分數階微積分在滑模控制中的應用特性

宋申民，鄧立為，陳興林

(1. 哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150086；2. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001)

分數階微積分在滑模控制中的應用特性

宋申民1，鄧立為1，陳興林2

(1. 哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150086；2. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001)

針對分數階微積分算子的信息記憶與遺傳特性，從分數階滑模趨近律與分數階滑模控制律兩方面，對分數階微積分算子在滑模控制理論中的應用特性進行了研究。首先，從傳統滑模控制理論的幾種趨近律入手，引出分數階滑模趨近律并分析其收斂特性。其次，針對航天器姿態控制系統，設計了一種分數階滑模控制器。最后，對比數值仿真驗證了所設計控制器的良好性能，與傳統滑模趨近律和傳統滑模控制律相比，分數階滑模趨近律具有較好的平滑特性，分數階滑模控制律具有更好的抗干擾性與強魯棒性。

分數階滑模控制；分數階滑模趨近律；分數階微積分；航天器姿態

分數階微積分是研究任意階微分和積分的理論，是傳統意義上整數階微分和積分向非整數階的推廣與延伸。與傳統微積分相比，分數階微積分增加了微分與積分兩個自由度的可變性，從而給控制系統設計帶來了新的靈活性。近年來，利用分數階微積分算子的記憶與遺傳特性，在傳統滑模控制理論中引入分數階微積分算子而產生的分數階滑模控制在各個領域得到了廣泛地應用。文獻[1]針對兩自由度機械臂系統與雙槽水槽系統設計了模糊分數階滑模控制器。文獻[2]針對具有不確定性的一類動力學系統設計了分數階終端滑模控制器，但文中系統模型及不確定性部分的范數具有一定的特殊性。文獻[3]研究了分數階滑模控制中滑模面吸引域的充分條件問題，文中給出了與穩定的分數階趨近律對應的整數階趨近律也是穩定的。文獻[4]研究了一類具有不確定性的分數階系統的分數階滑模觀測器問題。文獻[5]針對永磁同步電機的位置控制問題，設計了一種分數階滑模控制器。文獻[6]針對永磁同步電機的速度控制問題設計了參數自整定的分數階滑模控制器。文獻[7]針對四旋翼飛行器模型，研究了具有分數階趨近律特性的積分滑模控制問題。文獻[8-10]則針對不同形式的混沌類系統利用滑模控制理論進行了一系列的研究。上述文獻雖然涉及了分數階趨近律問題以及分數階滑模控制等問題，但是還未有文獻專門針對分數階微積分在滑模控制中的應用特性進行研究。

受上述文獻的啟發，本文針對分數階微積分在滑模控制理論中的應用問題，在傳統滑模趨近律的基礎上分析了分數階滑模趨近律的收斂性。針對航天器姿態控制模型，設計了分數階滑模控制器，并給出了與其對應的傳統的滑模控制器。最后，以航天器姿態控制系統模型為控制對象，分別利用分數階滑模趨近律與分數階滑模控制律結合設計了4組不同形式的控制器進行了對比仿真驗證。

1 基礎理論

分數階微積分理論研究已經有300多年的歷史。在過去幾十年里，這一理論問題僅僅是在數學領域進行了一定的研究，而在最近十幾年里，分數階微積分理論已經應用到工程、物理學、經濟學等領域。在分數階微積分理論的發展過程中，研究學者們給出了多種定義，其定義的合理性與科學性已經在實踐中得到了檢驗。Caputo型分數階微積分初始條件的定義與整數階微積分的相一致，近年來在工程應用中得到了廣泛的研究。

定義1[11-12]連續可積函數 f(t)的Caputo型分數階微積分統一定義為：

引理 1[2]假設 x =0是式(2)分數階非自治系統的平衡點，

式中， f (x ,t)滿足 Lipschitz條件。假設存在一個Lyapunov函數 V(t, x (t))滿足如下條件：

式中 a1、a2和 a3是正常數。則有系統(2)是漸近穩定的。

引理2[13]一個給定的連續系統= f(x)，f(0) =0， x ∈Rn，如果存在一個連續的正定函數V :Rn→R，a ∈R+， β∈ (0,1)，并且存在原點的一個領域 U0?Rn使得不等式(4)成立，

那么原點就是一個平衡點，可以在有限時間內到達。

2 分數階滑模趨近律

到達階段作為滑模控制的一個重要組成部分，其本質屬于連續控制，基本要求是使系統狀態能夠到達滑模面。在這一運動過程中，常常是希望趨近速度盡可能的快，并盡可能的保證在到達時s˙不宜過大，以免引起較大的沖擊，減少系統的抖振。本節在幾種常見的趨近律的基礎上給出一種分數階滑模趨近律。

