把數學美還給學生

蔣海燕

伴隨多地密集出臺高考改革方案，2013年下半年，不少省市拿英語“開刀”。與此同時，數學也“躺著中槍”了.網友們高呼“讓數學滾出高考”.新浪微博關于“數學該滾出高考嗎”的調查顯示，在近10萬網友參與的投票討論中，有超過7萬的網友支持數學滾出高考.這是一個令人警覺的危險信號.造成這種狀況的原因固然是多方面的，但其中一個重要原因是多數人感到數學抽象、枯燥，引不起興趣.

數學大師陳省身生前有一個夢想：期望在二十一世紀將中國從一個數學大國變為數學強國.然而，目前的狀況是多數國人討厭數學.這種狀況不改變，實現數學強國的夢想就是空想.大家都知道，只有熱愛數學，喜歡數學，才能學好數學.特別是學生，如果討厭數學，怎么能學好數學！為了激發學生的學習興趣，在數學基礎教育階段就應當注重把數學美還給學生，讓學生感受到數學的美，數學的“好玩”，吸引學生熱愛數學、會學數學、學好數學，從而提升數學教學品位.那么如何把數學美還給學生呢？筆者在數學教學實踐中有以下幾點體會.

一、通過揭示數學本質特征讓學生認識數學美

愛美之心人皆有之，美的事物總是人們醉心追求的對象.然而，一提到美，人們最容易想到的是江山如畫的自然美，或者是賞心悅目的音樂、美術、詩文的藝術美.然而，數學作為自然科學的皇后，里面蘊含著比詩畫更美的境界.數學大師陳省身曾說：“數學好玩.”谷超豪院士則說：“人謂數無味，我道味無窮.”古希臘數學家普羅克拉斯有一句頗打動人心的名言：“哪里有數，哪里就有美.”數學家們的話語并不是憑空而說，更不是故意驚人，而是他們數學研究、實踐和經驗的真實感悟.其實，數學并不是如有些人所說的那么枯燥無味，而是蘊含著許許多多的美，只要善于品味、玩味，就會發現數學原來是那么的有趣、高雅、“好玩”，那么的奧妙無窮、回味無窮.

那么，數學美主要體現在哪些方面？張奠宙、宋乃慶主編的《數學教育概論》寫道：“數學美有‘美觀、‘美好、‘美妙、‘完美四個層次.”[1]所謂“美觀”，是指數學形式外觀的美.如“黃金分割”、二次曲線等幾何外觀的美.所謂“美好”，是指有些數學內容雖然外觀不太美觀，但是“很好用”.如二次方程求根公式等；所謂“美妙”，是指一些數學內容所體現的美學意境和數學規律的奧秘.如任意三角形的三條高交于一點.何等美妙？“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”，則是解決數學難題時的“美妙”心境；所謂“完美”，是指完美的分類、完美的解答、完美的體系，這屬于數學美更高的水平.

數學之美，美不勝收.數學家維納說：“數學實質上是藝術的一種.”事實上，數學美的表現形式是多種多樣的，從數學的外在形象上觀察，她有體系美、概念美、公式美；從數學思維方式上分析，她有簡約美、無限美、抽象美、類比美；從美學原理上探討，她有對稱美、和諧美、奇異美等.此外，數學還有完美的符號語言、特有的抽象藝術、嚴密的邏輯體系、永恒的創新動力等特點.例如，函數y=f（x）這一簡單的表達式把兩個變量和的關系通過對應法則和等號連接在一起，深刻體現了數學的符號美和簡潔美；圓錐曲線的對稱、楊輝三角的對稱等都反映了數學的對稱美；方程的曲線和曲線的方程的關系靜中有動，動中有靜，深刻反映了數學的靜態美與動態美……數學美的總體特征可以概括為簡潔性、和諧性和奇異性.其中簡潔性具體表現為符號美、抽象美、統一美；和諧性表現為和諧美、對稱美、形式美；奇異性表現為奇異美、神秘美（朦朧美）、常數美.問題是我們在數學教學中，對這些數學本質挖掘不夠，沒有注意讓學生對數學美的體驗，致使本來美的數學成為枯燥的代名詞.

