一題多解與多題一解

李佳玲

摘 要：呂增鋒老師在2010年第10期上旬的《中學數學教學參考》中發表的文章《“一題多解”是“亮點”還是“敗筆”》 中說：“一題多解應該關注考綱和考試說明，關注學生的‘學情，關注解法的選擇”。最終化為多解歸一，升華為多題一解。這一點筆者感觸頗深。

在高中數學教學中貫徹“一題多解”與“多題一解”的思想，其作用是培養學生的數學思維，在日常教學中應教學生掌握基本的解題模式和方法，形成必要的解題技能，使其掌握一定的探索數學問題的工具

關鍵詞：創新能力；解題模式；一題多解；多題一解

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-007-02

時代在變遷，教育在進步，理念在更新。前兩年提出考試要改革，于是一批批探索性、開放性和應用性試題不斷涌現；如今又提出課程要改革，有了《課程標準》，其中突出了學生自主探索的學習過程，強調應用數學和創新能力的培養，鼓勵教師創造性教學。 面臨嶄新的教育形勢，我們會思考這樣的問題：教學如何從靜態轉為動態？怎樣指導學生獨立分析問題、解決問題，形成有效的學習策略？等等。我在家教過程中，對這些問題作過一些深思和嘗試，其中較突出的是引導學生進行一題多解和多題一解的訓練。

下面，我提出幾個實例來分析其引導過程與方法，僅供參考。

一、一題多解

在數學教學中通過一題多思，一題多解，一題多講，可以鞏固學生知識，訓練學生思維，開拓學生視野。用多角度去看一道題，強化思維的連貫性，知識的銜接，能全面利用所學知識解決實際問題，培養學生對知識的活學活用有重要幫助。

1、 如以下例題是筆者在家教過程學生做的填空題

【題目1】某次考試有30道判斷題，每做對一道題得4分，做錯一題扣2分，某人得96分，他做錯了幾道題？

【方法一】代數法。4×做對的題數-2×做錯的題數=96，做對的題數+做錯的題數=30。由兩個式子即可得到做錯的題數。

剛開始我家教的學生很快就用這種方法得出結果，確實，這種方法直接根據題意列出方程再解就可得到結果，是最直接的方法。但后來在我的引導下，學生更深入一層采用了方法二。

【方法二】做對一道可得4分，若做錯扣2分，這一正一負差距就變成了6分。30道題全做對可得120分，而現在只得96分，意味著差距為24分，用24÷6=4即可得到做錯的題。

