不知所以然；有的在揣摩老師的意圖，但也是一臉茫然；有的在嘀咕，錯了還講什么簡捷？

教師：是啊，錯了，還談什么簡捷！學生嘩然哄笑.

教師：乙同學的解法的確簡捷，但錯在哪里呢？將問題再次拋給學生.學生分小組研究討論……

過了一會，丙同學站起來說：我按乙同學得的k■=3可得直線方程3x-y-2=0，聯(lián)立方程組得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直線3x-y-2=0與雙曲線x■-■=1無交點，故以點B（1，1）為中點的弦不存在.（一片掌聲）但有的學生還是不太理解.

教師：能給出直觀解釋嗎？這時丁同學上講臺一邊畫圖，一邊進行了解釋：直線與雙曲線沒有交點，當然就不存在以B（1，1）為中點的弦.這時，我就抓住難得鍛煉學生思維的契機，提出：將點改為A（2，1），以A為中點的弦存在嗎？請同學們用乙同學的解法并結合丙同學的補充嘗試一下.很快，大家都得到了正確答案，以A為中點的弦存在，為6x-y-11=0.

教師：一般對于點在曲線開口內時，以此點為中點的弦存在，但對于點在雙曲線的外部（不含焦點的區(qū)域）時的弦有可能不存在，因此，對于求得的直線要進行檢驗.

教師：看來，乙同學的解法是個妙極的方法.他給了我們一個很好的啟示，若檢驗一下直線是否與曲線相交，其解法就是一個“設點而不求”的簡潔明快的好方法.全班同學對乙投向了贊許的目光（這時我發(fā)現(xiàn)乙同學會心地笑了）.接著，我又大加肯定，乙同學不因循陳規(guī)，不因襲前人，是自己思維的真實展示.這種解法獨辟蹊徑，獨創(chuàng)新穎.他雖錯猶“榮”，給了我們解決與”中點”有關的問題解法的有益補充.（當我的目光再次觸及他時，我發(fā)現(xiàn)他臉上洋溢著得意的自信.）

從這以后，乙同學上數學課都是抬頭挺胸，信心十足，課余對數學也是“情有獨鐘”，上課更是大膽發(fā)言，“顯揚”自我，對有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨到之處.他的數學成績逐步提高，還積極報名參加了數學興趣小組，通過努力拼搏、鉆研學習，參加全國數學奧賽獲得了全國一等獎，免試進入了華中科技大學.他工作后的第一個春節(jié)來看望我時，仍然談到了那次板演評價，給他拾回了面子，喚回了他的自信，從此改變了他的學習狀況，令他永生難忘.

反思：走進我們的課堂，學生“越雷池一步”的想法是異常多見的，但我們的教師常常有意無意地把此納入自己的思維模式而加以扼殺，挫傷學生的獨創(chuàng)精神.也有的教師常常對學生的種種創(chuàng)新（當然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而視為“另類”，這就不得不讓人深思了.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”.學生學習中產生的錯誤，是一種來源于學生學習活動本身，具有特殊教育作用的學習材料.

1.及時捕捉“錯誤”，建構正確的認知結構.

心理學家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”因此，教師要獨具慧眼，善于捕捉稍縱即逝的錯誤，引導他們分析掌握其錯誤思想的運行軌跡，摸清其錯誤源頭，對“癥”下藥，找到解決問題的辦法，建構起正確的認知結構.

2.認真剖析“錯誤”，尋找思維的合理成分.

誠然，學生解題錯誤的原因是多方面的，但學生的“錯解”往往就是他真實思維的流露，而也只有這種真實的思維才是學生自己的東西，才是學生能保持長久的東西.教師一定要認真剖析學生“錯解”中合理的成分，哪怕只是一小點，也要予以充分肯定和贊賞，以保護學生的自尊、樹立學生的自信.對學生勇于展示錯誤的態(tài)度給予充分的欣賞，對錯誤給其他學生帶來的經驗或提示表示感謝，讓本以為錯誤的信息表現(xiàn)出它的價值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基礎上做些補救，讓其在“跌到處”爬起來.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“錯誤”，激活學生的創(chuàng)新思維.

要讓學生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，舍得花時間讓學生暴露思維過程，及時挖掘其中的價值.創(chuàng)新思維是指一個人在已有經驗和一般思維的邏輯規(guī)律的基礎上，用一種靈活、新穎的思維方式解決問題.合理利用學生的錯誤，挖掘錯誤中蘊含的創(chuàng)新因素，適時適度地給予點撥和鼓勵，能幫助學生突破眼前的思維障礙，進入創(chuàng)新求異的新境界，讓學生體驗思維的價值、享受思維的快樂.