數學美感能喚起良好的情感，引起學生對數學的興趣，能讓學生感到數學學習不是一種負擔、一種苦役，而是一種需要、一種享受.因此，數學教師一定要把培養學生的數學美感貫穿在教學過程的始終.

二、通過呈現課堂藝術讓學生感受數學美

我國數學家徐利治認為：“數學教學的目的之一是使學生獲得對數學的審美能力，即能增進學生對數學美的主觀感受能力.”數學課堂是數學教學的主要陣地，美的數學課堂是學生直接感受數學美的重要渠道，是在教師指導下的一種特殊審美過程.因此數學教師在教學中，應當把數學美的內容通過教學過程的設計向學生呈現出來，讓學生感受數學美，欣賞數學美，理解數學美，進而去追求美、創造美.在課堂教學過程中要注重從以下幾個方面進行設計.

一是注重結構美.數學教學內容的組織應該有嚴謹、合理的結構，教學環節之間應詳略有當，重點突出.教學內容的順序、方式都要符合學生的認知規律等.

二是注重形式美.教師在教學中要根據教材的內容和學生的特點而采取不同的教學方法.比如數學實驗、數學模型、數學CAI課件制作等.教學方法和手段的多樣化，構成了課堂的形式美.

三是注重生成美.所謂“生成”，即指在課堂教學過程中出現的與教學預設不一致或教學預設之外的情況時，通過師生的共同參與與探究取得意外收獲的教學活動.葉瀾教授曾說：“課堂應是向未知方向挺進的旅程，隨時都有發現意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定的線路而沒有激情的行程.”因此，教師在課堂教學中不應機械地執行預設方案，而應在課堂特定的動態環境中，根據師生、生生互動的情況，有意識地抓住這些“意外通道”，捕捉那些“美麗圖景”，隨機應變，因勢利導，機智地組織學生進行探究，在探究過程中獲取意外收獲，使課堂因“生成”而添魅力，美不勝收.

四是注重深沉美.數學是一種思維方式，更是一種理性的藝術.教師要善于把課堂教學變成理性、悟性、靈性融為一體的教育樂章.波利亞說：“成功的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到了正確的道路.”數學知識體系中處處閃耀著辯證思想的光芒.如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方、“曲”與“直”、空間與平面、變與不變、有限與無限等.在數學教學中，教師把對立統一的辯證思想滲透其中，讓學生學會運用發展與變化、一般與特殊、抽象與具體、善于抓住主要矛盾、透過現象看本質等一系列哲學觀念與方法論處理數學問題，使課堂因深沉而增強魅力.

五是注重情境美.創設具體、形象的優美情境是激發學生學習興趣的重要手段.教師在課堂教學過程中要通過講解、剖析、演示、圖形、圖像、多媒體等形式與載體，使數學內容活起來、動起來，從而賦予數學內容以美的生命、美的內涵，使學生從數學的顯性美提高到對數學隱形美的認識，從感性認識上升到理性認識，進而形成數學美感.