【方法三】對的題數與錯的題數的比 [96÷（30+2）]：[4-（96÷30）]=26：4，則做錯的題數為30÷（26+4）×4=4題。

其中方法三最簡便，但過程較難想到，需學生極其靈活的頭腦去發掘，可能還有其他一些更簡便的方法，以上方法只是筆者在家教中思考出來的，僅作參考。

又如以下的例題：

【題目2】已知x，yR+ 且1x +9y =1，求x+y的最小值。

【方法一】“1”的妙用

∵1x +9y =1

∴x+y=（x+y）（ 1x +9y ）=10+yx +9xy ≥10+6=16

（當且僅當yx =9xy 即x=4，y=12時，等號成立）∴x+y的最小值是16

這種方法需學生平時練習有一定的題感和積累，懂得從1入手

【方法二】

換元后構造均值不等式

由1x + 9y =1得y= 9+ 9x-1 （x1）

∴x+y= x+9+ 9x-1 = 10+ x-1+ 9x-1 ≥10+6=16

（當且僅當x-1= 9x-1 即x=4時等號成立）

∴x+y的最小值是16

這種方法應是學生較熟悉的，但需注意的是在用均值不等式時，為了消去未知量，我們構造了x-1，這也是該方法的一個靈活點。

【解題誤區】

可能很多學生一拿到題目就會像下面的方法一樣求解，我家教的學生開始也是按下面的方法解題的

∵x，yR+

∴1=1x + 9y ≥6 xy （1）

（當且僅當1x = 9y 即y=9x時等號成立）

∴xy ≥6

又x+y≥2xy （2）

（當且僅當x=y時等號成立）

∴x+y≥12

即x+y的最小值是12

顯然結果與前面算得的不一樣，那是這個方法有問題？

答案是顯然的，雖然推導的過程無誤，但是學生沒有注意到（1），（2）兩個式子的等號不能同時成立，從而得出錯誤的結論。所以在解題過程中一定要瞻前顧后。

以上涉及的方法都是學生學過且應掌握的方法，通過一道例題的分析與解答，可以同時復習多種方法。通過這些方法，可鍛煉學生多方面的思維能力，同時復習以前學過的方法，溫故知新。這也是教師們一直強調一題多解的好處。但知識是靜態的，思維是活動的；習題是固定的，而它的變化卻是無窮的。我們可通過很多途徑對課本的例、習題進行變式。改變題目后，可能思想方法不變，但解題方法卻不能生搬硬套，所以學生需鍛煉自己的思維能力。

二、多題一解

一題多解對鍛煉學生思維與解題的靈活性固然有很多益處，但教師在教學中也應注意要一題多解，多解歸一，從而提煉出解決多道同類題目的方法，形成多題一解。

誠然，通過“一題多解”訓練，可培養學生根據不同的思路，應用不同的基礎知識，采取不同的數學方法，靈活解答同一個問題的能力。然而，目前大多數學生基礎較差，看到題目首先聯想到的是類似題目的一種通解或通用的解題模式。多題一解就是利用這種心理，以通用模式套各種類似的題目，減輕學生的負擔，且可以訓練學生化歸的思想，同時它對培養學生規范地書寫解答題的解題過程也是一次強化性訓練。下面通過一題多變的分析過程說明多題一解的益處。

【原題】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F， 求證：EC=DF.

【變式一】已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【變式二】把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結論不變，便得新題。

【變式三】把直線EF和圓的位置關系由一般的相交變為相切，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和⊙O切于點C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）求證：AB=AE+BF；

（3）求證：EF2 = 4 EA BF

題目可以千變萬化，僅會一題多解是不夠的。所以，學生要學會靈活變動，隨著題目的變化，解題思維也隨著變動，只要學生掌握它的精髓，達到多題歸一的境界，則可解一道題懂一類題，提高效率，激發學習興趣、創新意識和探索精神，培養創新能力，學會學習。

像這種一題多解與一題多變的題例，在教學中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的。拿到一個題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當十、以少勝多。培養學生各方面技能，特別是自主探索，創新思維的能力，也就無需茫茫的題海了。教學是為了讓學生學會看到一道題就想到一類題，想到相應解法，才是正道。所以教師要不斷從這方面入手教學，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結，得到多題一解，讓學生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解。

以上幾題雖各有特點，所給條件不同，但不變的是都是求和。所以在求解過程中，總的原則是要善于觀察數列的形式，靈活改變原數列的排列結構，使其能進行消項或能用等差或等比數列的求和公式及其它已知的基本求和公式來解決，只要把握這一規律，就能使數列求和化難為易?？傊?，求和的一類題目，只要掌握等差與等比數列的求和公式，并靈活變動，便都可解決。

對比反思

一題多解是訓練學生求異思維很好的教學方法，然而，僅停留在一題多解的層面上是遠不夠的，即讓學生的思維無限發散，不注意收，不及時歸納總結方法，多解歸一，加深學生對問題本質的理解，將不利于學生對數學思想方法的掌握與應用。

筆者認為，在數學教學中，培養學生創新思維能力的途徑是多渠道的，而讓學生學會一題多解與多題一解更是培養學生創新思維能力的有效途徑之一。

參考文獻：

[1] 談談“多題一解”，汪孝培，數學教學通訊，1981 （04）

[2] 一題多解與多題一解，倪春雷，新課程（上），2011（10）

[3] 淺談高中數學多題一解 ，陳緒進，中學數學，2011（ 21）

【原題】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F， 求證：EC=DF.

