擬Hopf代數上的Doi-Hopf模

陳全國

(伊犁師范學院數學與統計學院,新疆伊寧835000)

1 引言及預備知識

為了構造 Knizhnik-Zamolodchikov的解,V.G.Drinfeld[1]引入了擬Hopf代數.擬Hopf代數與通常的Hopf代數在定義準則方面存在很大區別,主要表現在余結合律不再滿足,其余結合性通過一個可逆元素φ∈H?H?H連接起來,還有擬Hopf代數的定義不是自對偶的,導致無法定義擬Hopf代數上的余模.類似于Hopf代數,擬Hopf代數的表示范疇是辮子張量范疇.

在Hopf代數中,研究Doi-Hopf模是非常有意義的,因為它統一了各種Hopf模,例如:Sweedler Hopf模、Doi相對 Hopf模[2]、Takeuchi相對 Hopf模[3]以及Yetter-Drinfeld模.作為推廣,D.Bulacu等[4]在擬Hopf代數情形中引入了Doi-Hopf模.因此,本文以此類模為研究對象.

可分函子的概念由 C.Nǎstǎsescu 等[5]引入,并在不同的框架內得到充分的研究[5-11].但是,在擬Hopf代數中,有關刻畫Doi-Hopf模的半單性的結果很少,其原因歸結為擬Hopf代數的復雜結構,導致構造上的困難.目前,有關擬Hopf代數的結果主要集中于文獻[12-14]中.本文在已有工作基礎之上,進一步研究擬Hopf代數中的Doi-Hopf模.本文的出發點就是證明Doi-Hopf模的Maschke型定理,其問題歸結為刻畫忘卻函子(忽略余作用)的可分性.

本文中假設k為一個域.所有代數、余代數的張量積均在k上.下面簡單介紹一些本文中涉及到的概念和符號,更多的有關擬Hopf代數中概念和結果,參見文獻[4,12-14].

2 主要結果

[1]Drinfeld V G.Quasi-Hopf algebras[J].Leningrad Math J,1990,1:1419-1457.

[2]Doi Y.On the structure of relative Hopf algebras[J].Commun Algebra,1981,11:31-50.

[3]Takeuchi M.A correspondence between Hopf ideals and sub-Hopf algebras[J].Manuscripta Mathematica,1972,7:251-270.

[4]Bulacu D,Caenepeel S.Two-sided two-cosided Hopf modules and Doi-Hopf modules for Quasi-Hopf algebras[J].J Algebra,2003,270:55-95.

[5]Nǎstǎsescu C,Van den Bergh M,Van Oystaeyen F.Separable functors applied to graded rings[J].J Algebra,1989,123:397-413.

[6]Caenepeel S,Ion B,Militaru G,et al.Separable functors for the category of Doi-Hopf modules,applications[J].Adv Math,1999,145:239-290.

[7]Casta~no Iglesias F,Gòmez-Torrecillas J,Nǎstǎsescu C.Separable functors in coalgbras applications[J].Tsukuba J Math,1997,21:329-344.

[8]Casta~no Iglesias F,Gòmez-Torrecillas J,Nǎstǎsescu C.Separable functors in graded rings[J].J Pure Appl Algebra,1998,127:219-230.

[9]Brzezi'nski T.The structure of corings:induction functors,Maschke-type theorem,and Frobenius and Galois properties[J].Algebra Represent Theory,2002,5:389-410.

[10]Chen Q G,Wang S H.Separable functors for the category of Doi-Hopf group modules[J].Abh aus dem Math Seminar der Univ Hamburg,2011,81:261-272.

[11]Chen Q G,Wang D G.The category of partial Doi-Hopf modules and functors[J].Rendiconti di Padova,2013,129:189-204.

[12]Bulacu D,Nauwelaerts E.Relative Hopf modules for(dual)quasi-Hopf algebras[J].J Algebra,2000,229:632-659.

[13]Bulacu D,Caenepeel S,Torrecillas B.Involutory Quasi-Hopf algebras[J].Algebra Represent Theory,2009,12:257-285.

[14]Hausser F,Nill F.Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum groups[J].Rev Math Phys,1999,11:553-629.

[15]陳全國,王栓宏.弱Doi-Hopf群模的Maschke型定理[J].四川師范大學學報:自然科學版,2012,35(5):615-617.