六是注重語言美.蘇霍姆林斯基說：“教師的語言修養在極大程度上決定著學生在課堂上的智力勞動效率.”在整個數學課堂教學過程中，數學知識的傳遞、學生學習情況的反饋、師生間的情感交流等都必須依靠語言.語言是教師完成教學任務的主要工具.因此，數學教師在課堂教學過程中，要非常注重語言藝術.語言藝術主要體現在以下五點.第一，表達嚴謹.數學用語中的一字一句都有其特定的意義，數學教師的語言表達一定要準確、科學，否則，就會使學生產生錯誤的認識.例如“x≥0”，嚴格來說應讀作“x不小于0”或者“x為非負數”，不能讀作“x大于等于零”.因為一個實數不能既大于又等于另一個實數，因而至少也要在中間加上“或者”.第二，提問具有挑戰性、啟發性，能吸引學生全神貫注地思維，調動學生深入思考、獲取新知，激活課堂，促進生成.例如，有位教師在講授“線段、射線、直線”這節課時，拿出手電筒射在窗上，問：“你們看這光射到哪里啦？”生答：“窗戶上.”“它還會射到哪里？”“射到校園里.”“光如果足夠強的話，還可能穿過樹林、田野，射到太平洋.”這時學生展開想象的翅膀，從中感受到射線一端可以無限延伸.第三，評價語言的幽默.這里的“評價”包括對學生的肯定和否定兩個方面.特別是在批評時要善于用幽默的語言.前蘇聯著名教育家斯維特洛夫曾指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默.”幽默的語言是師生課堂交流的潤滑劑.在數學教學中巧妙地運用幽默性的批評語言能使教師的講課變得風趣、詼諧、睿智，具有一定的藝術魅力，也有助于融洽師生關系.第四，情感交流的真誠.在課堂上，情感是打開學生智力閘門的鑰匙.在師生課堂語言交流中，教師要充分尊重、真誠對待每一位學生，積極營造一種平等、民主的氛圍，以教師的情感去帶動學生的學習情感，喚醒學生的創造性思維，使學生真正感受到自身生命的價值和美好.第五，肢體語言豐富多彩.肢體語言包括表情語言、手勢語言和體態語言等.這些無聲語言可輔助有聲語言實現教學目的，如果使用得當有時比有聲語言的效果還要好.總之，教師的課堂語言藝術是構成課堂美的重要因素，既體現了教師的教學能力，又關系到課堂教學效果的高低.因此，數學教師要不斷完善自己的教學語言，達到數學教學語言的科學性、藝術性的辯證統一，增強教學效果.

七是注重板書美.板書板畫是書法、繪畫、制表藝術的綜合表現，板書板畫中的美感因素主要表現在簡要精妙的簡潔美，層次清楚的條理美，形式多樣的變化美，直觀圖表的圖畫美等方面.例如，數學公式的簡潔美、幾何推理的條理美、幾何圖形的圖畫美都被板書表現得淋漓盡致.書寫端正、字跡清秀、繪圖精美、布局合理的板書，猶如用文字和符號巧妙組成的一副藝術畫面，令人賞心悅目，讓學生獲得美的享受.

三、通過解決數學問題讓學生體驗數學美

大家都知道，學生掌握數學知識的多少并不是第一位的，最重要的是學生是否掌握了數學的精神.數學的精神是學習數學、發展數學和應用數學的根源所在，而這種數學精神的培養過程就是數學美的創造過程，數學美的創造是數學美的升華.因此，數學教學中要經常用“實踐——認識——再實踐”的認識規律，引導學生去欣賞美、挖掘美、構造美、追求美.數學中的數美、式美、形美的美的結構元素往往隱藏在問題之中，要求我們充分挖掘.實踐證明，美的觀點一旦與問題結合，人們就能憑借已知的知識與經驗產生直覺和靈感，明確解決問題的總體思路與方向，簡化解題過程，尋找解決問題的捷徑.[2]

【案例】已知α、β∈R且設p：α>β，設q：α+sinαcosβ>β+sinβcosα，則p是q的（）.

A.充分必要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

分析：條件結構對稱，整體和諧，變化有序.和諧、美妙的形式特征中必然包含優美的解法.利用結構的對稱

此題的解決是從數學的外在形式美的特征中得到啟示，將問題轉化為函數性質的探究，找到解題方法.因此，在解決問題過程中，教師要引導學生有意識地審視數學美，啟迪解決問題的思路；挖掘隱含在問題中的美，簡化問題解決的過程；通過轉化與化歸，構造數學美的形式，探索問題解決的捷徑；追求解決方法的美，反思問題解決的途徑.通過經常進行數學問題解決中的審美活動，不斷提高學生對數學美的認識和學習數學的興趣，增強學生的解題能力，從而發展學生的創造性思維.