4.借鑒案例“錯誤”，提高學生探索的興趣.

作為教師，我們要讓學生真正參與到知識的探索中，不能以教師的教代替學生的學，要讓學生親身體驗學習的成功與失敗；也要尊重學生的思維選擇，不要讓學生思維成為老師思維的奴隸，盡量沿著學生的思維軌跡，拓展學生的思維，特別是學生提出有別于標準答案的獨特想法時，要尊重學生的選擇，沿著學生的思路前進，而不是一味地摒棄，毫無道理地強行納入自己的思維軌道.

總之，學生在知識建構過程中，總會有一些認識上的偏差，對于學生生成的錯誤資源，教師大可不必藏著、捂著，而是要站在數學的角度上重新審視，挖掘其內在的“閃光點”，靈活地運用于數學教學中，最大限度地發(fā)揮學生錯誤的作用，為學生創(chuàng)造新的學習機會，為學生的成長與發(fā)展提供新的教育契機，給我們的數學課堂注入新的生命力.endprint

那是一次令人難忘的學生解題板演，雖然已過去好多年，但至今仍記憶猶新，情景歷歷在目.題目是：已知雙曲線的方程為x■-■=1，以B（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直線方程；若不存在，說明理由.

甲同學的解法：假設以B（1，1）為中點的弦存在，設該弦所在的直線方程為：y=k（x-1）+1，聯(lián)立方程組y=k（x-1）+1x■-■=1，消去y并整得（3-k■）x■+2k（k-1）x-k■+2k-4=0.

因為直線與雙曲線相交于不同兩點，設兩點為A（x■，y■），B（x■，y■），

則3-k■≠0△=4k■（k-1）■+4（3-k■）（k■-2k+4）>0……（*）

又B（1，1）是弦AB的中點，則■=■=1？圯k=3但不滿足（*），故以B（1，1）為中點的弦不存在.

乙同學的解法：假設以B（1，1）為中點的弦存在，設弦為AB，且A（x■，y■），B（x■，y■），則x■■-■=1，x■■-■=1，兩式相減，得（x■+x■）（x■-x■）-■=0，由題設知x■≠x■，又∵B（1，1）為弦AB的中點，∴x■+x■=2，y■+y■=2，代入上式得k■=3，故所求方程為3x-y-2=0.

板演結束，我與同學們進行了對話：

教師：兩種答案擺在了同學們面前，哪位同學的解答正確呢？

學生（異口同聲地）說：甲（這時，我看到乙同學的頭慢慢低了下去）.我及時調節(jié)課堂氣氛，將問題拋給學生.

教師：哪位同學的解法簡捷呢？

學生：面面相覷，但仍然肯定了乙同學的解法（這時乙同學的頭又抬起來了），但不知所以然；有的在揣摩老師的意圖，但也是一臉茫然；有的在嘀咕，錯了還講什么簡捷？

教師：是啊，錯了，還談什么簡捷！學生嘩然哄笑.

教師：乙同學的解法的確簡捷，但錯在哪里呢？將問題再次拋給學生.學生分小組研究討論……

過了一會，丙同學站起來說：我按乙同學得的k■=3可得直線方程3x-y-2=0，聯(lián)立方程組得3x-y-2=0x■-■=1，得6x■-12x+7=0.

∵△=12■-4×6×7<0，∴所求直線3x-y-2=0與雙曲線x■-■=1無交點，故以點B（1，1）為中點的弦不存在.（一片掌聲）但有的學生還是不太理解.

教師：能給出直觀解釋嗎？這時丁同學上講臺一邊畫圖，一邊進行了解釋：直線與雙曲線沒有交點，當然就不存在以B（1，1）為中點的弦.這時，我就抓住難得鍛煉學生思維的契機，提出：將點改為A（2，1），以A為中點的弦存在嗎？請同學們用乙同學的解法并結合丙同學的補充嘗試一下.很快，大家都得到了正確答案，以A為中點的弦存在，為6x-y-11=0.

教師：一般對于點在曲線開口內時，以此點為中點的弦存在，但對于點在雙曲線的外部（不含焦點的區(qū)域）時的弦有可能不存在，因此，對于求得的直線要進行檢驗.

