隔板法在排列組合中的應用

王錄遠

排列組合在歷年來的高考中占的比分很高，在20分左右.它聯系實際、題型多變、解法靈活、能力要求高、每年高考得分率極低.而排列組合中的分配問題，是排列組合問題中的重點與難點，對于排列組合中涉及相同物品的分配或名額分配的問題，若采用隔板法，則可起到簡化解題的功效.下面筆者通過三種類型題來介紹一下隔板法的應用.

類型一：10個相同的排球分給三個班級，每個班級至少得一個排球的分法.

解析：將10個相同的排球排成一列，則10個排球之間出現9個空當，用2塊隔板插入空當，將其分成3份，每份至少一個排球，每個班級依次分到對應位置的排球，因此在9個空當插入2塊隔板，共有C3-110-1=C29=36種分法.

點評：對于相同元素的分組分配問題，常規解法繁瑣且易錯，若掌握隔板法，則操作方便且易懂.

一般模式：將n件相同物品（或名額）分給m（m

【例1】學校在高二年級的8個班中，組織一個12個人的年級學生分會，每班要求至少1人，名額分配方案有多少種？

解析：因為該題滿足類型一的三個條件，所以可用隔板法，故共有C8-112-1=C711種分法.

類型二（添加球數隔板法）：10個相同的排球分給三個班級，允許有些班級沒有分到排球的分法.

解析：因為允許有班級沒有分到排球，沒有滿足隔板法具備的條件（2）.為了滿足“每人至少分到一個排球”的條件，可先從每班收回一個排球，這樣原來打算不分的，也要還一個排球回去，問題就轉化成“13個排球分配給3個班，每個班至少得到一個排球，有多少種分法”，用隔板法求解，則共有C3-113-1=C212=66

種分配方法.

點評：本例通過添加球數，將問題轉化為類型一中的隔板法問題.

一般模式：將n件相同物品（或名額）分給m（m

【例2】求（a+b+c）9的展開式中共有多少項？

解析：由于展開式的每一項都形如maxbycz且x+y+z=9，其中x、y、z都是非負整數，因此問題等階于求方程x+y+z=9有多少組不同的非負整數解，因為x+y+z=9，所以問題轉化為“把9個相同的球分配給三個班，允許有些班沒有分到球，共有幾種分配方案”，用添加球數隔板法求解，則共有C3-19+3-1=C211=55種分配方案.

類型三（減少球數隔板法）：10個相同的排球分給三個班級，每個班級至少得兩個排球的分法.

解析：因為每個班級至少有兩個排球，沒有滿足類型一具備的條件（2）.為了滿足這一條件，可給每個班級先分一個排球，這樣就轉化成“7個排球分配給3個班級，每個班級至少有一個排球，有多少種分法”的問題，用隔板法求解，則共有C3-17-1=C26=15種分配方法.

點評：本例通過減少球數，將問題轉化為類型一中的隔板法問題.

一般模式：將n件相同物品（或名額）分給m（m

【例3】12個相同的小球放入編號為1、2、3、4的盒子中，要求每個盒子中的小球數至少為2個，問有多少種放法？

解析：題干中要求每個盒子中的小球數至少為2個，這滿足類型三的減少球數隔板法，我們可以直接利用公式解決，故共有C4-112-4-1=C37=35種放法.

【例4】20個不加區別的小球放入編號為1號、2號、3號的三個盒子里，要求每個盒內的球數不小于盒子的編號數，問有多少種放法？

解法一：先取出3個球，其中1個球放入2號盒內，再將其余2個球放入3號盒內.則此題轉化為“17個球放入3個不同的盒內，每盒至少一球，有多少種放法”，即轉化為類型一的隔板法，故有C3-117-1=C216=120種放法.

解法二：先取出6個球，其中1個球放入1號盒內，2個球放入2號盒內，其余3個球放入3號盒內.則此題轉化為“14個球放入3個不同盒內，允許有些盒沒有分到球，有多少種放法”，即轉化為類型二的添加球數隔板法，故有C3-114+3-1=C216=120種放法.

【例5】某人準備用7步走完一個10級的臺階，且每步至多可跨3級臺階，則此人共多少種不同的走法？

解析：令此人每一步所跨的臺階數依次為x1，x2，…x7，則x1+x2+…+x7=10，由隔板法可知C69=84，又因為有“每步至多跨3級”的要求，則排除

7種

一步跨4級的可能性，所以此人共有84-7=77種走法.

總之，對于排列組合中涉及相同物品的分配或名額分配的問題，即處理相同元素有序分組的問題時，我們都可采用隔板法.采用隔板法會取得事半功倍的效果.

（責任編輯鐘偉芳）