英國著名哲學家羅素說：“數學，不但擁有真理，而且擁有至高的美.”把數學美還給學生，讓學生在快樂中學習，在學習中享受快樂，是數學教師的神圣使命.如此，“讓數學滾出高考”的吶喊就自然會銷聲匿跡，二十一世紀實現“數學強國”的夢想才有希望.

參考文獻

[1]張奠宙，宋乃慶主編.數學教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009：103.

[2]蔣建華.數學英才教育的責任擔當[J].數學通報，2011（3）：23.

（責任編輯黃桂堅）

五是注重情境美.創設具體、形象的優美情境是激發學生學習興趣的重要手段.教師在課堂教學過程中要通過講解、剖析、演示、圖形、圖像、多媒體等形式與載體，使數學內容活起來、動起來，從而賦予數學內容以美的生命、美的內涵，使學生從數學的顯性美提高到對數學隱形美的認識，從感性認識上升到理性認識，進而形成數學美感.

六是注重語言美.蘇霍姆林斯基說：“教師的語言修養在極大程度上決定著學生在課堂上的智力勞動效率.”在整個數學課堂教學過程中，數學知識的傳遞、學生學習情況的反饋、師生間的情感交流等都必須依靠語言.語言是教師完成教學任務的主要工具.因此，數學教師在課堂教學過程中，要非常注重語言藝術.語言藝術主要體現在以下五點.第一，表達嚴謹.數學用語中的一字一句都有其特定的意義，數學教師的語言表達一定要準確、科學，否則，就會使學生產生錯誤的認識.例如“x≥0”，嚴格來說應讀作“x不小于0”或者“x為非負數”，不能讀作“x大于等于零”.因為一個實數不能既大于又等于另一個實數，因而至少也要在中間加上“或者”.第二，提問具有挑戰性、啟發性，能吸引學生全神貫注地思維，調動學生深入思考、獲取新知，激活課堂，促進生成.例如，有位教師在講授“線段、射線、直線”這節課時，拿出手電筒射在窗上，問：“你們看這光射到哪里啦？”生答：“窗戶上.”“它還會射到哪里？”“射到校園里.”“光如果足夠強的話，還可能穿過樹林、田野，射到太平洋.”這時學生展開想象的翅膀，從中感受到射線一端可以無限延伸.第三，評價語言的幽默.這里的“評價”包括對學生的肯定和否定兩個方面.特別是在批評時要善于用幽默的語言.前蘇聯著名教育家斯維特洛夫曾指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默.”幽默的語言是師生課堂交流的潤滑劑.在數學教學中巧妙地運用幽默性的批評語言能使教師的講課變得風趣、詼諧、睿智，具有一定的藝術魅力，也有助于融洽師生關系.第四，情感交流的真誠.在課堂上，情感是打開學生智力閘門的鑰匙.在師生課堂語言交流中，教師要充分尊重、真誠對待每一位學生，積極營造一種平等、民主的氛圍，以教師的情感去帶動學生的學習情感，喚醒學生的創造性思維，使學生真正感受到自身生命的價值和美好.第五，肢體語言豐富多彩.肢體語言包括表情語言、手勢語言和體態語言等.這些無聲語言可輔助有聲語言實現教學目的，如果使用得當有時比有聲語言的效果還要好.總之，教師的課堂語言藝術是構成課堂美的重要因素，既體現了教師的教學能力，又關系到課堂教學效果的高低.因此，數學教師要不斷完善自己的教學語言，達到數學教學語言的科學性、藝術性的辯證統一，增強教學效果.

七是注重板書美.板書板畫是書法、繪畫、制表藝術的綜合表現，板書板畫中的美感因素主要表現在簡要精妙的簡潔美，層次清楚的條理美，形式多樣的變化美，直觀圖表的圖畫美等方面.例如，數學公式的簡潔美、幾何推理的條理美、幾何圖形的圖畫美都被板書表現得淋漓盡致.書寫端正、字跡清秀、繪圖精美、布局合理的板書，猶如用文字和符號巧妙組成的一副藝術畫面，令人賞心悅目，讓學生獲得美的享受.