教師：看來，乙同學的解法是個妙極的方法.他給了我們一個很好的啟示，若檢驗一下直線是否與曲線相交，其解法就是一個“設點而不求”的簡潔明快的好方法.全班同學對乙投向了贊許的目光（這時我發(fā)現(xiàn)乙同學會心地笑了）.接著，我又大加肯定，乙同學不因循陳規(guī)，不因襲前人，是自己思維的真實展示.這種解法獨辟蹊徑，獨創(chuàng)新穎.他雖錯猶“榮”，給了我們解決與”中點”有關的問題解法的有益補充.（當我的目光再次觸及他時，我發(fā)現(xiàn)他臉上洋溢著得意的自信.）

從這以后，乙同學上數學課都是抬頭挺胸，信心十足，課余對數學也是“情有獨鐘”，上課更是大膽發(fā)言，“顯揚”自我，對有些問題的解決也常常與眾不同，有自己的獨到之處.他的數學成績逐步提高，還積極報名參加了數學興趣小組，通過努力拼搏、鉆研學習，參加全國數學奧賽獲得了全國一等獎，免試進入了華中科技大學.他工作后的第一個春節(jié)來看望我時，仍然談到了那次板演評價，給他拾回了面子，喚回了他的自信，從此改變了他的學習狀況，令他永生難忘.

反思：走進我們的課堂，學生“越雷池一步”的想法是異常多見的，但我們的教師常常有意無意地把此納入自己的思維模式而加以扼殺，挫傷學生的獨創(chuàng)精神.也有的教師常常對學生的種種創(chuàng)新（當然也不乏“稚嫩”的）做法，不予合理剖析，而視為“另類”，這就不得不讓人深思了.著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括“錯誤”.學生學習中產生的錯誤，是一種來源于學生學習活動本身，具有特殊教育作用的學習材料.

1.及時捕捉“錯誤”，建構正確的認知結構.

心理學家蓋耶說得好：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻.”因此，教師要獨具慧眼，善于捕捉稍縱即逝的錯誤，引導他們分析掌握其錯誤思想的運行軌跡，摸清其錯誤源頭，對“癥”下藥，找到解決問題的辦法，建構起正確的認知結構.

2.認真剖析“錯誤”，尋找思維的合理成分.

誠然，學生解題錯誤的原因是多方面的，但學生的“錯解”往往就是他真實思維的流露，而也只有這種真實的思維才是學生自己的東西，才是學生能保持長久的東西.教師一定要認真剖析學生“錯解”中合理的成分，哪怕只是一小點，也要予以充分肯定和贊賞，以保護學生的自尊、樹立學生的自信.對學生勇于展示錯誤的態(tài)度給予充分的欣賞，對錯誤給其他學生帶來的經驗或提示表示感謝，讓本以為錯誤的信息表現(xiàn)出它的價值，由此而深入研究.然后看能否在其解法的基礎上做些補救，讓其在“跌到處”爬起來.切忌不加分析，一概地否定.

3.合理利用“錯誤”，激活學生的創(chuàng)新思維.

要讓學生坦誠自己的想法，耐心傾聽他們的表述，舍得花時間讓學生暴露思維過程，及時挖掘其中的價值.創(chuàng)新思維是指一個人在已有經驗和一般思維的邏輯規(guī)律的基礎上，用一種靈活、新穎的思維方式解決問題.合理利用學生的錯誤，挖掘錯誤中蘊含的創(chuàng)新因素，適時適度地給予點撥和鼓勵，能幫助學生突破眼前的思維障礙，進入創(chuàng)新求異的新境界，讓學生體驗思維的價值、享受思維的快樂.

4.借鑒案例“錯誤”，提高學生探索的興趣.

作為教師，我們要讓學生真正參與到知識的探索中，不能以教師的教代替學生的學，要讓學生親身體驗學習的成功與失敗；也要尊重學生的思維選擇，不要讓學生思維成為老師思維的奴隸，盡量沿著學生的思維軌跡，拓展學生的思維，特別是學生提出有別于標準答案的獨特想法時，要尊重學生的選擇，沿著學生的思路前進，而不是一味地摒棄，毫無道理地強行納入自己的思維軌道.

總之，學生在知識建構過程中，總會有一些認識上的偏差，對于學生生成的錯誤資源，教師大可不必藏著、捂著，而是要站在數學的角度上重新審視，挖掘其內在的“閃光點”，靈活地運用于數學教學中，最大限度地發(fā)揮學生錯誤的作用，為學生創(chuàng)造新的學習機會，為學生的成長與發(fā)展提供新的教育契機，給我們的數學課堂注入新的生命力.endprint