【變式一】已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【變式二】把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結論不變，便得新題。

【變式三】把直線EF和圓的位置關系由一般的相交變為相切，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和⊙O切于點C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）求證：AB=AE+BF；

（3）求證：EF2 = 4 EA BF

題目可以千變萬化，僅會一題多解是不夠的。所以，學生要學會靈活變動，隨著題目的變化，解題思維也隨著變動，只要學生掌握它的精髓，達到多題歸一的境界，則可解一道題懂一類題，提高效率，激發學習興趣、創新意識和探索精神，培養創新能力，學會學習。

像這種一題多解與一題多變的題例，在教學中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的。拿到一個題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當十、以少勝多。培養學生各方面技能，特別是自主探索，創新思維的能力，也就無需茫茫的題海了。教學是為了讓學生學會看到一道題就想到一類題，想到相應解法，才是正道。所以教師要不斷從這方面入手教學，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結，得到多題一解，讓學生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解。

以上幾題雖各有特點，所給條件不同，但不變的是都是求和。所以在求解過程中，總的原則是要善于觀察數列的形式，靈活改變原數列的排列結構，使其能進行消項或能用等差或等比數列的求和公式及其它已知的基本求和公式來解決，只要把握這一規律，就能使數列求和化難為易。總之，求和的一類題目，只要掌握等差與等比數列的求和公式，并靈活變動，便都可解決。

對比反思

一題多解是訓練學生求異思維很好的教學方法，然而，僅停留在一題多解的層面上是遠不夠的，即讓學生的思維無限發散，不注意收，不及時歸納總結方法，多解歸一，加深學生對問題本質的理解，將不利于學生對數學思想方法的掌握與應用。

筆者認為，在數學教學中，培養學生創新思維能力的途徑是多渠道的，而讓學生學會一題多解與多題一解更是培養學生創新思維能力的有效途徑之一。

參考文獻：

[1] 談談“多題一解”，汪孝培，數學教學通訊，1981 （04）

[2] 一題多解與多題一解，倪春雷，新課程（上），2011（10）

[3] 淺談高中數學多題一解 ，陳緒進，中學數學，2011（ 21）

【原題】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F， 求證：EC=DF.

【變式一】已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【變式二】把直線EF和直徑AB的相對位置加以變化，即圖形變化，條件和結論不變，便得新題。

【變式三】把直線EF和圓的位置關系由一般的相交變為相切，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線MN和⊙O切于點C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，

（1）求證：AC平分∠BAE；

（2）求證：AB=AE+BF；

（3）求證：EF2 = 4 EA BF

題目可以千變萬化，僅會一題多解是不夠的。所以，學生要學會靈活變動，隨著題目的變化，解題思維也隨著變動，只要學生掌握它的精髓，達到多題歸一的境界，則可解一道題懂一類題，提高效率，激發學習興趣、創新意識和探索精神，培養創新能力，學會學習。

像這種一題多解與一題多變的題例，在教學中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的。拿到一個題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當十、以少勝多。培養學生各方面技能，特別是自主探索，創新思維的能力，也就無需茫茫的題海了。教學是為了讓學生學會看到一道題就想到一類題，想到相應解法，才是正道。所以教師要不斷從這方面入手教學，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結，得到多題一解，讓學生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解。

以上幾題雖各有特點，所給條件不同，但不變的是都是求和。所以在求解過程中，總的原則是要善于觀察數列的形式，靈活改變原數列的排列結構，使其能進行消項或能用等差或等比數列的求和公式及其它已知的基本求和公式來解決，只要把握這一規律，就能使數列求和化難為易?？傊蠛偷囊活愵}目，只要掌握等差與等比數列的求和公式，并靈活變動，便都可解決。

對比反思

一題多解是訓練學生求異思維很好的教學方法，然而，僅停留在一題多解的層面上是遠不夠的，即讓學生的思維無限發散，不注意收，不及時歸納總結方法，多解歸一，加深學生對問題本質的理解，將不利于學生對數學思想方法的掌握與應用。

筆者認為，在數學教學中，培養學生創新思維能力的途徑是多渠道的，而讓學生學會一題多解與多題一解更是培養學生創新思維能力的有效途徑之一。

參考文獻：

[1] 談談“多題一解”，汪孝培，數學教學通訊，1981 （04）

[2] 一題多解與多題一解，倪春雷，新課程（上），2011（10）

[3] 淺談高中數學多題一解 ，陳緒進，中學數學，2011（ 21）