三、通過解決數學問題讓學生體驗數學美

大家都知道，學生掌握數學知識的多少并不是第一位的，最重要的是學生是否掌握了數學的精神.數學的精神是學習數學、發展數學和應用數學的根源所在，而這種數學精神的培養過程就是數學美的創造過程，數學美的創造是數學美的升華.因此，數學教學中要經常用“實踐——認識——再實踐”的認識規律，引導學生去欣賞美、挖掘美、構造美、追求美.數學中的數美、式美、形美的美的結構元素往往隱藏在問題之中，要求我們充分挖掘.實踐證明，美的觀點一旦與問題結合，人們就能憑借已知的知識與經驗產生直覺和靈感，明確解決問題的總體思路與方向，簡化解題過程，尋找解決問題的捷徑.[2]

【案例】已知α、β∈R且設p：α>β，設q：α+sinαcosβ>β+sinβcosα，則p是q的（）.

A.充分必要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

分析：條件結構對稱，整體和諧，變化有序.和諧、美妙的形式特征中必然包含優美的解法.利用結構的對稱

此題的解決是從數學的外在形式美的特征中得到啟示，將問題轉化為函數性質的探究，找到解題方法.因此，在解決問題過程中，教師要引導學生有意識地審視數學美，啟迪解決問題的思路；挖掘隱含在問題中的美，簡化問題解決的過程；通過轉化與化歸，構造數學美的形式，探索問題解決的捷徑；追求解決方法的美，反思問題解決的途徑.通過經常進行數學問題解決中的審美活動，不斷提高學生對數學美的認識和學習數學的興趣，增強學生的解題能力，從而發展學生的創造性思維.

英國著名哲學家羅素說：“數學，不但擁有真理，而且擁有至高的美.”把數學美還給學生，讓學生在快樂中學習，在學習中享受快樂，是數學教師的神圣使命.如此，“讓數學滾出高考”的吶喊就自然會銷聲匿跡，二十一世紀實現“數學強國”的夢想才有希望.

參考文獻

[1]張奠宙，宋乃慶主編.數學教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009：103.

[2]蔣建華.數學英才教育的責任擔當[J].數學通報，2011（3）：23.

（責任編輯黃桂堅）

五是注重情境美.創設具體、形象的優美情境是激發學生學習興趣的重要手段.教師在課堂教學過程中要通過講解、剖析、演示、圖形、圖像、多媒體等形式與載體，使數學內容活起來、動起來，從而賦予數學內容以美的生命、美的內涵，使學生從數學的顯性美提高到對數學隱形美的認識，從感性認識上升到理性認識，進而形成數學美感.

六是注重語言美.蘇霍姆林斯基說：“教師的語言修養在極大程度上決定著學生在課堂上的智力勞動效率.”在整個數學課堂教學過程中，數學知識的傳遞、學生學習情況的反饋、師生間的情感交流等都必須依靠語言.語言是教師完成教學任務的主要工具.因此，數學教師在課堂教學過程中，要非常注重語言藝術.語言藝術主要體現在以下五點.第一，表達嚴謹.數學用語中的一字一句都有其特定的意義，數學教師的語言表達一定要準確、科學，否則，就會使學生產生錯誤的認識.例如“x≥0”，嚴格來說應讀作“x不小于0”或者“x為非負數”，不能讀作“x大于等于零”.因為一個實數不能既大于又等于另一個實數，因而至少也要在中間加上“或者”.第二，提問具有挑戰性、啟發性，能吸引學生全神貫注地思維，調動學生深入思考、獲取新知，激活課堂，促進生成.例如，有位教師在講授“線段、射線、直線”這節課時，拿出手電筒射在窗上，問：“你們看這光射到哪里啦？”生答：“窗戶上.”“它還會射到哪里？”“射到校園里.”“光如果足夠強的話，還可能穿過樹林、田野，射到太平洋.”這時學生展開想象的翅膀，從中感受到射線一端可以無限延伸.第三，評價語言的幽默.這里的“評價”包括對學生的肯定和否定兩個方面.特別是在批評時要善于用幽默的語言.前蘇聯著名教育家斯維特洛夫曾指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默.”幽默的語言是師生課堂交流的潤滑劑.在數學教學中巧妙地運用幽默性的批評語言能使教師的講課變得風趣、詼諧、睿智，具有一定的藝術魅力，也有助于融洽師生關系.第四，情感交流的真誠.在課堂上，情感是打開學生智力閘門的鑰匙.在師生課堂語言交流中，教師要充分尊重、真誠對待每一位學生，積極營造一種平等、民主的氛圍，以教師的情感去帶動學生的學習情感，喚醒學生的創造性思維，使學生真正感受到自身生命的價值和美好.第五，肢體語言豐富多彩.肢體語言包括表情語言、手勢語言和體態語言等.這些無聲語言可輔助有聲語言實現教學目的，如果使用得當有時比有聲語言的效果還要好.總之，教師的課堂語言藝術是構成課堂美的重要因素，既體現了教師的教學能力，又關系到課堂教學效果的高低.因此，數學教師要不斷完善自己的教學語言，達到數學教學語言的科學性、藝術性的辯證統一，增強教學效果.