2.1 傳統滑模趨近律

① 等速趨近律 狀態點以常量 ε＞ 0的趨近速度到達切換面，其表達式為：

式中，符號sign(·)在文中均表示各列向量的符號函數組成的列向量。利用式(5)可以解出：

② 指數趨近律 狀態點以指數變化規律的趨近速度到達切換面，主要特點表現在離切換面越遠的狀態點趨近速度越快，其表達式為：

根據s的符號變化，可以解出s的表達式為：

式中 s0是系統初始狀態 t= 0時切換函數 s(x (t))的值。

③ 冪次趨近律 狀態點以冪次規律的形式到達切換面，該規律主要特點體現在能夠使系統的狀態點在有限時間內到達切換面，而且有效消除了慣性引起的抖振，其表達式為：

可以積分得到s的表達式為：

2.2 分數階滑模趨近律

與傳統由微分方程構成的趨近律不同，分數階趨近律由分數階微分方程構成，通過調解系數k以及微分階次α可以改變系統狀態到達滑模面時的速度以及s˙的值，其表達式為：

證明：選取Lyapunov函數為

根據分數階微積分定義式(1)，則有

對式(12)進行求一階微分，并利用式(11)和式(13)可以得到：

利用 sign(D1-α(- ks ign(s) )) =-ks ign(s)[13]，可得：

因此，可以得到 V˙ ≤0 ?DαV≤0 ，根據引理1則有系統(11)的平衡點是漸近穩定的。

文獻[3]以定理的形式說明了系統(11)的平衡點是全局吸引的。文獻[12]研究了Caputo型分數階非線性系統的穩定性問題，文中以范例形式說明了形如式(11)的分數階系統的平衡點是漸近穩定的。本文受到文獻[3, 7, 12]的啟發，將形如式(11)的分數階系統作為分數階滑模趨近律，與傳統趨近律進行對比分析。

3 分數階滑模控制器設計

航天器姿態控制控制系統具有一定的耦合性，能夠代表一大類系統，并可以對比說明分數階滑模控制的優點所在，所以本節以航天器姿態控制系統為控制對象，設計相應的分數階滑模控制器。

3.1 航天器姿態控制模型

考慮航天器的姿態動力學與運動學方程[14]：

式中， ω=[ω1ω2ω3]T∈R3定義為航天器本體坐標系相對于慣性坐標系，表示在航天器本體坐標系上的姿態角速度矢量； J ∈R3×3為航天器的對稱正定轉動慣量矩陣；u =[u1u2u3]T∈R3是作用在航天器上的三軸控制力矩矢量； d=[d1d2d3]T∈R3表示的是外干擾力矩，并存在已知常數 dmax＞ 0使得不等式＜dmax成立[14]；σ表示的是本體坐標系相對于慣性坐標系的修正的羅德里格參數描述；矩陣 G (σ)的定義為：

對于 ?ξ= ［ξ1ξ2ξ3］T∈R3，而符號 ξ×表示如下的反對稱矩陣：

航天器姿態控制問題描述：針對由(16)組成的航天器姿態控制系統，對于給定的初始姿態σ以及初始角速度ω，設計控制器u，使得當t→∞時，系統的姿態信息 σ →0以及角速度信息 ω→ 0。

3.2 分數階滑模控制器

選取分數階滑模面為：

利用等效控制原理可以得到等效控制部分：

選取分數階趨近律(9)與傳統趨近律結合組成變結構控制部分：

為滿足穩定性要求，可以推導得到控制律為：

證明：選取Lyapunov函數為

對式(18)求導，利用式(16)和式(21)可以得到：

利用式(15)的結果，求取Lyapunov函數(22)的導數：

說明 2 控制律中符號函數會引起系統控制力矩的抖振，為避免此問題利用飽和函數對符號函數進行替換，其定義為

說明3 為了對比分析分數階滑模控制的優點，利用傳統滑模控制理論與等效控制思想設計如下的傳統滑模面與控制律：

4 仿真分析

4.1 仿真參數設定

為了驗證本文提出的分數階趨近律及分數階滑模控制的有效性，利用MATLAB進行數值仿真驗證。分數階微積分算子Dασ的數值仿真實現可以有多種方法，本文利用文獻[16]中的分數階控制工具箱FOMCON 進行仿真，在仿真中設置為改進型Oustaloup濾波算法模式，在頻段（0.01 rad/s，100 rad/s）內采用2階算法進行近似。

控制器的設計過程中雖然沒有考慮轉動慣量不確定性和外干擾力矩，但仍然具有很好的魯棒性和抗干擾性。為了說明這兩種特性，仿真中控制器中選用轉動慣量J，而控制對象的轉動慣量選用 J′；擾動力矩則選擇了與航天實際工程中不符合的較大值，這樣選擇的主要原因是為了驗證所設計的控制器具有較好的抗干擾性。本文主要研究分數階滑模趨近律及分數階滑模的特性，所以假設仿真中執行機構具有理想特性，即不考慮執行機構的幅值限制要求，從而在仿真結果中并未給出控制力矩曲線。航天器參數選取為：