七是注重板書美.板書板畫是書法、繪畫、制表藝術的綜合表現，板書板畫中的美感因素主要表現在簡要精妙的簡潔美，層次清楚的條理美，形式多樣的變化美，直觀圖表的圖畫美等方面.例如，數學公式的簡潔美、幾何推理的條理美、幾何圖形的圖畫美都被板書表現得淋漓盡致.書寫端正、字跡清秀、繪圖精美、布局合理的板書，猶如用文字和符號巧妙組成的一副藝術畫面，令人賞心悅目，讓學生獲得美的享受.

三、通過解決數學問題讓學生體驗數學美

大家都知道，學生掌握數學知識的多少并不是第一位的，最重要的是學生是否掌握了數學的精神.數學的精神是學習數學、發展數學和應用數學的根源所在，而這種數學精神的培養過程就是數學美的創造過程，數學美的創造是數學美的升華.因此，數學教學中要經常用“實踐——認識——再實踐”的認識規律，引導學生去欣賞美、挖掘美、構造美、追求美.數學中的數美、式美、形美的美的結構元素往往隱藏在問題之中，要求我們充分挖掘.實踐證明，美的觀點一旦與問題結合，人們就能憑借已知的知識與經驗產生直覺和靈感，明確解決問題的總體思路與方向，簡化解題過程，尋找解決問題的捷徑.[2]

【案例】已知α、β∈R且設p：α>β，設q：α+sinαcosβ>β+sinβcosα，則p是q的（）.

A.充分必要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

分析：條件結構對稱，整體和諧，變化有序.和諧、美妙的形式特征中必然包含優美的解法.利用結構的對稱

此題的解決是從數學的外在形式美的特征中得到啟示，將問題轉化為函數性質的探究，找到解題方法.因此，在解決問題過程中，教師要引導學生有意識地審視數學美，啟迪解決問題的思路；挖掘隱含在問題中的美，簡化問題解決的過程；通過轉化與化歸，構造數學美的形式，探索問題解決的捷徑；追求解決方法的美，反思問題解決的途徑.通過經常進行數學問題解決中的審美活動，不斷提高學生對數學美的認識和學習數學的興趣，增強學生的解題能力，從而發展學生的創造性思維.

英國著名哲學家羅素說：“數學，不但擁有真理，而且擁有至高的美.”把數學美還給學生，讓學生在快樂中學習，在學習中享受快樂，是數學教師的神圣使命.如此，“讓數學滾出高考”的吶喊就自然會銷聲匿跡，二十一世紀實現“數學強國”的夢想才有希望.

參考文獻

[1]張奠宙，宋乃慶主編.數學教育概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009：103.

[2]蔣建華.數學英才教育的責任擔當[J].數學通報，2011（3）：23.

（責任編輯黃桂堅）