航天器初始姿態信息及初始角速度信息為：

擾動力矩為：

指數趨近律在傳統滑模控制應用最多，因而在傳統趨近律中選擇指數趨近律。為了對比說明分數階趨近律與分數階滑模控制的優勢所在，對前文所提出來的趨近律及滑模控制進行組合，得到如下4組滑模面和控制器。

滑模+指數趨近律：

滑模+分數階趨近律：

分數階滑模+指數趨近律：

分數階滑模+分數階趨近律：

控制器參數選取如下：

4.2 仿真結果分析

利用4.1所提出的4組組合控制算法，采用上述仿真參數，得到如下仿真結果：圖1~圖4分別是4個組合控制器作用下的航天器姿態信息、角速度信息以及滑模面系統曲線。

圖1 控制器 u1作用下的系統狀態及滑模面Fig.1 System state and sliding mode surface in controlleru1

圖2 控制器 u2作用下的系統狀態及滑模面Fig.2 System state and sliding mode surface in controlleru2

圖3 控制器 u3作用下的系統狀態及滑模面Fig.3 System state and sliding mode surface in controlleru3

圖4 控制器 u4作用下的系統狀態及滑模面Fig.4 System state and sliding mode surface in controlleru4

4組組合控制器都是由滑模控制(或分數階滑模)與滑模趨近律(或分數階趨近律)交叉組成，控制器 u1和控制器 u2與控制器 u3和控制器 u4的主要區別在于趨近律的不同，從其仿真結果圖1和圖2、圖3和圖4對比可知，分數階趨近律的主要特性表現在能夠柔化系統運動軌跡，減少姿態σ及角速度ω的超調量。控制器 u1和控制器 u3與控制器 u2和控制器 u4的主要區別在于是否是分數階滑模控制，從其仿真結果圖1和圖3與圖2和圖4對比可知，分數階滑模控制的主要特性表現在良好的抗干擾性、強魯棒性、控制高精度性。最后，從由分數階滑模控制與分數階滑模趨近律組成的控制器 u4及其仿真結果圖4中可以看出，該控制器具有良好的平滑特性，減少了暫態過程中的超調量；與此同時也提高了系統的姿態控制精度與角速度控制精度，具有良好的綜合控制性能。

5 結 論

本文針對分數階微積分算子在滑模控制中的應用研究入手，以幾種傳統滑模趨近律為基礎引出分數階滑模趨近律，以此研究了分數階微積分在滑模控制中趨近階段所起的作用，仿真結果表明分數階趨近律與其他傳統趨近律相比具有一定的平滑特性，也就是通過調節微分階次α可以減小到達滑模面時s˙的值，以避免引起較大的沖擊。另一方面，以航天器姿態控制為研究對象，給出了基于傳統趨近律的分數階滑模控制器和基于分數階趨近律的分數階滑模控制器，分數階滑模控制器能夠提高系統的綜合控制精度，也具有比傳統滑模控制更好的抗干擾性和魯棒性。

本文主要研究了分數階微積分算子在滑模控制的趨近段和滑模段中所起的作用，但是文中沒有考慮執行機構的限幅要求，設計具有控制輸入飽和限制的分數階滑模控制器將在航天器控制中具有重大的工程應用意義。另外一方面，分數階趨近律的平滑特性，也就是可以調節系統趨近律的微分階次α，從而調節系統到達滑模面時s˙的大小，這僅僅在仿真中體現，研究分數階趨近律的作用機理，推導分數階趨近律與到達滑模面時s˙的具體關系表達式，具有重要的意義。以上兩點是以后研究工作的重點。

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Application characteristics of fractional calculus in sliding mode control

SONG Shen-min1, DENG Li-wei1, CHEN Xing-lin2
(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150086, China; 2. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In view of the information memory and genetic characteristics of fractional calculus operator, the application characteristics of fractional calculus operator in sliding mode control theory were studied from two aspects: i.e. the allotted fractional order sliding mode reaching law and the fractional order sliding mode control law. Firstly, a fractional order sliding mode reaching law was deduced based on several reaching laws of conventional sliding mode control theory, and then the convergence characteristics of this law was proved. Secondly, a fractional order sliding mode control was designed for spacecraft attitude control system. Finally, numerical simulations and comparative analysis were conducted to validate the exceptional performance of the proposed controller, which show that, compared with the traditional reaching laws and traditional sliding mode control law, the fractional reaching law has good smoothness characteristics, and the fractional sliding mode control law has better anti-interference and strong robustness.

fractional order sliding mode control; fractional order reaching law; fractional calculus; spacecraft attitude

宋申民（1968—），男，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為航天器軌道機動與姿態控制、非線性魯棒控制與智能控制、先進濾波方法與組合導航等。Email：songshenmin@hit.edu.cn

1005-6734(2014)04-0439-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.04.004

V448.25

A

2014-02-13；

2014-05-15

國家自然科學基金（61174037）；國家自然科學基金創新群體項目（61021002）；國家“973”計劃（2012CB821205）